基于M/M/n排隊系統(tǒng)的公廁性能研究

王先超，盛樂園，董書一，成紅梅，于 勤

(1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.蚌埠三十一中，安徽 蚌埠 233000)

基于M/M/n排隊系統(tǒng)的公廁性能研究

王先超1，盛樂園1，董書一2，成紅梅1，于 勤1

(1.阜陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 阜陽 236037；2.蚌埠三十一中，安徽 蚌埠 233000)

針對公廁排隊問題，本文基于M/M/n排隊系統(tǒng)建立公廁排隊模型，并通過仿真分析了傳統(tǒng)的男女分離公廁和無性別公廁排隊系統(tǒng)的性能。結(jié)果顯示無性別公廁的各項性能指標(biāo)都優(yōu)于傳統(tǒng)公廁，從而為解決公廁排隊問題提供解決思路和理論依據(jù)。

排隊論；無性別公廁；M/M/n排隊系統(tǒng)

在一些人口密集的地方如旅游景區(qū)、超市商場、影劇院、候車候機廳、交通樞紐等公共場，頻頻出現(xiàn)公廁排隊的現(xiàn)象，尤其是女廁，引發(fā)了許多學(xué)者的共同關(guān)注。其中柏文學(xué)提出應(yīng)該為婦女提供公平的公共廁所的如廁權(quán)[1]。我國現(xiàn)在大型公共場所的公廁都是實行男女分開的策略，男女使用設(shè)施(包括蹲位和小便器)比例一般為1∶1。由于生理和著裝的原因，如廁時女性有著比男性更復(fù)雜的要求，而出現(xiàn)了男性基本無需等待、女性則要排隊等待時間很長的現(xiàn)象。其原因歸根到底就是公廁男女設(shè)施數(shù)量配比標(biāo)準(zhǔn)不合理或使用策略不當(dāng)。為解決該問題，在《城市公共廁所設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》中，特別強調(diào)：“廁所男蹲(坐、站)位與女蹲(坐)位的比例宜為 1∶1～2∶3”。馬康丁認為男女所用設(shè)施應(yīng)為1∶2[2]。夏蘇湘認為若如廁的男、女人數(shù)相等，則男女所用設(shè)施需求比例為1. 0∶2. 6，其中男性蹲位與小便器的比例約為1∶2[3]。管羚雅等認為男女公廁的蹲位比理論的合理值應(yīng)該是1∶2.2[4]。但現(xiàn)實生活中由于種種原因，并非如此。鄒茜、石之光認為增加公廁的數(shù)量是解決公廁排隊問題的一項非常重要措施[5-6]。然而，這些解決公廁排隊問題的方法基本都缺少相關(guān)理論和性能分析。

作為隨機運籌學(xué)中重要學(xué)科的排隊論，經(jīng)歷了一百多年的發(fā)展歷程，已廣泛應(yīng)用于解決通信[7]、運輸[8]、庫存[9]、任務(wù)調(diào)度[10]、資源分配[11]等諸多領(lǐng)域問題，凸顯了其強大生命力。本文擬基于M/M/n排隊系統(tǒng)建立傳統(tǒng)男女分離公廁和無性別公廁的排隊模型，并對其性能進行分析與比較。

1 基于M/M/n排隊系統(tǒng)的公廁排隊模型

針對公廁排隊現(xiàn)象，為提高兩性對公共設(shè)施使用公平性，促進公廁合理化建設(shè)和使用，本文基于M/M/n排隊系統(tǒng)[12-13]建立公廁排隊模型。圖1(a)和(b)分別為傳統(tǒng)公廁和無性別公廁排隊模型。

為研究系統(tǒng)性能，作如下假設(shè)：

男廁和女廁各有n個服務(wù)設(shè)施，且各設(shè)施的服務(wù)是相互獨立的；

男女顧客均按泊松流到達，到達強度均為λ，則無性別公廁顧客到達強度為2λ；

女廁各設(shè)施服從平均服務(wù)率為μ的負指數(shù)分布，其平均服務(wù)率為nμ。

由文獻[14]可知男女如廁耗時之比為1∶2，則男廁各設(shè)施服從平均服務(wù)率為2μ為負指數(shù)分布，其平均服務(wù)率為2nμ。

在相同數(shù)量服務(wù)實施的條件下，無性別公廁共有2n個服務(wù)實施，各設(shè)施服從平均服務(wù)率為1.5μ的負指數(shù)分布，其平均服務(wù)率為2n×1.5μ=3nμ。

圖1 公廁排隊模型示意圖

顯然，無論是男廁、女廁還是無性別公廁，都不需限制顧客源和系統(tǒng)容量。也就是說，各系統(tǒng)的可能狀態(tài)集S={0, 1, 2, ……}。按先到先服務(wù)(First Come First Service, FCFS)策略畫出各系統(tǒng)狀態(tài)流如圖2所示。

圖2 公廁排隊系統(tǒng)狀態(tài)流圖

2 系統(tǒng)主要性能指標(biāo)

下面先重點研究最簡單的女廁排隊系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)。

平均排隊等待顧客

平均忙著服務(wù)設(shè)施F=ρ。

平均隊長(即平均排隊等待顧客數(shù)CW與正在服務(wù)顧客數(shù)F之和)。

由Little公式[13]，可得顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間TW和平均逗留時間(平均等待時間TW與平均服務(wù)時間之和)TS。

表1 女廁、男廁和無性別公廁排隊系統(tǒng)的性能指標(biāo)

由表1可得傳統(tǒng)公廁排隊模型的主要指標(biāo)如下。

空閑概率即男廁和女廁都空閑概率

PT0=PF0·PM0=

滿員概率即男女兩廁都滿員概率

PTn=PFn·PMn=

平均等待顧客數(shù)即男女兩廁平均排隊等待顧客數(shù)的算術(shù)平均值

平均忙著的服務(wù)設(shè)施即男女兩廁平均忙著的服務(wù)設(shè)施之和

FT=FF+FM=ρ+0.9ρ=1.5ρ。

平均隊長即男女兩廁平均隊長的算術(shù)平均值

平均等待時間即男廁和女廁平均等待時間的算術(shù)平均值

平均逗留時間即男廁和女廁平均等待時間的算術(shù)平均值

剛到的顧客必須等待概率即剛到男廁和女廁的顧客必須等待概率之和

PTw=PFw+PMw。

3 系統(tǒng)性能仿真

為比較無性別公廁與傳統(tǒng)公廁的性能，我們對其進行仿真。女顧客如廁的平均時間為100s[15]，即女廁每個設(shè)施的平均服務(wù)μ率為0.6人/min。當(dāng)n=5，λ=2.5人/min時，ρ0=0.833<1，上述各排隊系統(tǒng)均會達到平衡狀態(tài)。此時各排隊系統(tǒng)的性能指標(biāo)如表2所示。

表2 n=5，λ=2.5人/min時各公廁排隊系統(tǒng)的性能指標(biāo)

從表2可以看出，除平均隊長外無性別公廁的其他性能指標(biāo)都優(yōu)于傳統(tǒng)公廁。

μ和n不變且系統(tǒng)能達到平穩(wěn)狀態(tài)時，變化對傳統(tǒng)公廁和無性別公廁系統(tǒng)性能的影響，如圖3所示。

由圖3(a)可以看出，無論怎么變化傳統(tǒng)公廁的2n個服務(wù)設(shè)施的空閑概率P0都比無性別公廁大；隨的增加，每個排隊系統(tǒng)中所有服務(wù)設(shè)施的空閑概率呈遞減趨勢。由圖3(b)可以看出，因受男廁的影響隨的增加傳統(tǒng)公廁中兩公廁同時滿員的概率越來越小于無性別公廁；女廁的滿員概率隨的增加而呈現(xiàn)先增后減趨勢，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)公廁的滿員概率也呈現(xiàn)先增后減趨勢。由圖3(c)可以看出，因受女廁平均等待顧客隨增加而逐漸增加的影

圖3 對不同公廁排隊系統(tǒng)性能的影響

響傳統(tǒng)公廁的平均等待顧客也隨增加而呈逐漸增加趨勢，而無性別公廁的平均等待顧客隨增加而呈微妙增加趨勢。由圖3(d)可以看出，隨增加每個排隊系統(tǒng)中平均忙著的服務(wù)設(shè)施呈線性增加。由圖3(e)可以看出，因受平均等待顧客影響傳統(tǒng)公廁的平均隊長也隨增加而呈急劇增加趨勢，而無性別公廁的平均隊長因受正在服務(wù)平均顧客數(shù)即平均忙著的服務(wù)設(shè)施的影響而呈現(xiàn)線性增加趨勢，而且當(dāng)時傳統(tǒng)公廁的平均隊長超過無性別公廁。由圖3(f)、 (g)和(h)可以看出， 隨增加女廁和傳統(tǒng)公廁的平均等待時間、平均逗留時間和必須等待概率呈急劇增加趨勢，而男廁和無性別公廁的平均等待時間、平均逗留時間和必須等待概率呈微妙增加趨勢?？傊S增加無性別公廁排隊系統(tǒng)的平均隊長、平均等待時間、平均忙著的服務(wù)設(shè)施等各項性能都優(yōu)于傳統(tǒng)公廁。也就是說，無性別公廁不但可以減少排隊長度和等待時間，還可以提高系統(tǒng)資源的利用率。

4 結(jié)束語

針對公廁排隊問題，本文提出了基于M/M/s排隊系統(tǒng)的男女分離的傳統(tǒng)公廁和無性別公廁排隊模型。通過其狀態(tài)流程圖分析和研究系統(tǒng)達到平穩(wěn)狀態(tài)時的性能指標(biāo)如空閑概率P0、滿員概率Pn/P2n、平均等待顧客數(shù)Cw、平均隊長L、平均服務(wù)設(shè)施數(shù)F、平均等待時間Tw、平均逗留時間Ts和剛到顧客必須等待概率Pw等。同時，對各系統(tǒng)進行性能仿真，重點分析和比較傳統(tǒng)公廁和無性別公廁排隊模型的性能。從研究結(jié)果看，無性別公廁無論從服務(wù)設(shè)施的利用率、顧客的等待時間，還是其他方面都具有比傳統(tǒng)公廁更高的性能，從而為解決公廁排隊問題提供了一種可行思路和理論依據(jù)。

[1] 柏文學(xué). 喜看“公廁標(biāo)準(zhǔn)”進兩會議題[J].標(biāo)準(zhǔn)生活, 2012(3)：10.

[2] 馬康?。珟O(shè)計的無障礙與人性化[J]．北京規(guī)劃建設(shè)，2007(6)：35-36．

[3] 夏蘇湘，劉 峰，張明成，等．大型展會公共廁所廁位數(shù)需求計算方法及參數(shù)研究[J]．環(huán)境衛(wèi)生工程，2008，16(1)：41-44．

[4] 管羚雅，林懿瓊，謝 盼．淺析武漢公共廁所存在的問題[J]．商場現(xiàn)代化，2012，8(24)：202-203．

[5] 鄒 茜，廖 利，吳 麗，等．深圳市公廁規(guī)劃建設(shè)研究[J]．城市管理與科技，2006，8(6)：263-266．

[6] 石之光. 現(xiàn)代城市設(shè)計中不可缺少的樂章——公廁的建設(shè)[J]．中外建筑，1997(4)：32-33．

[7] Erlang A K. The theory of probabilities and telephone conversations[J]. Nyt Tidsskrift for Matematik B, 1909, 20: 33-39.

[8] Anokye M, Abdul-Aziz A R, Annin K, et al. Application of queuing theory to vehicular traffic at signalized intersection in Kumasi-Ashanti region,Ghana[J]. American International Journal of Contemporary Research, 2013, 3(7): 23-29.

[9] Liu L M, Liu X M, Yao D D. Analysis and optimization of a multistage inventory-queue system[J]. Management Science, 2004, 50(3): 365-380.

[10]Khazaei H, Misic J, Misic V B. A Fine-Grained performance model of cloud computing centers[J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2013, 24(11): 2138-2147.

[11]Murugesan R, Elango C, Kannan S. Resource allocation in cloud computing with M/G/s-queueing system[J]. International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering, 2014, 4(9): 443-447.

[12]Leonard K. Queueing Systems. Volume 1：Theory[M]. New York: John Wiley & Sons, 1975:102.

[13]陸傳賚.排隊論[M].2版.北京：北京郵電大學(xué)出版社，2009：7-8.

[14]吳 斌.風(fēng)景名勝區(qū)公共廁所設(shè)計與研究[D].南昌：南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，2007.

On the performance of public toilet based on M/M/nqueueing system

WANG Xian-chao1, SHENG Le-yuan1, DONG Shu-yi2,CHENG Hong-mei1, YU Qin1

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,FuyangNormalUniversity,FuyangAnhui236037,China；2.No.31MiddleSchool,BengbuAnhui233000,China)

This paper built a public toilet queueing model based on the M/M/n queuing system. The performance of traditional public toilet and asexual public toilet by simulating the queueing model was analyzed. The results illustrated that every performance indicator of the latter was better than that of the former, which could provide an idea and theoretical basis for solving the queue problem.

queueing theory; asexual public toilet; M/M/nqueueing system

2014-04-04

安徽省教育廳高校自然科學(xué)研究重點項目(KJ2015A191)；國家特色專業(yè)(TS1496)；安徽省質(zhì)量工程項目(AH201410371084，2013zy167)；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項目(2013ZYSD05，2014JXTD01)資助。

王先超(1973-)，男，博士，副教授，研究方向：光計算、數(shù)學(xué)建模。

O226

A

1004-4329(2015)03-016-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-016-05