如何整體把握三角函數(shù)的數(shù)學

徐見明

“整體把握三角函數(shù)的教學”是一個很大的課題，下面筆者就從整體把握教與學這兩個方面泛泛地淡談本人對“三角函數(shù)”這部分內(nèi)容的理解與思考。

一、理清知識結構及前后知識的系統(tǒng)性

1.必修四的內(nèi)容安排：三角函數(shù)一平面向量一三角恒等變形。這冊書內(nèi)容安排的內(nèi)在聯(lián)系非常密切，其中把平面向量放在三角函數(shù)和三角恒等變形之間，起到承上啟下的作用，只有先學習三角函數(shù)，A‘能更有利于學習平面向量，學生A-能理解平面向量數(shù)量積的含義，而三角恒等變形的公式cos（α-β）=Cosα-cosβ+sinαsinβ就是利用平面向量的方法進行證明，并在此證明基礎上利用換元法證明了其他和、差角公式及二倍角公式，很顯然我們老師要理解和體會這樣的設計意圖。

2.三角函數(shù)內(nèi)在的知識結構。三角函數(shù)的定義：

三角函數(shù)的誘導公式

同角三角關系

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)iy=A sin（ wx+ψ）的}=應用

圖象與性質(zhì)

二、把握三角函數(shù)及相關知識的教育價值

1.有助于學生體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系以及數(shù)學在解決實際問題中的應用。

2.有助于學生進一步深化對函數(shù)的理解和認識。

3.三角恒等變形有助于培養(yǎng)學生演繹推理的能力，體會演繹推理的作用，提高運算能力。

4.三角恒等變形有助于學生認識數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程。

三、明確三角函數(shù)的課標要求

根據(jù)課標的要求，教學中要注意：（1）充分利用教材中提供的日常生活實例，使學生體會到自然界存在大量遵循周期性變化的現(xiàn)象，同時也讓學生逐漸認識到三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型。（2）教學中注重知識的形成和發(fā)展過程，關注知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透“事物之間是普遍聯(lián)系的”唯物主義辯證觀點。（3）三角函數(shù)的教學要重視數(shù)形結合，特別是利用圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì)，利用圖象解題等。（4）恒等變形是數(shù)學學習的基本功之一，教學中要適度加強這方面的訓練。（5）注意挖掘三角恒等變形的思維訓練價值及運算訓練價值，注意“通法通則”。

四、注意三角函數(shù)的特殊地位

“三角函數(shù)”是中學數(shù)學中重要的基本初等函數(shù)之一，是描述周期現(xiàn)象的典型的函數(shù)模型，具有廣泛的實際應用價值。教學中要注意以下幾點：（1）按照研究函數(shù)的一般方法來研究。即認識它的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等。依托定義一研究圖象一再認識性質(zhì)。（2）體現(xiàn)三角函數(shù)的特殊性。一是注意體現(xiàn)定義的特殊性，即從角一角的孤度制一到實數(shù)集與實數(shù)集的對應關系，二是三角函數(shù)的周期性和對稱性是它所具有的特性，教學中要把這兩個性質(zhì)凸顯出來，作為教學的重點。（3）注重三角函數(shù)的實用性，三角函數(shù)的周期性在實際生活和物理學中必須有著廣泛的應用，其應用價值必將是高考考查的重要方向，因此教學中必須加強函數(shù)建模的教學與引導。

五、注重三角函數(shù)中數(shù)學思想與方法的滲透

三角函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，它的定義、圖象和性質(zhì)有十分鮮明的特征和規(guī)律，它和代數(shù)、幾何知識有著密切的聯(lián)系，是研究其他知識的重要工具，在實際問題中也有廣泛的應用。三角函數(shù)這部分教材中蘊藏著很多數(shù)學思想和方法。

1.集合思想：如象限角的集合，用集合表示三角函數(shù)的定義域和值域。

2.對應思想：角的概念推廣以后，在弧度制下集合和實數(shù)集建立了一一對應的關系：即每一個角都有唯一的實數(shù)與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角與它對應。

3.轉化與化歸思想：如利用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值，再進一步劃歸為銳角。利用兩角和差公式把非特殊角的三角函數(shù)數(shù)值化歸為已知的三角函數(shù)值。還有將y=smx的圖象經(jīng)過平移變換一周期變化一振幅變化而得到y(tǒng)=A sin（wx+w）的圖象。

4.數(shù)形緒合思想：用坐標來定義三角函數(shù)；用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)；用單位圓引出正弦、余弦的誘導公式；利用圖象來研究三角函數(shù)的性質(zhì)；通過將正弦線上各點的坐標進行平行移動、伸長或縮短來畫出三角函數(shù)的簡圖等，這些都體現(xiàn)了數(shù)與形的結合。

5.整體思想：利用正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)解題時，常常把wx+ψ看作整體來處理。

由此可見，三角函數(shù)及恒等變形中蘊含著大量的思想方法，按照《高考說明》要求，高考試題中必然涉及這些思想方法。

數(shù)學教學的重要任務之一是滲透思想方法的教學，并用思想方法引領解題教學。作為教師，我們首先要弄清楚教材中所反映的思想方法以及它與數(shù)學相關知識之間的聯(lián)系，并適時做出歸納和概括，在具體的授課活動中以適當?shù)姆绞剑ㄈ缣釂?、探究、反思）將?shù)學思想方法加以揭示，并使之表層化，使學生達到真正意義上的領會和掌握，增強學生對數(shù)學思想方法的應用意識。

六、高考命題特點及對教學的啟示

從安徽省及全國卷看，高考對本章要求保持平穩(wěn)，避免對復雜三角變換和特殊技巧的考查，注重對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查，對基礎知識及基本技能考查，在考查三角公式進行恒等變形的同時也直接考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換。這也和教材相關內(nèi)容的設計理念相吻合。

根據(jù)上述特點，教學中注意以下幾點：（1）三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是本章教學的重點，這部分內(nèi)容是高考解答題的主要題型，其中周期性和對稱性也是三角函數(shù)自身最重要的性質(zhì)。（2）理清三角函數(shù)知識之間的聯(lián)系和公式之間的關系，注意三角函數(shù)化簡和求值的訓練。（3）重視三角函數(shù)的建模。教材把“潮汐與港口水深”這一三角專題作為參考案例，教材幾處涉及三角函數(shù)在物理學科中的應用。如用函數(shù)y=A sin（ wx+ψ）來刻畫物理中的簡諧振動等，說明三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要模型，顯然我們必須重視這種設計意圖。