分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用探究

袁紹建

【摘要】 數(shù)學(xué)學(xué)科非常重視對不同解題思想的運用，根據(jù)不同題目的類型與特點，采用最佳且最適合的解題方法，是數(shù)學(xué)思想運用在解題技巧中的最佳方式. 分類討論是初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)解題策略，在實際教學(xué)過程中分類討論思想的應(yīng)用對于幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的規(guī)律，對于提升學(xué)生的概括能力和條理性具有重要意義. 本文結(jié)合實際案例來具體探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用.

【關(guān)鍵詞】 分類討論思想；初中數(shù)學(xué)；解題；運用

數(shù)學(xué)思想是人們對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、模式結(jié)構(gòu)的意識反映，是思維活動的結(jié)果. 它能幫助人們系統(tǒng)化地學(xué)習(xí)知識、掌握結(jié)構(gòu)，提供最佳解決問題的策略，諸如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、方程與函數(shù)思想、分類討論思想，等等. 分類討論思想，指的就是在解決一個問題的過程中，采取單一的某種方法是無法解決的，而是需要把問題加以劃分，形成若干個可以用不同方式去處理的小問題，再逐個將小問題解決之后，最終實現(xiàn)解決問題的目的.

一、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用

分類討論思想從本質(zhì)上講其實是一種邏輯劃分的思維方式，體現(xiàn)在教學(xué)中則表現(xiàn)為“化整為零”逐一對問題進(jìn)行擊破，然后再實現(xiàn)積零為整的教學(xué)方式. 分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種重要的解題策略，它不僅體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，也揭示著數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于學(xué)生總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)知識. 更重要的是，在面對諸多數(shù)學(xué)問題時，科學(xué)有效、合理有序的分類討論，不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，增加學(xué)生解題成功的概率，從而達(dá)到調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情與積極性的目的；也有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，使學(xué)生真正認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)科的無限魅力，從而在促進(jìn)初中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化與升級的同時，高效推進(jìn)教育改革的完美轉(zhuǎn)型.

二、分類討論思想需要堅持的原則

在應(yīng)用分類討論思想進(jìn)行解題的過程中學(xué)生和教師必須要堅持以下兩個原則：一是同一性與相稱性原則. 針對分類討論思想的應(yīng)用首先是要明確對象，只有在明確對象的前提下才能進(jìn)行科學(xué)討論. 在實際解題過程中不需要對全部對象進(jìn)行分類，分類過程中標(biāo)準(zhǔn)也應(yīng)該保持一致. 分類標(biāo)準(zhǔn)一致，才能保證對象分類的科學(xué)性. 例如在對三角形進(jìn)行分類的過程中如果同時應(yīng)用角和邊這兩個分類標(biāo)準(zhǔn)就會導(dǎo)致三角形分類的不科學(xué). 應(yīng)用兩種標(biāo)準(zhǔn)分出的類別將會存在交集. 二是在實際教學(xué)過程中還應(yīng)該堅持互斥性與多層次性原則. 互斥性原則主要指的是分出來的各個子項應(yīng)該是相互排斥的，兩個子項之間應(yīng)該是沒有交集的. 層次性原則主要指的是在實際解題過程中有可能會出現(xiàn)多次分類的現(xiàn)象，出現(xiàn)這種現(xiàn)象之后就需要堅持層次性原則. 所謂層次性原則主要指的是應(yīng)用二分法把具有層次性的互相矛盾的概念進(jìn)行逐層分類，通過這樣的方式可以有效提升分類的科學(xué)性.

三、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用

明確分類討論思想的具體應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識，需要做好以下幾點：第一，認(rèn)真閱讀題目，了解題目考查的范圍，這是正確解答數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵. 初中生在解答數(shù)學(xué)題的過程中普遍存在學(xué)習(xí)態(tài)度較為馬虎或?qū)ψ陨磔^為有把握的題目考慮不周的情況，這是造成數(shù)學(xué)解試題失分的主要原因. 初中生只有認(rèn)真閱讀數(shù)學(xué)題目，才能在明確題目考查的范圍的基礎(chǔ)上作出正確的解答. 第二，規(guī)范解題的格式. 雖然數(shù)學(xué)題目較為注重解題的結(jié)果，將解題的格式放在次要位置，但是數(shù)學(xué)解題也有其既定的格式，若格式不正確，不僅會造成數(shù)學(xué)試卷小幅度的失分，長此以往也會影響學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的端正. 因此，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題的過程中應(yīng)規(guī)范解題的格式，將分類討論的格式貫穿于數(shù)學(xué)解題的始終. 本文將結(jié)合實際案例來具體探討分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運用.

1. 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)教學(xué)中出現(xiàn)分類討論的題型較多，有關(guān)于一次函數(shù)，有關(guān)于反比例函數(shù)的，還有綜合性較強的二次函數(shù)，它們大多是由一元二次方程的性質(zhì)演變而來，教者要引導(dǎo)學(xué)生分清情況進(jìn)行說明.

例1 求函數(shù)y=（k - 1）x2 - kx + 1與x軸的交點坐標(biāo).

分析 本題條件是不唯一的，問題中沒有說明是什么函數(shù)，要分兩種情況：一次函數(shù)或二次函數(shù)進(jìn)行討論.

解 ① 當(dāng)k = 1時，此函數(shù)是一次函數(shù)y = -x + 1，與x軸的交點坐標(biāo)為（1，0）；② 當(dāng)此函數(shù)為二次函數(shù)時，k ≠ 1，△=（-k）2 - 4（k - 1） = （k - 2）2. 而二次函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)與△的符號有關(guān)，因此要分△ > 0、△ = 0兩種情況分析：若△ > 0，即k ≠ 2時，有兩個交點（1，0）、■，0；若△ = 0，即k = 2時，有一個交點（1，0）.

例2 已知函數(shù)y = （m - 1）x2 + （m - 2）x - 1，其中m為實數(shù). 若函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，求m的值.

分析 本題應(yīng)從函數(shù)的分類角度來探討，分成兩種情況，即m - 1 = 0與m - 1 ≠ 0，進(jìn)而來求出m的值.

解 當(dāng)m - 1 = 0即m = 1時，該函數(shù)為y = -x - 1，所以與x軸僅有一個交點（-1，0）；當(dāng)m - 1 ≠ 0時，該函數(shù)則是一個二次函數(shù)，由△ = （m - 2）2 - 4（m - 1）（-1） = 0得m = 0. 因此，拋物線y = -x2 - 2x - 1的頂點為（-1，0），位于x軸上.綜上所得，當(dāng)m = 0或m = 1時，函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點.

2. 分類討論思想在幾何中的應(yīng)用

眾所周知，在判定直線與圓的位置關(guān)系時，根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系將其劃分為：直線與圓相離、相切、相交這三種位置關(guān)系. 這就是使用分類討論思想進(jìn)行幾何知識教學(xué)最常見的例子. 再比如在求直角三角形邊長的時候，同樣可以利用到分類討論的思想. 舉例說明，在開展學(xué) 習(xí)的過程中，我們能夠看到這樣的一個例題：已知一個直角三角形的兩邊長為6和8，求第三邊的長. 筆者在授課過程中便會有意識地詢問學(xué)生：“已知直角三角形的兩條邊規(guī)定其是什么邊了么？是斜邊還是直角邊？”學(xué)生依照這一思路，就能夠有意識地進(jìn)行分類解答問題. 若兩條邊都是直角邊，毫無疑問第三邊的長就是10；若8是斜邊，則6是一直角邊，那么第三邊的長是2■.

例3 如果半徑分別為6與4的兩圓相切，那么兩圓之間的圓心距為（ ）.

A. 10 B. 2 C. 5或1 D. 10或2

分析 兩圓相切一般分為兩種情況，即外切、內(nèi)切. 如果兩圓為外切，那么兩圓之間的圓心距是10；如果兩圓為內(nèi)切，那么兩圓之間的圓心距是2. 因此，本題的答案為（D）.

3. 分類討論思想在解方程中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)對學(xué)生而言，解方程普遍存在難度，因此對方程有關(guān)知識的學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的難點和重點，解方程的方法有很多，如消元法、替換法、降次法以及去分母法等. 由于方法比較多，學(xué)生在實際解題過程中容易經(jīng)常出現(xiàn)混淆的情況，而分類討論思想在解方程過程中尤為重要.

例4 解關(guān)于x，y的方程組mx - ny = mnx - my = n，其中m2 ≠ n2.

分析 可將兩個方程兩邊同乘以m和n，然后將兩式相減消去y. 因m和n是字母而不是數(shù)字，只有當(dāng)m和n不等于零時，才可以消去y. 因為m、n是字母，所以需要對m、n的取值進(jìn)行分類討論.

解 （1）當(dāng)m ≠ 0，且n ≠ 0時，將原方程組化為m2x - mny = m2①，n2x - mny = n2②，由① - ②得（m2 - n2）x = m2 - n2. 又知m2 ≠ n2，所以可得x = 1. 將x = 1代入mx - ny = m求得y = 0，所以原方程的解為x = 1y = 0；（2）當(dāng)m = 0，且n ≠ 0時，原方程組化為-ny = 0nx = n，解得x = 1y = 0；（3）當(dāng)n = 0，且m ≠ 0時，原方程組化為mx = m-my = 0，解得x = 1y = 0.

所以原方程的解為x = 1y = 0.

數(shù)學(xué)分類討論思想是配合初中數(shù)學(xué)知識點教學(xué)的思維方式之一，既是對學(xué)生有針對性地理解數(shù)學(xué)題目中的實際考核要點與難點的鍛煉，也是促進(jìn)學(xué)生成功解決數(shù)學(xué)難題較為有效而方便的思考線路. 數(shù)學(xué)思想是具有很強的靈活性與連接性的，運用分類討論思想解決了一種類型的數(shù)學(xué)難題，若遇到類似的問題時，學(xué)生可以進(jìn)行靈活的思想轉(zhuǎn)換；若遇到新的問題時，學(xué)生則可以鏈接相同的數(shù)學(xué)思想對問題進(jìn)行驗證. 總的來說，分類討論思想不僅僅是一種數(shù)學(xué)思維方式，更是一種對數(shù)學(xué)的認(rèn)知能力，有效地掌握這種思想的特點與應(yīng)用方法，對學(xué)生綜合能力的提升與數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化都是具有十分重要的意義.

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