考慮土體材料二維空間變異特性的邊坡可靠度分析

褚雪松,李 亮,呂 惠

(青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院,山東青島 266033)

考慮土體材料二維空間變異特性的邊坡可靠度分析

褚雪松,李 亮,呂 惠

(青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院,山東青島 266033)

為了更合理地分析邊坡的可靠性,提出了考慮土體二維空間變異特性的邊坡可靠度分析方法,將邊坡區(qū)域離散為系列單元,假設(shè)單元內(nèi)土體材料參數(shù)完全相關(guān),通過假定的自相關(guān)函數(shù)確定單元之間土體材料參數(shù)的相關(guān)系數(shù),采用子集模擬法抽樣,運(yùn)用和聲搜索算法搜索最小的安全系數(shù)作為該次抽樣的結(jié)果。將提出的可靠度分析方法應(yīng)用于兩個邊坡實(shí)例的可靠度分析中,并與已有結(jié)果進(jìn)行對比分析,結(jié)果表明,考慮土體材料參數(shù)的空間變異特性后,邊坡的破壞概率降低,邊坡可能的破壞區(qū)域逐漸增多。

邊坡穩(wěn)定;空間變異特性;可靠度分析;子集模擬方法;極限平衡法;破壞概率

基于極限平衡的確定性分析方法仍然是當(dāng)前邊坡穩(wěn)定分析的主要手段之一,但是越來越多的研究表明,可靠度分析方法考慮了土體材料的變異特性,可以作為確定性分析方法的有益補(bǔ)充[1-2]。導(dǎo)致土體材料參數(shù)變異特性的原因有很多,比如土體材料本身的空間變異、試驗(yàn)方法、數(shù)學(xué)模型等[3],本文僅考慮土體材料本身固有的空間變異特性對邊坡可靠度的影響。龔勛等[4]采用二維隨機(jī)場與蒙特卡羅方法相結(jié)合,將土體的黏聚力作為一個空間二維隨機(jī)場研究了土體空間變異特性對淺基礎(chǔ)極限承載能力的影響;李典慶等[5]利用隨機(jī)響應(yīng)面法進(jìn)行了邊坡可靠度分析;以上方法均是在有限元方法的框架之內(nèi)完成的,國外Griffiths等[6-8]也在有限元方法的框架之內(nèi)開展了一系列有意義的工作。而極限平衡方法仍然是相對較簡單且易于工程應(yīng)用的方法之一,因此有必要在極限平衡框架之內(nèi),提出考慮空間變異特性的邊坡可靠度分析方法。雖然JI等[9]在極限平衡方法的框架之內(nèi),提出了基于Excel的邊坡可靠度分析方法,然而其模擬土體材料二維空間變異特性的手段較為復(fù)雜,本文提出一種基于單元的二維空間變異特性模擬方法(圖1),并與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果進(jìn)行對比。

圖1 二維空間變異特性模擬示意圖

1 土體材料空間變異特性

將圖1所示邊坡區(qū)域離散為20個單元,每個單元中土體材料的參數(shù)比如密度ρ、黏聚力c、內(nèi)摩擦角φ等都是完全相關(guān)的,不同單元之間土體材料參數(shù)是相關(guān)的,相關(guān)系數(shù)可由自相關(guān)函數(shù)確定,本文采用經(jīng)典負(fù)指數(shù)自相關(guān)函數(shù)來確定[10]:

式中:ρi,j為單元i、j中參數(shù)的相關(guān)系數(shù);xi、yi分別為第i個單元形心的x、y坐標(biāo);xj、yj分別為第j個單元形心的x、y坐標(biāo);λx、λy分別為x、y方向上土體材料的自相似距離,Degroot等[11]研究表明,λy在0.5～3.0之間,λx在15～30之間。由公式(1)可知,在自相似距離一定的前提下,兩個單元之間的距離越大,單元土體材料參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)越小。當(dāng)λx→+∞、λy→+∞時,所有單元土體材料參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)均為1,圖1所示邊坡即成為所謂的均質(zhì)邊坡。

如上所述,空間變異特性實(shí)際上是通過考慮不同單元材料之間的相關(guān)系數(shù)來實(shí)現(xiàn)的,可根據(jù)劃分的單元和公式(1)計算相關(guān)系數(shù)。以圖1所示的邊坡為例,假設(shè)只考慮每個單元內(nèi)土體材料的c、φ作為隨機(jī)變量,則共有40個隨機(jī)變量,需要構(gòu)造一個40×40的相關(guān)系數(shù)矩陣,圖2為相關(guān)系數(shù)矩陣示意圖。本文基于單元的二維空間變異特性的模擬實(shí)際上是隨機(jī)場均化的一種特例,單元的尺寸可以控制在其相應(yīng)2倍的自相似距離以內(nèi)[12]。圖2中ρc-φ是c與φ之間的相關(guān)系數(shù),其一般是負(fù)相關(guān)的[1],圖2示意圖中假設(shè)所有單元的c與φ之間相關(guān)系數(shù)均相等,當(dāng)然也可以根據(jù)實(shí)際情況,指定不同的相關(guān)系數(shù),在此不再贅述。

2 基于子集模擬法的邊坡可靠度分析

子集模擬法是一種適用于研究小概率事件的高效隨機(jī)模擬方法,其基本思路是用若干中間失效事件表達(dá)小概率的失效事件,小概率失效事件的概率值可以表示為相應(yīng)中間失效事件概率值的乘積[13-16]。通過這種方式,將小概率事件模擬問題轉(zhuǎn)化為一系列發(fā)生概率較大的中間失效事件的模擬問題。在模擬過程中,通過馬爾科夫鏈原理進(jìn)行條件樣本抽樣,使樣本空間逐步逼近小概率事件發(fā)生的失效區(qū)域,具體說來,在根據(jù)當(dāng)前樣本產(chǎn)生備選樣本時,采用文獻(xiàn)[13]提出的用建議分布函數(shù)產(chǎn)生備選樣本點(diǎn),下面在極限平衡方法框架內(nèi)對子集模擬法的步驟進(jìn)行描述。

2.1 基于極限平衡法的功能函數(shù)

子集模擬法是在蒙特卡羅法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。蒙特卡羅法中最基本的方法就是抽樣,即產(chǎn)生符合土體參數(shù)分布的一系列值,土體參數(shù)一般假定服從正態(tài)或者對數(shù)正態(tài)分布,后基于這一系列土體參數(shù)值進(jìn)行確定性分析[1]。本文基于圓弧滑動面假定,利用簡化畢省普法[17]計算滑動面的安全系數(shù),采用和聲搜索算法[18-20]搜索最小的安全系數(shù)及其對應(yīng)的滑動面作為某次抽樣的結(jié)果。在可靠度分析中邊坡失穩(wěn)與否是通過判斷功能函數(shù)值是否小于零來實(shí)現(xiàn)的,若某次抽樣的結(jié)果小于零,則認(rèn)為邊坡失穩(wěn),所以本文的功能函數(shù)G定義為

式中:X為土體參數(shù)向量;Fsmin(X)為相應(yīng)于X的邊坡最小安全系數(shù);m為隨機(jī)變量個數(shù)。

2.2 子集模擬法步驟

a.利用常規(guī)蒙特卡羅法產(chǎn)生一系列抽樣值Xi=(xi1,xi2,…,xim)(i=1,2,…,N),N為抽樣個數(shù),計數(shù)器J=0。

b.對于某一抽樣值Xi進(jìn)行確定性分析,利用和聲搜索算法找出最小的安全系數(shù)Fsi(i=1,2,…,N)。

c.將Fsi按升序排列,同時更新Xi。

圖2 相關(guān)系數(shù)矩陣

e.將前Nc個抽樣值作為初始值,分別產(chǎn)生1/p0個條件抽樣值,以第j個初始抽樣值Xj為例,其相應(yīng)的獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間內(nèi)的值為ξj1,ξj2,…, ξjm,由公式(3)計算其上、下限:

式中:uk、lk分別為第k個參數(shù)的上、下限;ηk為N個抽樣值的標(biāo)準(zhǔn)差;xu為N個抽樣值的均值;w為常量,一般取2.0[12]。

a.根據(jù)式(3)所求上、下限,隨機(jī)生成ξ＇jk。

e.對前Nc個抽樣值中的每一個均執(zhí)行步驟a、b、c、d,如此共產(chǎn)生N個新的條件抽樣值,即目前N個抽樣結(jié)果均小于fs,J。

綜上可知,子集模擬法共需要N、w、p0這3個參數(shù),根據(jù)文獻(xiàn)[12]研究的結(jié)果,本文算例分析中取N=500,w=2.0,p0=0.1。子集模擬法得到的pf即是邊坡的破壞概率。

3 算例分析

對文獻(xiàn)[9]中分析的兩個算例利用本文可靠度分析方法(以下簡稱本文方法)重新進(jìn)行計算,并將結(jié)果與文獻(xiàn)[9]結(jié)果進(jìn)行對比分析。

3.1 算例1

圖3為修建在軟土地基上的邊坡,其中上部土層的參數(shù)作為定值,ρ=1 900 kg/m3,c=5 kPa,φ= 30°。下部軟土層的不排水強(qiáng)度cu作為正態(tài)分布隨機(jī)變量,其均值為25 kPa,變異系數(shù)Cov=0.25,即cu的標(biāo)準(zhǔn)差為6.25 kPa。軟土層的密度視為定值,且與上部土層密度相等。文獻(xiàn)[11]研究表明,λy在0.5～3.0之間,λx在15～30之間,所以在劃分單元時,寬度間距要小于土層參數(shù)的λx,高度間距要小于λy,由于文獻(xiàn)[9]假定λx=20m,λy=2m,本文將下部軟土層劃分為12個單元,寬度間距10m,高度間距2m。

圖3 軟土地基上的邊坡離散示意圖

首先利用自編的Fortran程序進(jìn)行確定性分析,即將下部軟土層的cu取為均值,利用簡化畢肖普法計算給定滑動面的安全系數(shù),采用和聲搜索算法找出最小安全系數(shù)及其對應(yīng)的滑動面(確定性臨界滑動面);其次不考慮軟土層的空間變異特性,即12個單元之間的cu是完全相關(guān)的,進(jìn)行了邊坡破壞概率的求解,最后根據(jù)文獻(xiàn)[9]給出的自相似距離,進(jìn)行4種不同參數(shù)組合下的計算。

3.1.1 確定性分析

圖4為確定性分析得到的確定性臨界滑動面,其對應(yīng)的簡化畢肖普安全系數(shù)為1.476,文獻(xiàn)[9]給出了Spencer法的結(jié)果為1.462,將本文的確定性臨界滑動面用Spencer法重新進(jìn)行了計算,其安全系數(shù)為1.466,這與文獻(xiàn)[9]的1.462基本一致,證明本文自編的Fortran程序是正確的。

圖4 確定性臨界滑動面(算例1)

3.1.2 完全相關(guān)的破壞概率

當(dāng)下部軟土層的cu在空間上完全相關(guān)時,利用本文的可靠度分析方法進(jìn)行邊坡破壞概率的計算,得到pf=9.08%。對于子集模擬法的每次抽樣,均須利用和聲算法搜索出對應(yīng)的最小安全系數(shù)及其對應(yīng)的滑動面,圖5為計算過程中每次抽樣的最小安全系數(shù)對應(yīng)的滑動面集合(即破壞概率對應(yīng)的滑動面集合),由此可以看出,邊坡最可能的破壞區(qū)域(下同)。由圖5可見,不考慮cu空間變異特性時,邊坡主要有兩個破壞模式,這為邊坡的設(shè)計與治理提供了決策依據(jù)。

圖5 破壞概率對應(yīng)的滑動面集合(算例1)

3.1.3 幾種參數(shù)組合的破壞概率

表1為文獻(xiàn)[9]考慮的4種參數(shù)組合,利用本文方法重新進(jìn)行了計算,同時與文獻(xiàn)[9]的計算結(jié)果進(jìn)行對比,兩種方法所得規(guī)律基本一致,破壞概率pf在同一數(shù)量級,具體的差別有可能是不同的條塊數(shù)以及不同的搜索算法導(dǎo)致,綜合來看,文獻(xiàn)[9]計算方法可能沒有找到某一抽樣的最小安全系數(shù),導(dǎo)致破壞概率偏小。

表1 破壞概率計算結(jié)果對比(算例1)

圖6為破壞概率對應(yīng)的滑動面集合比較。由圖6(a)可見,λx=λy=1000m時,所得圖形與圖5基本一致,即自相似距離趨于+∞時,相當(dāng)于不考慮土層參數(shù)之間的空間變異性,即完全相關(guān)。由圖6(b)知,當(dāng)λy=2m時,邊坡最可能的破壞區(qū)域增加為4個,這說明考慮土層參數(shù)的空間變異性以后,雖然邊坡可能的破壞區(qū)域增加,但最終破壞概率降低,這與文獻(xiàn)[9]的結(jié)論一致。

圖6 破壞概率對應(yīng)的滑動面集合比較(算例1)

3.2 算例2

圖7為c-φ邊坡離散示意圖,其中密度在計算中視為定值(1900 kg/m3),分別將c＇、φ＇作為正態(tài)分布隨機(jī)變量考慮,其均值以及變異系數(shù)Cov分別為15 kPa、0.3以及23°、0.1,即c＇和φ＇的標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.5 kPa和2.3°。將邊坡區(qū)域劃分為28個單元,寬度間距5m,高度間距2m,其示意圖如圖7所示。c＇、φ＇之間的相關(guān)系數(shù)為-0.5。

圖7 c-φ邊坡離散示意圖

圖8 確定性臨界滑動面(算例2)

3.2.2 完全相關(guān)的破壞概率

當(dāng)僅考慮c＇、φ＇之間的相關(guān)系數(shù),不考慮c＇與φ＇在空間上的變異特性時,應(yīng)用本文方法進(jìn)行邊坡可靠度分析,得到的破壞概率為9.28%,圖9為破壞概率對應(yīng)的滑動面集合。

圖9 破壞概率對應(yīng)的滑動面集合(算例2)

3.2.1 確定性分析

圖8為確定性分析得到的確定性臨界滑動面,其對應(yīng)的簡化畢肖普安全系數(shù)為1.213,文獻(xiàn)[9]給出了Spencer法的結(jié)果為1.226,將本文的確定性臨界滑動面用Spencer法重新進(jìn)行計算,其安全系數(shù)為1.223,這與文獻(xiàn)[9]的1.226基本一致。

3.2.3 幾種參數(shù)組合的破壞概率

表2為文獻(xiàn)[9]的4種參數(shù)組合,利用本文方法進(jìn)行了計算,同時與文[9]結(jié)果進(jìn)行對比,兩種方法所得規(guī)律基本一致,破壞概率pf在同一數(shù)量級。破壞概率對應(yīng)的滑動面集合如圖10所示,可以得到與算例1相同的規(guī)律,不再贅述。

表2 破壞概率計算結(jié)果對比(算例2)

圖10 破壞概率對應(yīng)的滑動面集合比較(算例2)

4 結(jié) 論

a.考慮土體材料參數(shù)的空間變異特性后,邊坡的破壞概率降低,即不考慮土體材料參數(shù)的空間變異特性時,所得破壞概率偏大。

b.由最小安全系數(shù)對應(yīng)的滑動面集合來看,考慮土體材料參數(shù)空間變異特性以后,邊坡可能的破壞區(qū)域逐漸增多。

c.基于劃分單元的空間變異特性可靠度分析方法可以嘗試應(yīng)用于邊坡可靠度分析。

[1]陳祖煜.土質(zhì)土坡穩(wěn)定分析:原理·方法·程序[M].北京:中國水利水電出版社,2003:372-373.

[2]DUNCAN J M.Factors of safety and reliability in geotechnical engineering[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2000,126(4):307-316.

[3]WHITMAN R V.Organizing and evaluating uncertainty in geotechnical engineering[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2000,126(7):583-593.

[4]龔勛,張冬梅,黃宏偉.二維空間隨機(jī)場的淺基礎(chǔ)極限承載力可靠度分析[J].地下空間與工程學(xué)報,2012 (增刊2):1676-1679.(GONG Xun,ZHANG Dongmei, HUANG Hongwei.Reliability anlysis of allowable pressure on shallow foundation based on 2D random field[J]. Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2012(Sup 2):1676-1679.(in Chinese))

[5]李典慶,周創(chuàng)兵,陳益峰,等.邊坡可靠度分析的隨機(jī)響應(yīng)面法及程序?qū)崿F(xiàn)[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報,2010,29 (8):1513-1523.(LI Dianqing,ZHOU Chuangbing, CHEN Yifeng,et al.Reliability analysis of slope using stochastic response surface method and code implementation[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2010,29(8):1513-1523.(in Chinese))

[6]GRIFFITHS,D V,FENTON,G A.Probabilistic slope stability analysis by finite elements[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2004, 130(5):507-518.

[7]GRIFFITHS D V,HUANG J,FENTON GA.Influence of spatial variability on slope reliability using 2-D random fields[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2009,135(10):1367-1378.

[8]GRIFFITHSD V,HUANG J,FENTON G A.Probabilistic infinite slope analysis[J].Computers and Geotechnics, 2011,38(4):577-584.

[9]JI J,LOW B K.Modeling 2-D spatial variation in slope reliability analysis using interpolated autocorrelations[J]. Computers and Geotechnics,2012,40(3):135-146.

[10]LI K S,LUMB P.Probabilistic design of slopes[J]. Canadian Geotechnical Journal,1987,24(4):520-535.

[11]DEGROOT DJ.Analyzing spatial variability of in situ soil properties[J].Geotechnical Special Publication,1996,58 (1):210-238.

[12]VANMARCKE E H.Probabilisticmodeling of soil profiles [J].Journal of the Geotechnical Engineering Division, 1977,103(11):1227-1246.

[13]AU S K,BECK J L.Estimation of small failure probabilities in high dimensions by subsetsimulation[J]. Probabilistic Engineering Mechanics,2001,16(4):263-277.

[14]AU SK,BECK J L.Subset simulation and its application to seismic risk based on dynamic analysis[J].Journal of Engineering Mechanics,2003,129(8):901-917.

[15]AU S K,CAO Z J,WANG Y.Implementing advanced monte carlo simulation under spreadsheet environment [J].Structural Safety,2010,32(5):281-292.

[16]宋述芳,呂震宙.基于馬爾可夫蒙特卡羅子集模擬的可靠性靈敏度分析方法[J].機(jī)械工程學(xué)報,2009,45 (4):33-38.(SONG Shufang,LV Zhenzhou.Structural reliability sensitivity ananlysis method based on Markov Chain Monte Carlo Subset simulation[J].Journal of Mechnical Engineering,2009,45(4):33-38.(in Chinese))

[17]BISHOP A W.The use of the slip circle in the stability analysis of slopes[J].Geotechnique,1955,5(1):7-10.

[18]GEEM Z W,KIM J H,LOGANATHAN G V.A new heuristic optimization algorithm:harmony search[J]. Simulation,2001,76(2):60-68.

[19]李亮,褚雪松.邊坡臨界滑動面與臨界可靠度滑動面對比分析[J]華中科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,40 (9):81-85.(LI Liang,CHU Xuesong.Comparative analysis between critical slip surface and critical reliability slip surface of slopes[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology:Natural Science Edition,2012, 40(9):81-85.(in Chinese))

[20]李亮,褚雪松,鄭榕明.Rosenblueth法在邊坡可靠度分析中的應(yīng)用[J].水利水電科技進(jìn)展,2012,32(3):53-56.(LI Liang,CHU Xuesong,CHENG Yungming. Application of Rosenblueth method in reliability analysis of soil slopes[J].Advances in Science and Technology of Water Resources,2012,32(3):53-56.(in Chinese))

Reliability analysis of slope stability considering two-dimensional spatial variability of soil

CHU Xuesong,LI Liang,L‥U Hui(School of Civil Engineering,Qingdao Technological University,Qingdao 266033,China)

A method for slope system reliability analysis considering spatial variability of soil is developed to rationally evaluate the reliability of slope stability.The basic idea is that the slope domain is discretized into a series of“elements”, within each of which the soil property is fully correlated.The correlation coefficient among soil properties from different elements is obtained assuming autocorrelation function.Sets of random samples are generated by subset simulation,and harmony search algorithm is adopted to search the minimum factor of safety as the corresponding output.The method is applied to two examples to analyze the reliability and then compare it with existing results.Overall,the results show that the failure probability is lower than the case without considering the spatial variability and the potential failuremodes are greater than thatwithout taking into account the spatial variability.

slope stability;spatial variability;reliability analysis;subset simulation method;limit equilibrium method; failure probability

TU441

A

1006-7647(2015)02-0032-05

10.3880/j.issn.1006 7647.2015.02.007

2013-11-05 編輯:周紅梅)

國家自然科學(xué)基金(51274126,51008167);大連理工大學(xué)海岸與近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(LP1214)

褚雪松(1977—),女,遼寧鐵嶺人,副教授,博士研究生,主要從事巖土防災(zāi)減災(zāi)研究。Email:celldl@126.com