非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人反演滑模軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

楊敏，梅勁松，廖里程

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210016)

非完整輪式移動(dòng)機(jī)器人反演滑模軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

楊敏，梅勁松，廖里程

(南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210016)

針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題，提出了一種反演滑?？刂品椒?。采用PI型滑模面設(shè)計(jì)等效控制律，利用變速函數(shù)代替了符號(hào)函數(shù)得到切換控制律，并利用Lypunov定理證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性和正確性，控制中出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象得到改善，在外界干擾影響下，也具有良好的控制品質(zhì)。

輪式移動(dòng)機(jī)器人；反演；滑?？刂?/p>

0 引言

近年來(lái)，非完整移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制一直是控制工作者研究的熱點(diǎn)。機(jī)器人具有強(qiáng)耦合、時(shí)變和非線性的動(dòng)力學(xué)特性，控制非常復(fù)雜。由于機(jī)器人的非完整特性，機(jī)器人不滿足Brockett的光滑鎮(zhèn)定必要條件[1]，因而不能用光滑或連續(xù)時(shí)的不變狀態(tài)反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)其軌跡跟蹤控制。為進(jìn)一步提高輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制性能，一些學(xué)者將非線性系統(tǒng)的控制方法應(yīng)用于輪式移動(dòng)機(jī)器人的控制，如輸入輸出解耦控制[2]，滑模變結(jié)構(gòu)控制[3-4]，反演控制等[5-6]。其中反演控制設(shè)計(jì)方法易于與滑模變結(jié)構(gòu)控制方法相結(jié)合，并且由于滑?？刂破髟O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、魯棒性較強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題上具有良好的效果。但是吳衛(wèi)國(guó)等[6]雖然解決了輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問(wèn)題，但只是針對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，而對(duì)于實(shí)際有價(jià)值的動(dòng)力學(xué)模型很少考慮。

文中采用了一種新的控制算法，同時(shí)考慮了移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)模型，首先針對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，利用反演法設(shè)計(jì)了運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器，針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)滑模控制方法來(lái)設(shè)計(jì)了具有漸進(jìn)穩(wěn)定性的控制規(guī)律。其中，利用變速函數(shù)替換符號(hào)函數(shù)來(lái)消除抖振現(xiàn)象，保證控制律的連續(xù)性。仿真結(jié)果表明該控制系統(tǒng)能夠快速跟蹤所給參考軌跡，而且對(duì)于外界干擾，有較強(qiáng)的魯棒性。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)具有兩個(gè)同軸驅(qū)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)自由輪的移動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行研究，如圖1所示。兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪分別由兩個(gè)獨(dú)立的電機(jī)驅(qū)動(dòng)。驅(qū)動(dòng)輪半徑為r，兩個(gè)輪子之間的距離為2L，用向量(x,y,θ)T來(lái)表示移動(dòng)機(jī)器人在笛卡爾坐標(biāo)系{o,x,y}中的坐標(biāo)，θ表示坐標(biāo)系{c,xc,yc}與笛卡爾坐標(biāo)系之間的夾角。

圖1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

定義向量q=[xyθ]T表示移動(dòng)機(jī)器人的位姿，(x,y)表示機(jī)器人參考點(diǎn)C在笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，θ為x軸與xc軸的夾角，對(duì)于圖1所示的移動(dòng)機(jī)器人，由于驅(qū)動(dòng)輪和地面之間的純滾動(dòng)和無(wú)滑動(dòng)，移動(dòng)機(jī)器人只能在驅(qū)動(dòng)輪垂直的方向上運(yùn)動(dòng)，可以用公式表示為：

(1)

輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

(2)

v，ω分別為移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度，在運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中它們作為控制輸入。

考慮到對(duì)具有位姿pr=(xryrθr)T和速度指令qr=(vrωr)T的參考小車的軌跡跟蹤。在以局部坐標(biāo)系xoy中，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差矢量pe=(xeyeθe)T可表示為:

(3)

對(duì)式(3)求導(dǎo)可得位姿誤差微分方程：

(4)

圖2 誤差示意圖

(5)

有文獻(xiàn)[6]，?。?/p>

(6)

其中：c1>0,c2>0。可得：

(7)

作為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制規(guī)律，目的就是為了動(dòng)力學(xué)控制器提供參考的線速度和轉(zhuǎn)向角。

圖3 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的控制框圖

2 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

從動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型出發(fā)，介紹移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)跟蹤控制器的算法。圖4是基于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型的控制框圖。

圖4 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型的控制框圖

輪式移動(dòng)機(jī)器人簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型一般可以表示為：

(8)

其中：τ1和τ2分別是機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力和轉(zhuǎn)動(dòng)力矩；m為機(jī)器人質(zhì)量；I為機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

動(dòng)力學(xué)控制器是把運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器的輸出vc=[vcωc]T作為參考輸入，輸出為τ=[τ1τ2]T，使得t→時(shí)，v→vc。

定義誤差ev=vc-v，eω=ωc-ω，并選擇PI型滑模面：

(9)

其中：a1,a2>0。

對(duì)于式(9)微分得到：

(10)

顯然，如果a1,a2選擇合適，則跟蹤誤差ev()→0，eω()→0。

(11)

可得到等效控制律:

(12)

控制規(guī)律式(12)可使系統(tǒng)狀態(tài)保持在滑模面上，但是因?yàn)橥饨绺蓴_的存在，因此必須考慮切換控制τsω，所設(shè)計(jì)的滑?？刂瓢?個(gè)部分：等效控制和切換控制，即：

(13)

其中：β1,β2>0，sgn(S)=[sgn(sv)sgn(sω)]T。假設(shè)干擾為η=[η1,η2]T，動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

(14)

為了削弱“抖動(dòng)”現(xiàn)象，引入變速函數(shù)vs(S,ε)來(lái)代替sgn(S)，因此式(13)變?yōu)椋?/p>

(15)

其中：ε=[ε1ε2]T為正數(shù)。則：

3 穩(wěn)定性證明

考慮如下Lyapunov方程：

Vs=V1+V2

(16)

4 仿真結(jié)果

以輪式移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象，質(zhì)量為m=5kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2.5kg·m2，為了驗(yàn)證該控制律的有效性，分別選取圓形，直線形參考軌跡仿真。

4.1 圓形軌跡

選取機(jī)器人初始位姿q(0)=[3,0,0]T，干擾都取方差為0.1的白噪聲仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。從仿真結(jié)果看機(jī)器人在10s左右開(kāi)始穩(wěn)定，跟蹤誤差很快趨近于零。

圖5 跟蹤位姿誤差變化曲線

圖6 橢圓跟蹤效果圖

4.2 直線形軌跡

選取機(jī)器人初始位姿q(0)=[1,-1,π/4]T，干擾都取方差為0.1的白噪聲仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。從仿真結(jié)果看機(jī)器人在6s左右開(kāi)始穩(wěn)定，跟蹤誤差很快趨近于零。

以上仿真說(shuō)明輪式移動(dòng)機(jī)器人能快速跟蹤到任意參考軌跡，并且在外界干擾下，跟蹤誤差也會(huì)快速趨于零，因此證明設(shè)計(jì)的控制律有效。

圖7 跟蹤位姿誤差變化曲線

圖8 直線跟蹤效果圖

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)差動(dòng)驅(qū)動(dòng)輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問(wèn)題，利用反演思想推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)的控制律，利用滑?？刂撇呗酝茖?dǎo)出具有漸進(jìn)收斂的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)控制律，包含等效控制和切換控制兩方面，前者實(shí)現(xiàn)機(jī)器人軌跡跟蹤，后者用來(lái)減少抖動(dòng)。仿真結(jié)果表明該控制律能保證軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，能克服外界干擾，具有較強(qiáng)的魯棒性。

[1] Brockett R W. Asymptotic stability and feedback stabilization[C]. In:Differential Geometric Control Theory, Burkhauser, Boston: 1983, 181-191.

[2] 池瑞楠,胡躍明,胡終須. 基于解耦控制的非完整移動(dòng)機(jī)器人實(shí)時(shí)軌跡跟蹤[J]. 機(jī)器人,2001,23(3):256-260.

[3] 胡終須,胡躍明,李迪,等. 一種關(guān)于移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制方法[J]. 控制理論與應(yīng)用,2001,18(6): 919-924.

[4] ZHANG Y L,CHUNG J H,VELINSKY S A.Variable structure control of a differentially steered wheeled mobile robot [J]. Journal of Intelligent and Robotic Systems,2003,36(3): 301-314.

[5] JIANG Z P,NIJMEIJEV H.Tracking control of mobile robots: a case study in backstepping [J]. Automatica,1997,33(7): 1393-1399.

[6] 吳衛(wèi)國(guó),陳輝堂,王月娟. 移動(dòng)機(jī)器人的全局軌跡跟蹤控制[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào),2001,27(3): 326-331.

Design of Backstepping-based Sliding-mode Trajectory TrackingController for Nonholonomic Mobile Robot

YANG Min, MEI Jinsong, LIAO Licheng

(College of Automation Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

For tracking the trajectory of wheeled mobile robots, a backstepping-based sliding-mode control scheme is presented. An equivalent control law is obtained by using PI- type sliding surface and a switching control law is gotten by replacing sign function by variable rate function. The stability of the system is proved by Lyapunov theory. Simulation results show the effectiveness and correctness of the proposed method and the improvement of the chattering phenomenon in the system. Even though external disturbances exist, the proposed approach is of a satisfactory control quality.

wheeled mobile robot; backstepping; sliding mode control

楊敏(1988-)，男，江蘇無(wú)錫人，碩士研究生，主要從事機(jī)器人控制研究。

TP242

B

1671-5276(2015)05-0152-03

2014-02-24