對(duì)一堂操作型問(wèn)題復(fù)習(xí)課的反思

周繼云

三角板是學(xué)生最常用的學(xué)習(xí)工具， 以三角板為道具，以學(xué)生常見、熟悉的幾何圖形為載體， 并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段的問(wèn)題， 能為學(xué)生提供動(dòng)手實(shí)踐操作設(shè)計(jì)的空間，較好地考查了學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運(yùn)動(dòng)變化、分類討論思想等的綜合運(yùn)用能力. 這類操作性的題目格調(diào)清新，立意新穎， 充分體現(xiàn)了課標(biāo)中提出的“培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦、實(shí)踐探索的能力”的要求，既注重基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)又具有很強(qiáng)的綜合性.

1. 設(shè)計(jì)思路

初三年級(jí)第二輪專題復(fù)習(xí)中所用的問(wèn)題不僅要起到復(fù)習(xí)知識(shí)的作用，更要用經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題反映解決一類問(wèn)題的思想與方法. 本節(jié)課主要借助三角板的旋轉(zhuǎn)變換，選擇一些注重知識(shí)形成過(guò)程、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的探索性問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作和理性的思考，總結(jié)歸納出解決此類問(wèn)題的一些基本思路和方法.

為了體現(xiàn)復(fù)習(xí)課的知識(shí)目標(biāo)，并關(guān)注技能與思想方法目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，本課的設(shè)計(jì)思路為“特殊到一般”，具體表現(xiàn)為：

（1）題目的設(shè)置從特殊到一般，即從兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合、一個(gè)直角頂點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)重合，到一個(gè)直角頂點(diǎn)與斜邊上任意一點(diǎn)重合、一個(gè)銳角頂點(diǎn)與斜邊上的中點(diǎn)重合；

（2）相應(yīng)的解題方法從特殊到一般，即從利用三角形全等，到利用三角形相似.

2. 復(fù)習(xí)課題目來(lái)源

最初是在歷年的中考試題中挑選復(fù)習(xí)題的，目標(biāo)是那些以三角板為載體的試題，比如：

題1 （山東臨沂07中考25題）如圖1，已知△ABC中，AB = BC = 1，∠ABC = 90°，把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).

（1）在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N. 證明DM = DN；

（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM = DN是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB于M，DM = DN是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論，不用證明.

題2 （徐州08年中考28題）如圖4，一副直角三角板滿足AB = BC，AC = DE，∠ABC = ∠DEF = 90°，∠EDF = 30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

（1）如圖5，當(dāng)■ = 1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.

（2）如圖6，當(dāng)■ = 2時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.

（3）根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)■ = m時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為 ，其中的取值范圍是 （直接寫出結(jié)論，不必證明）

題3 （湖南常德06中考試題26）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC = ∠DEF = 90°，∠C = ∠F = 45°， AB = DE = 4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖7，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ.此時(shí)，AP × CQ = .

（2）將三角板DEF由圖7所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.其中0° < α < 90°，問(wèn)AP × CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由.

由于本課的主旨在于讓學(xué)生在圖形變換的“變化”過(guò)程中尋找“不變”的量和關(guān)系，因而初稿就直接刪掉了研究變量之間的函數(shù)關(guān)系這一類題.

3. 試教反思

經(jīng)過(guò)試講發(fā)現(xiàn)幾個(gè)問(wèn)題：

（1）課題引入“三角板中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？”問(wèn)題設(shè)置不合理，范圍太廣學(xué)生回答時(shí)有如大海撈針，與本課相關(guān)的知識(shí)回答不到位，所用時(shí)間太多.

（2）山東臨沂的試題與徐州試題的第一題 本質(zhì)上是相同的，故顯得重復(fù)；

（3）由于這些題都是操作探究型問(wèn)題，相對(duì)有些思維的難度，直接在課堂上解決，學(xué)生的思考時(shí)間太短，未能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

修改方案：

（1）引入問(wèn)題：“三角板中蘊(yùn)含哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？”調(diào)整成“三角板中蘊(yùn)含的知識(shí)分類：與邊有關(guān)的有哪些？與角相關(guān)的有哪些？與高相關(guān)的有哪些？”

（2）把山東臨沂與徐州的兩個(gè)試題進(jìn)行了改編合并成一個(gè)題，在小題的設(shè)置上作出相應(yīng)的調(diào)整：【探究一】即問(wèn)題1，將其第二小題的“如圖”改成讓學(xué)生根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖形，意在訓(xùn)練學(xué)生的審題、畫圖等能力.

（3）將改編的【問(wèn)題】提前發(fā)給學(xué)生進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，課堂主要解決的問(wèn)題是方法點(diǎn)撥和歸納；問(wèn)題3作為課堂練習(xí)“試一試”，其中也設(shè)置了根據(jù)題意畫圖這個(gè)環(huán)節(jié)，檢查學(xué)生的掌握情況.

修改后如下：

4. 施教教案

【課題引入】：三角板這個(gè)學(xué)習(xí)工具包含的數(shù)學(xué)知識(shí)很多，我們可以將其簡(jiǎn)單分類：與邊相關(guān)的有哪些？與角相關(guān)的有哪些？與斜邊上的高相關(guān)的有哪些？

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1. 如圖（10），將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，擺放在桌面上，若∠AOD = 145°，則∠BOC = 度，∠AOD + ∠BOC =

度.

變式：若∠AOD = α，則∠AOD + ∠BOC = 度.

2. 如圖（11），將一副直角三角板重疊，直角頂點(diǎn)重合，若∠AOC = 40°則∠DOB = 度.

變式：若∠AOC = α，則∠DOB = 度.

【探索發(fā)現(xiàn)】

問(wèn)題：一副直角三角板滿足AB = BC，AC = DE，∠ABC = ∠DEF = 90°，∠EDF = 30°，將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，

【探究一】當(dāng)E與AC中點(diǎn)O重合（即■ = 1）

（1）如圖12，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊DE交邊AB于點(diǎn)P， 邊EF交邊BC 于點(diǎn)Q， 猜想并寫出EP與EQ 滿足的數(shù)量關(guān)系，證明你的猜想.

（2）若繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，EF的延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)?jiān)趫D13中畫出圖形，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出結(jié)論不需要證明. 若不成立，說(shuō)明理由.

（3）如圖14，F(xiàn)E延長(zhǎng)線與BC邊交于Q，DE延長(zhǎng)線與AB邊交于P，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出結(jié)論，不需要證明；若不成立，說(shuō)明理由.

【探究二】當(dāng)E不與AC中點(diǎn)O重合，如■ = 2時(shí)，如圖15，邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC交于點(diǎn)Q，猜想EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想.

【探究三】根據(jù)你對(duì)一、二的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)■ = m時(shí)（邊DE與邊A B交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC交于點(diǎn)Q），EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為 （直接寫出結(jié)論，不必證明）

【學(xué)以致用】

試一試：把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC = ∠DEF = 90°，∠C = ∠F = 45°， AB = DE = 4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q.

（1）如圖16，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ.此時(shí)， AP × CQ = .

（2）將三角板DEF由圖16所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α.其中0° < α < 90°，畫出圖形并猜想AP × CQ的值是否改變？證明你的猜想.

5. 施教反思

修改過(guò)的方案試講后又有一些想法：引入部分—三角板中的數(shù)學(xué)知識(shí)很多與本課重點(diǎn)聯(lián)系不緊密，因此把知識(shí)梳理重點(diǎn)放在等腰直角三角形這個(gè)特殊三角形上，以它及其斜邊上的高組成的圖形為一個(gè)基本圖形，為下文在復(fù)雜圖形解決問(wèn)題作鋪墊. 基礎(chǔ)練習(xí)及其變式也提煉出一張基本圖形：兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的直角三角形，根據(jù)同角的余角相等可以找到一對(duì)相等的角. 在上課過(guò)程中把基本圖形畫在黑板上，以及每個(gè)小題的不同解法相應(yīng)的圖形和輔助線都畫在黑板上，給學(xué)生以參考、提示.

對(duì)問(wèn)題的解決進(jìn)行方法點(diǎn)撥：

（1）猜想從何而來(lái)？特殊情況

【探究一】中有兩種特殊情況：一、△DEF的一條直角邊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)（如圖19、20）；二、△DEF的兩條直角邊分別與△ABC的兩條直角邊互相垂直（如圖21）. 容易證明EQ = EP，因此大膽猜想一般情況下結(jié)論相同.

【探究二】中由于交點(diǎn)位置的限制只有一種特殊情況：△DEF的兩條直角邊分別與△ABC的兩條直角邊互相垂直（如圖22）.這時(shí)容易證得■ = ■ = 2，因此可以猜想一般情況下結(jié)論相同.

（2）如何論證你的猜想？把一般情況轉(zhuǎn)化成特殊情況

【探究一】需要證明線段相等，只需證明線段所在的三角形全等. 學(xué)生根據(jù)兩種特殊情況，提出構(gòu)造全等三角形的方法有兩種.

（法一） 如圖23，連接BE，轉(zhuǎn)化成第一種特殊情況，構(gòu)造出直角頂點(diǎn)重合的基本圖形，根據(jù)基本圖形可知∠PEB = ∠QEC，從而可證得△PEB ≌ △QEC.

（法二）如圖24，作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，轉(zhuǎn)化成第二種特殊情況，同樣構(gòu)造出直角頂點(diǎn)重合的基本圖形，根據(jù)基本圖形可知∠MEP = ∠NEQ，從而可證得△PEM ≌ △QEN. 兩種方法各有一半左右的學(xué)生選用，思路很清楚.

【探究二】需要證明線段成比例，只需證明線段所在的三角形相似，絕大多數(shù)學(xué)生根據(jù)特殊情況提出方法一，極少數(shù)學(xué)生類比【探究一】提出方法二，只有唯一一名學(xué)生提出方法三.

（法一）如圖25，作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，轉(zhuǎn)化成圖22的特殊情況，構(gòu)造出直角頂點(diǎn)重合的基本圖形，根據(jù)基本圖形可知∠MEP = ∠NEQ，從而證得△PEM ∽ △QEN.

（法二）如圖26，作EG⊥AC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角頂點(diǎn)重合的基本圖形，根據(jù)基本圖形可知∠PEG = ∠QEC，從而可以證得△PEG ∽ △QEC.

（法三）如圖27，在△ABC中以E為頂點(diǎn)構(gòu)造∠AEG = ∠CEQ，可證得△AEG ∽ △CEQ，■ = ■.然后證明GE = PE，同樣可以證得結(jié)論.

（3）根據(jù)【探究一】的三個(gè)小問(wèn)，你可以概括出一個(gè)什么結(jié)論？

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)直線DE交直線AB于點(diǎn)P，直線EF交直線BC 于點(diǎn)Q時(shí)，EQ = EP.

【探究三】是將前面的結(jié)論推廣到更一般的情況，其中m的取值是有限制條件的，這個(gè)問(wèn)題留給學(xué)生作為課后思考題. 小結(jié)：

【探究一】→【探究二】→【探究三】一連串的問(wèn)題通過(guò)直角頂點(diǎn)E在AC邊上的位置變化從特殊到一般，相應(yīng)的結(jié)論從特殊的線段相等到一般的線段成比例，解決問(wèn)題的方法也從特殊的三角形全等到一般的三角形相似，其中包含了重要的數(shù)學(xué)思想方法：從特殊到一般.

解決問(wèn)題的基本思路：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特殊情況→得出猜想→論證猜想.

“試一試”讓學(xué)生根據(jù)小結(jié)得出的基本思路自己獨(dú)立去解決，其中第二題注重審題，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有兩種不同情況需要分類討論：如圖28、29

學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中出現(xiàn)了以下問(wèn)題：①圖形畫錯(cuò)，原因主要有起始位置搞錯(cuò)或者旋轉(zhuǎn)方向錯(cuò)，都屬于審題不清；②相當(dāng)一部分學(xué)生只畫出了一種情況，簡(jiǎn)單的線段與線段相交（旋轉(zhuǎn)角度小于45度時(shí)），屬于考慮問(wèn)題不全面. 對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題當(dāng)場(chǎng)進(jìn)行講評(píng). 指出這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終保持△PAD ∽ △DCQ.

本課研究的解題思路同樣適用于其他圖形變換.