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    四旋翼姿態(tài)解算算法的對比與研究

    2015-07-07 07:05:30王曉初
    制造業(yè)自動化 2015年2期
    關(guān)鍵詞:歐拉角余弦卡爾曼濾波

    王曉初,盧 琛

    (廣東工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,廣州 510006)

    0 引言

    在捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航中,飛行器的姿態(tài)是機(jī)體坐標(biāo)系相對于導(dǎo)航坐標(biāo)系決定的,而描述這種坐標(biāo)系的關(guān)系可以分為三類,有三參數(shù)法、四參數(shù)法和九參數(shù)法。其中三參數(shù)法也叫歐拉角法,四參數(shù)法有四元數(shù),九參數(shù)法為方向余弦[4]。

    利用慣性元件,對飛行器的姿態(tài)的解算,是捷聯(lián)式慣性導(dǎo)航的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[6]從信號的頻域出發(fā),給出了基于互補(bǔ)濾波器的解算算法。文獻(xiàn)[2]結(jié)合卡爾曼濾波器,給出了基于狀態(tài)空間的最優(yōu)解算法。文獻(xiàn)[7]采用梯度下降為修正準(zhǔn)則,給出了偏差沿梯度負(fù)方向修正算法。文獻(xiàn)[5]則結(jié)合梯度下降與互補(bǔ)濾波器,吸收了各自的優(yōu)點。本文針對這幾種常見的姿態(tài)解算算法,從設(shè)計準(zhǔn)則與實際應(yīng)用出發(fā),對比分析了各自算法的特點與相似之處。

    1 姿態(tài)的更新算法

    姿態(tài)的更新常采用如下流程,將角速度向量[ω]帶入四元數(shù)微分方程并求解,即可更新四元數(shù)[q]。

    圖1 姿態(tài)解算流程

    四元數(shù)微分方程為:

    其中,四元數(shù)q定義為:q=q0+q1i+q2j+q3k。

    寫成矩陣形式為:

    用角增量算法求解微分方程迭代格式為:

    其中:

    將cos和sin泰勒展開,取一階近似有:

    采用式(2)即可更新四元數(shù),但是直接使用四元數(shù)不利于PID控制,還需利用方向余弦矩陣[C]將四元數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闅W拉角。

    方向余弦矩陣也稱作坐標(biāo)變換矩陣,是導(dǎo)航坐標(biāo)系[Xn]到運(yùn)載體坐標(biāo)系[Xb]的變換矩陣,有并且方向余弦有兩種表示方法,分別為為四元數(shù)表出和歐拉角表出,并且兩種表出矩陣在同一坐標(biāo)系下是等價的[1]。

    四元數(shù)表示方向余弦為[1]:

    另外,歐拉角表出方向余弦為[1]:

    其中c和s分別代表cos和sin,?、θ和φ分別代表歐拉角中的航向角,俯仰角和橫滾角[1]。如果已知方向余弦,可以由下列公式求得對應(yīng)的歐拉角:

    如圖1所示,式(2)給出了四元數(shù)法的更新迭代格式,更新四元數(shù)后即可求得方向余弦,由式(3)~式(5)便可求得到更新之后的歐拉角。

    但是整個過程是建立在對角速度的積分,由于字長丟失精度會導(dǎo)致積分誤差,且誤差會隨著時間的延長而加大。所以需要組合加速度傳感器來修正姿態(tài)矩陣,使誤差項逐步減小,最終消除。常用的組合算法有互補(bǔ)濾波算法、梯度下降算法和卡爾曼濾波算法等。

    2 常見組合算法的特點

    姿態(tài)解算算法可以用圖2表示,其中由式(2)更新的姿態(tài)為qg,它是整個姿態(tài)估計q的基礎(chǔ)。

    圖2 姿態(tài)解算算法流程

    因為積分誤差的存在,所以需結(jié)合加速度計的輸出qc構(gòu)成修正偏差ε(q),然后以不同的設(shè)計準(zhǔn)則構(gòu)成算法修正qg,即可得到在特定評判標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)估計姿態(tài)q。

    2.1 以高通和低通濾波器為修正算法

    陀螺儀動態(tài)響應(yīng)特性好,但會產(chǎn)生積分誤差。加速度傳感器測量姿態(tài)沒有積分誤差,但是動態(tài)響應(yīng)較差。它們在頻域上的特性形成互補(bǔ),從而提高測量精度和系統(tǒng)的動態(tài)性能[3]。

    如圖3所示[6],表示互補(bǔ)濾波器的輸出姿態(tài)矩陣,代表載體坐標(biāo)下的測量加速度單位向量,代表在慣性坐標(biāo)系下的重力場向量,設(shè)。

    圖3 互補(bǔ)濾波器模型

    其中誤差向量定義為:

    則整個互補(bǔ)濾波器的估計輸出為:

    如圖3所示,令ξ1為加速度計測量噪聲,為陀螺儀測量噪聲,則噪聲傳遞函數(shù)為:

    式(8)和式(9)可以用來設(shè)計k的取值,從而確定互補(bǔ)濾波器的截止頻率在大于fτ的高頻段,陀螺儀對解算起主要作用,反之,加速度對解算起主要作用[3]。

    2.2 以偏差函數(shù)梯度負(fù)方向為修正準(zhǔn)則

    使用式(6)為目標(biāo)函數(shù),則有梯度:

    這樣就可以通過下列公式進(jìn)行修正:

    式(10)、式(11)即為梯度下降迭代格式,其中步長λ用來限制偏差收斂速度,但過大的步長可能會導(dǎo)致估計不準(zhǔn)確[5]。

    2.3 以卡爾曼濾波器為基礎(chǔ)的修正算法

    卡爾曼濾波器以狀態(tài)空間為基礎(chǔ),把信號過程看做在白噪聲作用下的線性輸出[5],

    算法表述為:最優(yōu)值=預(yù)測值+kg.修正量,其中kg為動態(tài)調(diào)整增益。

    考慮如下線性系統(tǒng)離散模型:

    其中X(k)是系統(tǒng)的狀態(tài)向量,A是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,B是控制輸入矩陣,u(k-1)是控制輸入向量,Q是過程噪聲協(xié)方差矩陣,Z(k)是系統(tǒng)的觀測向量,H是觀測向量,R是觀測噪聲協(xié)方差矩陣。

    使用陀螺儀數(shù)據(jù)qg和ε(q)建立時間傳遞模型如下:

    取:

    可以得到狀態(tài)矩陣方程[2]:

    則卡爾曼濾波算法實現(xiàn)步驟為:

    根據(jù)時間傳遞方程(12)預(yù)測k時刻的輸出:

    其中X(k- 1 |k- 1 )為上一時刻的最優(yōu)輸出。

    計算k時刻預(yù)測輸出協(xié)方差矩陣:

    更新k時刻修正增益矩陣:

    根據(jù)觀測方程(13)修正預(yù)測矩陣:

    更新最優(yōu)預(yù)測輸出的協(xié)方差矩陣:

    3 實驗分析

    互補(bǔ)濾波最為簡單,基于高通與低通濾波器,構(gòu)成設(shè)計準(zhǔn)則來修正姿態(tài);梯度下降則以偏差函數(shù)的負(fù)梯度為校正準(zhǔn)則,使其以最快下降方向進(jìn)行校正;卡爾曼濾波以狀態(tài)空間為基礎(chǔ),從時間傳遞方程和測量方程出發(fā),得出考慮各種隨機(jī)誤差在內(nèi)的最佳線性估計,如圖4所示,為實時角度采樣輸出。

    圖4 三種算法輸出對比

    從圖中可以看到,當(dāng)姿態(tài)在迅速變化時,三種算法的估計輸出幾乎重疊在一起,此時陀螺儀對姿態(tài)更新起主導(dǎo)作用,加速度的修正效果可以忽略。在姿態(tài)變化較為平緩階段,三種算法對姿態(tài)修正的差異才凸顯出來,這也體現(xiàn)了在不同修正準(zhǔn)則下的輸出差異,但最終估計輸出都會收斂于某一穩(wěn)定值。

    [1]高鐘毓.慣性導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012.

    [2]王帥,魏國.卡爾曼濾波在四旋翼飛行器姿態(tài)測量中的應(yīng)用[J].兵工自動化,2011,01:73-74,80.

    [3]梁延德,程敏,何福本,李航.基于互補(bǔ)濾波器的四旋翼飛行器姿態(tài)解算[J].傳感器與微系統(tǒng),2011,11:56-58,61.

    [4]胡慶.基于STM32單片機(jī)的無人機(jī)飛行控制系統(tǒng)設(shè)計[D].南京航空航天大學(xué),2012.

    [5]譚廣超.四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)[D].大連理工大學(xué),2013.

    [6]Bachmann, E.R., et al.“Orientation tracking for humans and robots using inertial sensors.” Computational Intelligence in Robotics and Automation, 1999.CIRA’99.Proceedings.1999 IEEE International Symposium on.IEEE,1999.

    [7]Madgwick,Sebastian OH,Andrew JL Harrison, and Ravi Vaidyanathan.“Estimation of IMU and MARG orientation using a gradient descent algorithm.”Rehabilitation Robotics (ICORR), 2011 IEEE International Conference on.IEEE, 2011.

    [8]Fresk, Emil,and George Nikolakopoulos.“Full quaternion based attitude control for a quadrotor.” Control Conference (ECC),2013 European.IEEE,2013.

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