基于曲面擬合模型的山區(qū)GNSS水準(zhǔn)精度分析

房新玉，陸偉，姚曉偉

（交通運(yùn)輸部天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所水運(yùn)工程測(cè)繪技術(shù)研究中心，天津300456）

基于曲面擬合模型的山區(qū)GNSS水準(zhǔn)精度分析

房新玉，陸偉，姚曉偉

（交通運(yùn)輸部天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所水運(yùn)工程測(cè)繪技術(shù)研究中心，天津300456）

介紹了測(cè)量中的高程系統(tǒng)及其轉(zhuǎn)換關(guān)系，對(duì)GNSS水準(zhǔn)模型進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹。通過實(shí)例對(duì)山區(qū)GNSS水準(zhǔn)曲面擬合的精度進(jìn)行了分析，并對(duì)GNSS水準(zhǔn)精度和外圍點(diǎn)的精度進(jìn)行了評(píng)定，得到了一些有工程價(jià)值的結(jié)論。

GNSS；高程擬合；正常高；大地高；擬合精度

GNSS水準(zhǔn)高程擬合研究是為了實(shí)現(xiàn)由GNSS大地高求出水準(zhǔn)高，用GNSS水準(zhǔn)代替幾何水準(zhǔn)，提高GNSS水準(zhǔn)測(cè)量的精度，發(fā)揮GNSS技術(shù)提供三維坐標(biāo)的優(yōu)越性［1-2］。

采用GNSS測(cè)定正高或正常高，成為GNSS水準(zhǔn)。通過GNSS測(cè)出的是大地高，要確定點(diǎn)的正高或正常高，需要進(jìn)行高程系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，即確定大地水準(zhǔn)面差距或高程異常［1-3］。

大地高程系統(tǒng)是以參考橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)，它是一個(gè)幾何量，不具有物理意義。GNSS定位測(cè)量獲得的是WGS-84坐標(biāo)系下高精度的大地高，大地高一般用H表示［4-5］。

正高是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)，它是唯一確定的數(shù)值，可以用來表示地面點(diǎn)的高程，但由于地殼質(zhì)量分布的不均勻，正高不可能準(zhǔn)確求定，正高用Hg表示。

圖1 大地高、正高、正常高關(guān)系圖Fig.1 Relationship of geodetic height，orthogonal height and normal height

正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程系統(tǒng)，正常高用Hr表示［4-5］。

似大地水準(zhǔn)面到參考橢球面的距離成為高程異常，用ξ表示。大地高和正常高的關(guān)系可以表示為

如果高程異常已知，通過式（1）就能進(jìn)行大地高和正常高之間的相互轉(zhuǎn)換，但當(dāng)其未知時(shí)，則需要設(shè)法確定高程異常的數(shù)值。確定高程異常的基本方法有天文大地法、大地水準(zhǔn)面模型法、重力測(cè)量法和幾何內(nèi)插法及殘差模型等方法。下面以幾何內(nèi)插法為例，介紹高程擬合的方法［4-5］。并利用曲面擬合模型對(duì)GNSS水準(zhǔn)在山區(qū)的擬合精度進(jìn)行分析。

1 幾何內(nèi)插法的數(shù)學(xué)模型

幾何內(nèi)插法的基本原理就是通過一些既進(jìn)行了GNSS觀測(cè)，又進(jìn)行了水準(zhǔn)測(cè)量的公共點(diǎn)獲得相應(yīng)的高程異常，采用平面或曲面擬合、配置、三次樣條等內(nèi)插方法，擬合出測(cè)區(qū)的高程異常面，進(jìn)而求出待求點(diǎn)的正常高［1-2］。

在進(jìn)行多項(xiàng)式內(nèi)插時(shí)，可采用不同階次的多項(xiàng)式。假定（x,y）為測(cè)區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的高程異常，其高程異常值為ξ

f(x,y)為測(cè)區(qū)內(nèi)高程異常擬合的數(shù)學(xué)模型。則可將高程異常表示為下面的多項(xiàng)式形式零次多項(xiàng)式（常數(shù)擬合）

一次多項(xiàng)式（平面擬合）

二次多項(xiàng)式（曲面擬合）

若采用零次多項(xiàng)式進(jìn)行內(nèi)插，至少需要1個(gè)公共點(diǎn)；若采用一次多項(xiàng)式進(jìn)行內(nèi)插，至少需要3個(gè)公共點(diǎn)；若采用二次多項(xiàng)式進(jìn)行內(nèi)插，至少需要6個(gè)公共點(diǎn)。然后利用最小二乘原理解算出多項(xiàng)式系數(shù)，從而確定測(cè)區(qū)的高程異常曲面，利用擬合出的曲面，內(nèi)插出其他GNSS點(diǎn)的高程異常，從而求出各個(gè)待求點(diǎn)的正常高。

零次多項(xiàng)式適用于高程異常變化平緩的地區(qū)，如果GNSS和水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)較高的情況，在控制點(diǎn)周圍4 km范圍內(nèi)，可以達(dá)到3 cm的精度［6］。

一次多項(xiàng)式適用于高程異常變化平緩的地區(qū)且控制點(diǎn)較少的情況，它的精度情況與GNSS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的分布和精度情況有關(guān)，它的擬合精度要高于零次多項(xiàng)式的擬合精度而低于二次多項(xiàng)式擬合的精度［7］。

二次多項(xiàng)式適用于控制點(diǎn)較多的情況，可以應(yīng)用于流域、平原和山區(qū)，它的精度情況與GNSS水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的分布和精度情況有關(guān)，精度要優(yōu)于一次多項(xiàng)式擬合的精度［6-7］。

2 實(shí)例分析及擬合精度

2.1 實(shí)例分析

測(cè)區(qū)位于南方某沿海地區(qū)，3條河流自西向東貫穿該地區(qū)，3條河流之間為山區(qū)，測(cè)區(qū)東西向長(zhǎng)約65 km，南北向長(zhǎng)約78 km，測(cè)區(qū)范圍為3 400 km2，共有水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)39個(gè)，其水準(zhǔn)為二等，部分為三等，分布情況如圖2所示。

2.2 觀測(cè)值權(quán)陣確定

高程異常的精度受GNSS和準(zhǔn)測(cè)量精度的雙重影響，根據(jù)公式（1）可知

圖2 水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)點(diǎn)位分布圖Fig.2 Distribution of benchmark

GNSS靜態(tài)大地高的精度與二等水準(zhǔn)測(cè)量的精度相同［8］，根據(jù)水準(zhǔn)測(cè)量規(guī)范規(guī)定的各個(gè)等級(jí)水準(zhǔn)的限差要求，設(shè)定GNSS大地高和水準(zhǔn)的權(quán)重如表1，并依此推定高程異常的權(quán)。

2.3 擬合精度分析

在對(duì)數(shù)據(jù)粗差點(diǎn)10，22，25進(jìn)行剔除后，按以下5種方案采用曲面擬合法對(duì)測(cè)區(qū)擬合情況進(jìn)行分析。

表1GNSS大地高和水準(zhǔn)的權(quán)Tab.1 Weight of GNSS geodetic height and benchmark

（1）點(diǎn)位均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)，選擇控制點(diǎn)5，9，12，14，18，24，26，34，39共9個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余點(diǎn)作為校核點(diǎn)；（2）點(diǎn)位均勻分布于測(cè)區(qū)中部，選擇控制點(diǎn)2，7，11，21，26，30，32，38共8個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余點(diǎn)作為校核點(diǎn)；（3）點(diǎn)位均已分布于測(cè)區(qū)北部，選擇控制點(diǎn)2，6，9，11，14，18，21，24共8個(gè)點(diǎn)作為擬合點(diǎn)，其余點(diǎn)作為校核點(diǎn)；（4）點(diǎn)位均勻分布于整個(gè)測(cè)區(qū)，選擇控制點(diǎn)3，5，13，15，19，31，35，38共8個(gè)點(diǎn)作為校核點(diǎn)，其余點(diǎn)作為擬合點(diǎn)；（5）采用分區(qū)擬合，分北部、中部、南部三區(qū)分別進(jìn)行擬合，區(qū)與區(qū)之間有公共點(diǎn)。控制點(diǎn)11、13作為北部和中區(qū)部擬合的分界點(diǎn)和公共點(diǎn)，控制點(diǎn)28、32作為中部和南部區(qū)域的分界點(diǎn)和公共點(diǎn)。分區(qū)擬合時(shí)，分別在北部選擇4、12、16校核點(diǎn)，中部選擇27、29作為校核點(diǎn)，南部選擇35、38作為校核點(diǎn)。

從表2中可以看出：

（1）擬合點(diǎn)的高程異常之差小于校核點(diǎn)，顯然，這是因?yàn)閿M合模型是依靠擬合點(diǎn)高程異常數(shù)據(jù)建立起來的；（2）方案1的內(nèi)符合精度、外符合精度均較大，大于5 cm，這是由于擬合點(diǎn)較少，且擬合的面積較大造成的；（3）方案4的內(nèi)符合精度大于5 cm、外符合精度均較小，這是由于擬合區(qū)域較大，造成內(nèi)符合精度較大；參與擬合的點(diǎn)較多，因此外符合精度較?。唬?）方案2、方案3和方案5的內(nèi)符合精度、控制點(diǎn)覆蓋范圍內(nèi)的外符合精度均較小；這是由于擬合的區(qū)域較?。唬?）方案2和方案3控制點(diǎn)覆蓋范圍外的外符合精度比較大，因此，控制點(diǎn)覆蓋范圍外的不能應(yīng)用該擬合結(jié)果。

2.4GNSS水準(zhǔn)精度評(píng)定

內(nèi)符合精度和外符合精度是絕對(duì)精度評(píng)定的方法，相對(duì)精度的評(píng)定為根據(jù)檢核點(diǎn)至已知點(diǎn)的距離L（km），按幾何水準(zhǔn)限差計(jì)算檢核點(diǎn)擬合殘差的限值（表2），將殘差與限值比較，評(píng)定GNSS水準(zhǔn)的精度。

以方案3為例，對(duì)控制點(diǎn)覆蓋范圍內(nèi)的GNSS水準(zhǔn)精度進(jìn)行評(píng)定，該表中：平均值內(nèi)符合精度；外符合精度

表2 不同方案高程異常擬合結(jié)果與幾何水準(zhǔn)計(jì)算異常結(jié)果之差值Tab.2 Difference of height anomaly fitting results using different schemes and geometric leveling m

表3GNSS水準(zhǔn)限差［11］Tab.3 Tolerance of GNSS benchmark

圖3GNSS水準(zhǔn)精度評(píng)定點(diǎn)位分布圖

Fig.3 Distribution of GNSS benchmark accuracy evaluation區(qū)域東西長(zhǎng)約60 km，南北寬約38 km，面積約1 325 km2，控制點(diǎn)分布情況如圖3所示。

根據(jù)方案3和表3，得到了GNSS水準(zhǔn)精度評(píng)定情況，如表4所示。

除了16、23號(hào)控制點(diǎn)高程異常差值在四等限差和等外限差之間，其他點(diǎn)均滿足三等水準(zhǔn)測(cè)量精度需求；16號(hào)點(diǎn)距最近14號(hào)點(diǎn)的實(shí)地距離約為9.2 km，此時(shí)的四等限差為0.061 m，滿足四等規(guī)范要求；23號(hào)點(diǎn)距最近的24號(hào)點(diǎn)實(shí)地距離約為14 km，此時(shí)的四等限差為0.075 m，擬合精度滿足四等規(guī)范要求。從圖3中可以看出，23號(hào)點(diǎn)位于測(cè)區(qū)邊緣，且距測(cè)區(qū)最近參與擬合控制距離較遠(yuǎn)，因此，在測(cè)區(qū)邊緣，參與擬合的控制點(diǎn)間距盡可能的不要太大。

從以上分析GNSS水準(zhǔn)的擬合精度滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量精度的要求，大部分情況可以滿足三等水準(zhǔn)測(cè)量精度的要求。

表4GNSS水準(zhǔn)精度評(píng)定表Tab.4 GNSS benchmark accuracy evaluation

2.5 外圍點(diǎn)的精度評(píng)定

各種擬合模型都不宜外推，但在實(shí)際工作中，測(cè)區(qū)的GNSS點(diǎn)不可能全部都包含在已知點(diǎn)連成的幾何圖形內(nèi)。對(duì)這些外圍點(diǎn)，GNSS水準(zhǔn)計(jì)算時(shí)只能外推，為了校核GNSS水準(zhǔn)外推精度，從1、9號(hào)點(diǎn)按三等水準(zhǔn)測(cè)量精度要求聯(lián)測(cè)了3個(gè)水準(zhǔn)點(diǎn)40、41、42，并對(duì)GNSS水準(zhǔn)外推精度進(jìn)行了校核。方案如圖4所示，圖4中帶三角形的點(diǎn)為擬合點(diǎn)，其他點(diǎn)為校核點(diǎn)，擬合區(qū)域東西長(zhǎng)54 km，南北長(zhǎng)28 km。從而得到了GNSS水準(zhǔn)外圍點(diǎn)精度評(píng)定情況，如表5所示。

從表5中可以看出，擬合點(diǎn)東側(cè)區(qū)域外圍25 km的控制點(diǎn)差值均在四等限差范圍以內(nèi)，南側(cè)外圍20 km的控制點(diǎn)均在等外限差以內(nèi)，經(jīng)分析可知，這是由于擬合區(qū)域東西向較南北向長(zhǎng)，因此在同樣距離下，東側(cè)區(qū)域外側(cè)的精度較好。在四等限差精度限差的要求下，東側(cè)外推長(zhǎng)長(zhǎng)度比約為25/54≈1/3，在等外限差精度限差的要求下，南北側(cè)外推長(zhǎng)度比約為20/28≈2/3。這個(gè)結(jié)論僅對(duì)本項(xiàng)目適用，要具體問題具體分析，在驗(yàn)證合格后方可使用。

圖4GNSS水準(zhǔn)外圍點(diǎn)精度估算控制點(diǎn)分布圖Fig.4 Distribution of GNSS benchmark peripheral point evaluation

表5GNSS外圍點(diǎn)精度評(píng)定表Tab.5 GNSS benchmark peripheral point used for accuracy

3 結(jié)論

GNSS水準(zhǔn)擬合的精度不僅與起算點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，而且與起算點(diǎn)的空間分布有著密切的關(guān)系，一般來說控制點(diǎn)數(shù)量越多，控制點(diǎn)分布越均勻，擬合精度越高；在面積較大的區(qū)域，建議采用分區(qū)擬合的方法進(jìn)行擬合，各區(qū)之間要有公共點(diǎn)；在控制點(diǎn)密度足夠時(shí)，采用GNSS水準(zhǔn)擬合可以滿足四等水準(zhǔn)測(cè)量精度的需求；GNSS水準(zhǔn)外圍點(diǎn)在擬合區(qū)域外圍1/3可以達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量精度。但需要指出的是，GNSS擬合的精度與模型精度，區(qū)域高程異常變化的復(fù)雜程度有關(guān)，在應(yīng)用GNSS水準(zhǔn)擬合時(shí)，一定要有檢核，并且在檢核點(diǎn)精度滿足要求時(shí)方可使用。

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Analysis on precision of GNSS level base on surface fitting in mountain area

FANG Xin?yu,LU Wei,YAO Xiao?wei
(Tianjin Research Institute for Water Transport Engineering,Surveying&Mapping Technology Research Center for Water Transport Engineering,Tianjin 300456,China)

The elevation systems in measurement and their transformation relationship were introduced,and the GNSS level models were also introduced briefly.The precision of GNSS leveling surface fitting in mountain area was analyzed through examples,and the GNSS level accuracy and peripheral point accuracy were assessed,and some valuable conclusions were obtained.

Global Navigation Satellite System;height fitting;normal height;geodetic height;fitting precision

P 715

A

1005-8443（2015）02-0176-05

臺(tái)州打造椒江內(nèi)河樣板航道

2014-04-22；

2014-08-15

房新玉（1983-），男，河南省南陽人，工程師，主要從事GPS測(cè)量數(shù)據(jù)處理研究工作。

Biography：FANG Xin?yu（1983-），male，engineer.

本刊從浙江省交通運(yùn)輸廳獲悉，2015年2月25日，浙江省臺(tái)州市椒江區(qū)組織開展了椒江內(nèi)河樣板航道建設(shè)協(xié)議簽訂活動(dòng)。椒江內(nèi)河樣板航道位于臺(tái)州永寧河十字涇，起點(diǎn)為椒江與路橋行政區(qū)域交界，終點(diǎn)為洪家街道永寧河段，總長(zhǎng)1.3 km，預(yù)計(jì)工程總投資約800萬元。據(jù)悉，該工程將由椒江區(qū)港航管理處負(fù)責(zé)實(shí)施，是臺(tái)州市進(jìn)一步響應(yīng)浙江省“五水共治”政策，不斷提高航道通航能力、美化兩岸環(huán)境、改善周邊居住條件、打造標(biāo)準(zhǔn)航段的重點(diǎn)工程。同時(shí)，該工程也是目前臺(tái)州市計(jì)劃建設(shè)的唯一的內(nèi)河樣板航道。（殷缶，梅深）