帶觀察時(shí)的跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶模型的紅利貼現(xiàn)問題＊

談普林

（武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 武漢 430072）

1 引 言

其中，u＝U（0）≥0為初始盈余，c為保費(fèi)率即收入率，S（t）表示保險(xiǎn)公司的總索賠額即支出，一般為復(fù)合泊松過程．在研究一般公司的盈余過程時(shí)發(fā)現(xiàn)公司的支出是持續(xù)的，收入是隨機(jī)的．通過改進(jìn)得到了對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，可參見 Avanzi等人（2007）［1］，Avanzi 和 Gerber （2008）［2］，Gerber 和 Smith（2008）［3］的工作．在對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型中，t時(shí)刻的盈余表示為

在這個(gè)模型中c表示費(fèi)用率即支出率，S（t）表示總收益，其中N（t）和Yi相互獨(dú)立．假設(shè)是非負(fù)的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，密度函數(shù)為p（y）且期望為μ＝E（Y1）．

De Finetti（1957）［4］首次提出在風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮分紅策略，認(rèn)為這個(gè)過程更貼切實(shí)際情形．分紅策略一般有兩種．一種是邊值策略，即當(dāng)盈余過程超過給定的邊值時(shí)，紅利才分發(fā)且發(fā)放超過邊值部分的全部．另一種是閥值策略，相同的是在盈余過程超過給定閥值才分發(fā)紅利，不同的是當(dāng)超過閥值時(shí)，分紅率是一個(gè)固定的常數(shù)．Avanzi等人（2007）［1］研究了在邊值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)紅利問題，Avanzi等人（2013）［5］研究了在邊值策略下帶觀察時(shí)的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利，Ng（2009）［6］研究了在閥值策略下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的貼現(xiàn)紅利．關(guān)于收益過程，這些文章都是基于復(fù)合泊松過程討論的，在模型的進(jìn)一步推廣時(shí)，收益改用更新過程來研究．Li和 Garrido（2004）［7］研究了復(fù)合更新過程（索賠時(shí)間間隔即跳過程服從Erlang（n）分布）下風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率，Albrecher等人（2005）［8］則給出了跳服從廣義Erlang（n）分布的貼現(xiàn)紅利任意階矩，Eugenio等人（2014）［9］在跳服從Erlang（n）分布下把模型推廣到對(duì)偶情形并討論破產(chǎn)概率和貼現(xiàn)紅利問題，Yang和Sendova（2014）［10］在此基礎(chǔ)上推廣到廣義Erlang（n）分布．關(guān)于收益過程采用復(fù)合更新過程來描述已經(jīng)有很多文章了，但是他們都沒考慮帶觀察時(shí)的情形．基于此，考慮在邊值策略下帶觀察時(shí)跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型．不同于Peng等人（2013）［11］（紅利分發(fā)和破產(chǎn)均在觀察時(shí)發(fā)生）的研究，而是類似于Avanzi等人（2013）［5］紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生而破產(chǎn)可能是在任意時(shí)刻發(fā)生的（即盈余U（t）＜0就破產(chǎn)）．

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第二部分，介紹具體模型和定義．在第三部分第一節(jié)，給出紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）滿足的微積分方程組．在第三部分第二節(jié)，利用第三部分第一節(jié)結(jié)果討論收益額服從PH（m）分布時(shí)的紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)，并給出V（u；b）的解析解．在第三部分第三節(jié)，給出觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的具體求解．在第四部分第一節(jié)，給出跳退化為指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解及其極限，并與 Avanzi等人（2007）［1］和 Avanzi等人（2013）［5］的結(jié)果進(jìn)行比較．在第四部分第二節(jié)，給出跳服從Erlang（2）分布時(shí)，V（u；b）的數(shù)值舉例．

2 模型及定義

根據(jù)式（1），｛U（t），t≥0｝ 的破產(chǎn)時(shí)間定義為τ＝inf ｛t≥0：U（t）≤0｝ ．計(jì) 數(shù) 過 程N(yùn)（t）＝min ｛k：T1＋T2＋…＋Tk＋1＞t｝是 一 個(gè) 更 新 過程，是正的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列（T定義i為第（i－1）次產(chǎn)生收益到第i次產(chǎn)生收益的時(shí)間間隔）．

假定Ti（i＝1，2，…）服從 Erlang（n）分布，即密度函數(shù)為！．假設(shè)公司是可盈利的，即c＜μ／E（Ti）?cn＜λμ．

其中Mi為第（i－1）次觀察與第i次觀察所經(jīng)歷的時(shí)間，｛Mi，i≥1｝獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為F（x），并假設(shè)與 ｛Yi，i≥1｝以及相互獨(dú)立．進(jìn)一步，假設(shè)邊值策略下紅利分發(fā)只發(fā)生在時(shí)刻，即任意時(shí)刻Zk盈余超出邊界值b（＞0），則超出部分全部作為紅利分發(fā)．

以及對(duì)k＝1，2…，

類似地定義當(dāng)前模型的破產(chǎn)時(shí)間為令Kb＝則Kb表示直到破產(chǎn)為止總共發(fā)生觀察的次數(shù)．

紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)可定義為

其中a＋＝max（a，0），δ為貼現(xiàn)力．假設(shè)V（u；b）線性有界．圖1給出了盈余過程的變化軌跡圖．

圖1 盈余過程 ｛Ub（t），t≥0｝ 的變化軌跡圖

3 跳服從Erlang（n）分布時(shí)V（u，b）的求解

由Erlang（n）是n個(gè)獨(dú)立同分布的指數(shù)分布之和，把跳過程分成n步，前n－1步跳的大小為0，最后一步跳的密度函數(shù)為p（y），y≥0．第i步跳的紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)記為Vi（u；b），i＝1，2，…，n，且假設(shè)在b點(diǎn)連續(xù)．對(duì)i＝1，2，…，n，定義

3．1 V（u；b）的微積分方程組

定理1Vi（u；b），i＝1，2…，n，滿足下面的微積分方程組

當(dāng)i＝1，2，…，n－1時(shí)，

當(dāng)i＝n時(shí)，

Vi（u；b），i＝1，2，…，n滿足邊界條件

其中f（x）是觀察時(shí)分布函數(shù)F（x）的密度函數(shù)．

證明 對(duì)u≥0，在每一步i足夠小的時(shí)間區(qū)間［0，h］中考慮跳和觀察兩個(gè)事件，注意到這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，在這個(gè)區(qū)間中根據(jù)它們是否發(fā)生以及發(fā)生的先后關(guān)系得到下面的等式．

當(dāng)i＝1，2，…n－1時(shí)，跳的大小為0，于是

對(duì)上式代入密度函數(shù)f（x），利用泰勒展式得到

可以看出上面等式右邊第四項(xiàng)趨向于o（h2）．于是，對(duì)上式兩邊同時(shí)除以h，并令h→0即可得式（2）．

當(dāng)i＝n時(shí)，跳的大?。词找骖~）的密度函數(shù)為p（y），y≥0，類似可推得

由上式同理可證式（3）成立，邊界條件由初始值假設(shè)和連續(xù)性假設(shè)得到．

當(dāng)f（x）＝，x＞0時(shí)，由定理1可以得到下面的推論．

推論1Vi（u；b），i＝1，2，…，n滿足下面的微積分方程組

當(dāng)i＝n時(shí)，

Vi（u；b），i＝1，2，…n滿足邊界條件

證明 由于f（0）＝γ，并把式（2）代入定理1即可證明推論成立．

注1 在推論1中，i＝n時(shí)發(fā)生了跳，由連續(xù)性假設(shè)可知令u＝b，有（b；b）＝（b；b），該條件在后面求解V（u；b）時(shí)將被應(yīng)用．

注2 顯然V（u；b）≡V1（u；b），因此只需求解（u；b）和VL，1（u；b）．

3．2 觀察時(shí)和收益額分別服從指數(shù)和PH（m）

分布時(shí)V（u；b）的求解

假定Erlang（2）為PH（m）分布，其中PH（m）定義可參見 Eugenio等人（2014）［9］的5．2部分．

3．2．1VU，1（u；b）的解析解

由Eugenio等人（2014）［9］的定理5．2知p（xu）的零化因子為qΒ（－Du），其中Du＝?／?u，qΒ（y）＝Det（Β－yΙm）．考慮qΒ（－Du）的多項(xiàng)式形式：

其中qi，i＝0，1，…，m，是常數(shù)．

對(duì)式（8）做變換y＋u＝x得到

對(duì)上式作用qΒ（－Du）＝得到

對(duì)上式求偏導(dǎo)?／?u得到

對(duì) 式（6）求偏導(dǎo)?／?u，當(dāng)i＝1，2，…，n－1時(shí)有

上式為遞歸形式，令?／?u＝Du，可知

把式（11）代入式（10）式整理可得

上式也可以歸納為

故VU，1（u；b）的解析解為

3．2．2VL，1（u；b）的解析解

由式 （5）可得，

先對(duì)式（7）做變換y＋u＝x，再作用qΒ（－Du）得到

將式（15）代入上式整理可得到

注意到對(duì)照Eugenio等人（2014）［9］的 （5．7）式，發(fā)現(xiàn)與上式是相同的．因此得到VL，1（u；b）的解析解為

3．3 觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的求解

在PH（m）中令m＝1，即p（y）＝βe－βy，y＞0，為指數(shù)分布，探討VU，1（u；b）和VL，1（u；b）顯示解的具體求解過程．

3．3．1VU，1（u；b）的解析解

由于此時(shí)p（y）為指數(shù)分布，整理式（12）得到

上式經(jīng)過展開可以得到關(guān)于VU，1（u；b）的n＋2次微分方程，即

其中k0，k1，…，kn＋2是由λ，γ，δ，β，c組成的常數(shù)．令

則當(dāng)i＝1，2，…，n＋2時(shí)，

當(dāng)i＝0時(shí)

其中Ai為待求系數(shù)，ri為下面式（22）的根，

引理1 方程式（22）有n個(gè)實(shí)部為負(fù)的根，且有唯一的正根．

證明 首先令f（ξ）＝＋…＋下面計(jì)算f（ξ），由式（20）可得

注意到上面系列等式左邊相加等于f（ξ），右邊相鄰兩式正負(fù)依次組合在一起提取公共項(xiàng)（1／λ）n－1（ξ－β）然后相加即得二項(xiàng)式展開形式．

經(jīng)過整理可得

故存在一個(gè)正根．

令f（－ξ）＝0，整理后得到

因?yàn)閰?shù)為β的指數(shù)分布的拉普拉斯變換等于，所以有的拉普拉斯變換）．根據(jù)Eugenio等人（2014）［9］第三部分的討論，可知方程22有n個(gè)實(shí)部為負(fù)的根．又因?yàn)榉匠?2共有n＋1個(gè)根，故有唯一的正根．

由引理1，假設(shè)是唯一的正根，根據(jù)V（u；b）線性有界假設(shè)，可得＝0．對(duì)VU，1（u；b）還有A0，A1，．．．，An共n＋1個(gè)待求系數(shù)，將在后文給出具體的求解過程．

3．3．2VL，1（u；b）的解析解

整理 式（16）得到

把 式（23）改寫成式 （24）

其中l(wèi)1，i＝0，1，…，n＋1，可寫成下面形式

于是，VL，1（u；b）的形式解為

其中，i＝1，2，…，n＋1，是下面方程的根

注意到有A0，A1，…，An，B1，B2，…，Bn＋1共2n＋2個(gè)待求系數(shù)，需要2n＋2個(gè)方程．首先，根據(jù)推論1的邊界條件共得到2n個(gè)方程．其次，利用注1得到一個(gè)方程．最后，把VU，1（u；b）和VL，1（u；b）的解析解以及 式（15）代入 式（7），根據(jù)的系數(shù)等于零得到第2n＋2個(gè)方程．

4 紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的求解實(shí)例

現(xiàn)在討論觀察時(shí)及收益額均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解和數(shù)值舉例．其中，在4．1中考慮跳服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的顯示解以及γ→ ∞時(shí)V（u；b）的極限．在4．2中考慮跳服從 Erlang（2）分布，并給出相應(yīng)的數(shù)值舉例．在不引起歧義的情況下，令V1（u；b）＝VL，1（u；b），

4．1 跳及觀察時(shí)均服從指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的求解

假設(shè)跳服從Erlang（1）分布，即指數(shù)分布，則式（7）改寫為

根據(jù) 式（21）得

由線性有界假設(shè)知A2＝0，因此

同理可得V1（u；b）的解析解為

其中，s1，s2是下面方程的兩根

根據(jù)V1（0；b）＝0，可推得

由邊界條件V1（b；b）＝V2（b；b）和（b；b）＝（b；b）以及 式（29）和（31）得

于是，由 式（32）和式（33）求得V1（u；b），V2（u；b）

其中g(shù)（x）＝βbr1x＋r1x－β（r1＋x），h（x，y）＝（β－x）（y－r1）．

注3 將上述結(jié)果與 Avanzi等人（2013）［5］的（4．2）式對(duì)比，當(dāng)－ργ＋δ＝r1時(shí)，由r1和s1分別是方程（28）和 （30）的根，可得下面的等式

于是，當(dāng)n＝1時(shí)，本文中的結(jié)果和Avanzi等人（2013）［5］的（4．2）式是一致的．

注4 由求解r對(duì)應(yīng)的方程可得出＝－11．對(duì)V1（u；b），0＜u≤b，取極限得到

分別為

對(duì)上述結(jié)論做數(shù)值模擬，見圖2、圖3和表1、表2．其中，圖2和圖3分別表示固定b在不同u值下隨著γ趨向無窮V1（u；b）的極限值．對(duì)比表1和表2會(huì)發(fā)現(xiàn)相同u值下，V1（u；b）隨b的增大而減?。?/p>

圖2 c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝12

圖3 c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝14

表1 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝12

表2 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝1，δ＝0．01，β＝1，b＝14

4．2 跳和觀察時(shí)分別服從Erlang（2）和指數(shù)分布時(shí)V（u；b）的數(shù)值舉例

跳服從Erlang（2）分布時(shí)，由第三部分第三節(jié)的討論可知

例 令c＝0．8，λ＝2，δ＝0．05，β＝1求得根s1＝0．1515，s2＝－0．5625，s3＝－3．7140和r1＝－3．9374，r2＝－6．0069．由上面的方程組可以看出待求系數(shù)與b相關(guān)，即給定b的值就可以求出相應(yīng)的系數(shù)，故有

經(jīng)過數(shù)值計(jì)算得到圖4和表3，圖表中的數(shù)據(jù)說明總體上V1（u；b）隨著b的增大而減小，隨著u的增大而增大．

圖4 關(guān)于b，V1（u；b）的函數(shù)圖像，u＝1，2，…，5

表4 參數(shù)γ和u對(duì)V1（u；γ）的影響，其中c＝0．8，λ＝2，γ＝2，δ＝0．05，β＝1

5 結(jié) 論

建立了邊值策略下帶觀察時(shí)的跳服從Erlang（n）分布的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型，通過求解隨機(jī)微分方程組給出了紅利期望貼現(xiàn)函數(shù)V（u；b）的解析解．相比較于傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)模型用于研究保險(xiǎn)公司的盈余過程，而其對(duì)偶模型適用于一般公司．對(duì)比Eugenio等人（2014）［9］研究Erlang（n）分布，利用更新過程的無記憶性，把Erlang（n）分布分成n個(gè)階段來討論．紅利分發(fā)只在觀察時(shí)發(fā)生的假設(shè)和使用更一般的更新過程來研究使研究結(jié)果更加具有現(xiàn)實(shí)意義和一般性．對(duì)于觀察時(shí)為指數(shù)分布等其它情形，可以進(jìn)一步使用其他分布來研究．

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