同心漸開(kāi)線型柔性彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)

周夢(mèng)來(lái)，魏民祥，黃護(hù)林

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院, 江蘇 南京 210016)

同心漸開(kāi)線型柔性彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)

周夢(mèng)來(lái)，魏民祥，黃護(hù)林

(南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院, 江蘇 南京 210016)

柔性板簧對(duì)于太陽(yáng)能斯特林發(fā)電機(jī)的間隙密封和活塞的軸向定位起到了決定性的作用。在總結(jié)了國(guó)內(nèi)外柔性彈簧研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)同心渦旋型柔性彈簧，利用WB(workbench)對(duì)板簧參數(shù)化模型進(jìn)行了有限元分析，比較了板簧截面各參數(shù)對(duì)板簧最大應(yīng)力和固有頻率的影響。以板簧的行程為限制和板簧的最大應(yīng)力為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)柔性彈簧進(jìn)行尺寸優(yōu)化。

自由活塞式斯特林發(fā)動(dòng)機(jī); 柔性彈簧; 軸向剛度；固有頻率；參數(shù)化建模; 優(yōu)化設(shè)計(jì)

0 引言

自由活塞式斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)利用系統(tǒng)的共振，在低輸入的情況下達(dá)到較高的輸出，柔性彈簧的性能會(huì)影響到整機(jī)的性能和可靠性。柔性彈簧用于支撐太陽(yáng)能斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)壓縮活塞和配氣活塞，作為發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵部件，在活塞往復(fù)運(yùn)動(dòng)中，保持活塞與氣缸的徑向位置和密封間隙，需要足夠的剛度和一定的行程[1-3]。因此，柔性彈簧在保證自由活塞式斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)間隙密封，減少磨損，提高整體可靠性，以及工作壽命方面有著至關(guān)重要的作用。

1 國(guó)內(nèi)外柔性彈簧的研究現(xiàn)狀

在國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中，柔性彈簧的性能主要體現(xiàn)在疲勞強(qiáng)度、軸向剛度、徑向剛度與共振頻率等四個(gè)方面，其中疲勞強(qiáng)度對(duì)太陽(yáng)能斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)穩(wěn)定性和壽命影響最大[4-5]。柔性彈簧的往復(fù)運(yùn)動(dòng)超過(guò)20億次，需要工作彈簧各處應(yīng)力趨于一致，避免應(yīng)力集中，板簧的最大應(yīng)力小于材料的疲勞極限，一般采用鈹青銅和硬化彈簧鋼[5-6]，硬化彈簧鋼的疲勞極限達(dá)到了400MPa。

同心渦旋臂彈簧相對(duì)于其他線型的柔性彈簧，具有整個(gè)彈簧臂的應(yīng)力分布比較均勻的特點(diǎn)，早期在斯特林制冷機(jī)中具有廣泛的運(yùn)用。T.E. Wong等[7-8]對(duì)柔性彈簧進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，使其能滿足線性壓縮系統(tǒng)的工作需要，并對(duì)施加動(dòng)載荷條件下的柔性彈簧進(jìn)行了有限元分析，提出了渦旋型線的無(wú)量綱設(shè)計(jì)曲線。Marquardt E等[3,9]對(duì)這種柔性彈簧提出了無(wú)量綱設(shè)計(jì)方法和渦旋臂近似設(shè)計(jì)方法之后，又利用有限元方法對(duì)柔性彈簧進(jìn)行了詳細(xì)分析，把分析結(jié)論表示成設(shè)計(jì)曲線。高威力等[4]在設(shè)計(jì)了11款不同基圓半徑、厚度及渦旋槽偏心距的圓漸開(kāi)線型板彈簧的基礎(chǔ)上，利用ANSYS有限元分析軟件，對(duì)上述板彈簧的剛度及應(yīng)力特性進(jìn)行了分析與比較，總結(jié)出了主要幾何參數(shù)對(duì)板彈簧性能的影響。祁影霞等[10]利用有限元分析軟件SAP，對(duì)柔性膜片彈簧在施加不同載荷時(shí)的變形進(jìn)行了可視化研究，分析了應(yīng)力集中和最大應(yīng)力，在此基礎(chǔ)上，對(duì)彈簧線型進(jìn)行了改進(jìn)設(shè)計(jì)，并成功地應(yīng)用于航天斯特林制冷機(jī)中。

從國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中可以看到，為了降低板簧的最大應(yīng)力又要滿足板簧的剛度要求，往往采用多片板簧疊加的形式來(lái)組成彈性系統(tǒng)。文中基于軟件Pro/e和WB對(duì)太陽(yáng)能斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)中的柔性彈簧進(jìn)行有限元可視化分析，以優(yōu)化板簧的最大應(yīng)力為目標(biāo)，結(jié)合柔性彈簧的固有頻率對(duì)一款柔性彈簧進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 柔性彈簧的參數(shù)化建模

同心漸開(kāi)線柔性彈簧的基本特征為一組漸開(kāi)線，改變漸開(kāi)線的參數(shù)及其空間位置的排布，可得到不同力學(xué)特征的柔性彈簧。

2.1 柔性彈簧漸開(kāi)線的參數(shù)化建模

打開(kāi)Pro/e定義參數(shù)如表1所示，DS_A為漸開(kāi)線的起始角，DS_A為漸開(kāi)線的終止角，DS_R為基圓半徑，DS_D為相互平行的兩條漸開(kāi)線的相位差，DS_R1為漸開(kāi)線的首尾修正半徑，DS_H柔性彈簧厚度。定義參數(shù)是因?yàn)槟軌蚴沟媚Ｐ蛯?dǎo)入ANSYS中識(shí)別變量，利于后期的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表1 參數(shù)變量

在Pro/e中定義兩條曲線方程:

s=(1-t).DS_A+t.DS_B

(1)

(2)

(3)

在Pro/e中完成板簧其他部分的建模，柔性彈簧的軸向視圖如圖1所示。

圖1 柔性彈簧軸向視圖

3 柔性彈簧剛度分析

根據(jù)胡克定律：在材料的彈性極限范圍內(nèi)，材料的形變與引起形變的外力成正比：

F=kΔl

(4)

式中：F表示柔性彈簧受到的軸向或者徑向力；k表示彈簧的軸向或者徑向剛度；Δl表示在這個(gè)軸向力或者徑向力加載的條件下，板彈簧產(chǎn)生的軸向或者徑向位移。

通過(guò)WB軟件仿真分析，通過(guò)改變板彈簧的軸向力、板彈簧的徑向力、板彈簧的厚度等參數(shù)來(lái)進(jìn)行對(duì)比分析。

柔性彈簧徑向和軸向變形如圖2所示。在圖2(a)所示柔性彈簧徑向變形圖中可以看出，在徑向力的作用下，柔性彈簧一邊的間隙收緊，一邊的間隙擴(kuò)大，在圖2(b)所示軸向變形圖中可以看出，靠近中心處柔性彈簧的軸向變形越明顯，所以渦旋壁的寬度與漸開(kāi)線的形狀對(duì)柔性彈簧的徑向剛度影響很大。軸向變形圖中可以看出外圈定位孔處在軸向力作用下，位移很小，軸向位移和變形主要發(fā)生在渦旋壁內(nèi)孔處。

圖2 柔性彈簧變形圖

在一定的范圍內(nèi)改變?nèi)嵝詮椈筛鞒叽绲拇笮。瑢?duì)柔性彈簧施加不同的邊界條件，仿真分析分別可以得到軸向力與軸向位移的關(guān)系，厚度、漸開(kāi)線終止角、基圓半徑等與軸向剛度的關(guān)系，徑向力與徑向位移的關(guān)系以及厚度、漸開(kāi)線終止角、基圓半徑等與徑向軸向剛度的關(guān)系。

經(jīng)分析可以得到柔性彈簧受到的軸向力和軸向位移成正比，滿足胡克定律。圖3顯示了柔性彈簧的軸向剛度與柔性彈簧厚度成近似二次曲線關(guān)系，漸開(kāi)線的終止角越大柔性彈簧的軸向剛度越小，即漸開(kāi)線的圈數(shù)增多柔性彈簧越軟，基圓半徑增大柔性彈簧軸向剛度越大，漸開(kāi)線的相位差越大軸向剛度越小，即彈簧臂越窄軸向剛度越小。

圖3 柔性彈簧各尺寸與軸向剛度的關(guān)系

柔性彈簧的徑向剛度與徑向力成正比關(guān)系，厚度越大，徑向剛度越大。圖4可以看出當(dāng)徑向厚度大于0.2mm時(shí)，柔性彈簧的徑向剛度跟厚度成正比，漸開(kāi)線終止角越大柔性彈簧的徑向剛度越小，基圓半徑增大柔性彈簧的徑向剛度變大，漸開(kāi)線的距離增大即彈簧臂變窄，柔性彈簧的徑向剛度變小。

圖4 柔性彈簧各尺寸和徑向剛度的關(guān)系

4 模態(tài)分析

利用ANSYS的模態(tài)分析功能對(duì)厚度為0.15 mm，外徑為24.96 mm的柔性彈簧，做模態(tài)分析可以得到出各階固有頻率和固有振型。前三階固有頻率分別為8.5 Hz、21 Hz、21 Hz。

圖5可以看出一階固有振型與活塞的軸向拉伸運(yùn)動(dòng)相符，二階振型柔性彈簧有一條渦旋壁不動(dòng)，紅顏色渦旋臂和藍(lán)顏色的渦旋臂振動(dòng)相位相反，因此應(yīng)該在設(shè)計(jì)過(guò)程中使得柔性彈簧的固有頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的工作頻率，不然可能破壞系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，嚴(yán)重的可以破壞機(jī)體，盡管斯特林發(fā)動(dòng)機(jī)利用共振，但對(duì)于柔性彈簧自身任何一階固有頻率都不宜與系統(tǒng)的工作頻率接近，不然會(huì)引起柔性彈簧的自振。

圖5 柔性彈簧固有振型示意圖

工程中一般采用多片柔性彈簧組成柔性彈簧組，使得活塞與氣缸能夠在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)接觸，柔性彈簧組可以提高活塞的徑向穩(wěn)定性。從而活塞與柔性彈簧組成部件的一階固有頻率與系統(tǒng)的激勵(lì)頻率接近，就可以利用系統(tǒng)的共振在低輸入狀態(tài)下獲得較高的功率。

5 柔性彈簧的最大應(yīng)力優(yōu)化

5.1 優(yōu)化模型的建立

a) 目標(biāo)函數(shù)

把柔性彈簧的最大應(yīng)力最小作為目標(biāo)函數(shù)，即minf(x1,x2,,,xn),x表示柔性彈簧在參數(shù)化建模過(guò)程中定義的參數(shù)變量，約束條件包括尺寸約束、行程約束和固有頻率約束等。

b) 設(shè)計(jì)變量

為了提高優(yōu)化效率，利用靈敏度分析來(lái)確定對(duì)優(yōu)化目標(biāo)和狀態(tài)變量影響較大的變量參數(shù)[11]。經(jīng)過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度分析后，比較各個(gè)變量靈敏度絕對(duì)值的大小，選擇敏感度絕對(duì)值較大的變量作為優(yōu)化模型的參數(shù)變量。

c) 性能約束

對(duì)柔性彈簧的最大應(yīng)力進(jìn)行約束，柔性彈簧的疲勞極限為400MPa，取疲勞極限的60%為限制條件，應(yīng)力約束為：σ1≤[σ1]，其中[σ1]=3.2MPa。

d) 尺寸約束

把設(shè)計(jì)變量的邊界約束范圍定為10%。

5.2 敏感性分析

在WB中, 主要應(yīng)用Design Explorer作為優(yōu)化工具, 其作用是幫助設(shè)計(jì)人員在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和使用前確定不確定因素(定義的輸入輸出參數(shù))對(duì)產(chǎn)品零部件的影響。在得到輸入?yún)?shù)對(duì)輸出參數(shù)的影響后，可以先找到最敏感的參數(shù)，選取其作為優(yōu)化對(duì)象，然后再優(yōu)化其他輸入?yún)?shù)對(duì)象，這樣可以在每次優(yōu)化過(guò)程中減少同時(shí)優(yōu)化的參數(shù)數(shù)目，減少運(yùn)算量和運(yùn)算時(shí)間。

在做優(yōu)化分析時(shí)，首先確定輸出參數(shù)對(duì)應(yīng)的模塊，然后對(duì)不同的模塊做針對(duì)性的仿真設(shè)置。優(yōu)化的目的是柔性彈簧在極限位移下，最大用力小于疲勞極限，而柔性彈簧尺寸的改變必然改變軸向剛度、徑向剛度、固有頻率等參數(shù)。因此在對(duì)最大應(yīng)力優(yōu)化的同時(shí)需要對(duì)柔性彈簧的其它輸出參數(shù)做出相應(yīng)的控制。柔性彈簧的輸入?yún)?shù)主要有DS_A、DS_B、DS_D、DS_H、DS_R、DS_R1，把這些參數(shù)設(shè)定為設(shè)計(jì)變量。

進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的敏感性計(jì)算時(shí), 只需得知各尺寸的重要程度, 因?yàn)檩敵鰠?shù)(最大應(yīng)力、軸向剛度、徑向剛度、一階模態(tài))較多，因此設(shè)定樣本數(shù)量為46。為控制計(jì)算量可對(duì)下述選項(xiàng)及數(shù)值進(jìn)行調(diào)整:自動(dòng)停止類型為執(zhí)行所有仿真；平均值精度為0.01mm；標(biāo)準(zhǔn)偏差精度為0.02mm；各個(gè)參數(shù)的優(yōu)化范圍為在原值基礎(chǔ)上變化±10%。相關(guān)參數(shù)的敏感性如圖6所示。

圖6 柔性彈簧各參數(shù)變量的敏感度

敏感度為正值，說(shuō)明輸入?yún)?shù)增大輸出參數(shù)也隨之增大，敏感度為負(fù)值，說(shuō)明輸出參數(shù)增大輸出參數(shù)減小。各輸入輸出參數(shù)的敏感度具體值詳見(jiàn)表2。

表2 各參數(shù)變量的敏感度

敏感度>0.1或<-0.1的參數(shù)重要程度比較高，從表中可以看出DS_A對(duì)4個(gè)輸出參數(shù)的敏感度都介于-0.1～0.1之間，所以在優(yōu)化過(guò)程中可以不予考慮。DS_D只對(duì)徑向剛度影響較大，DS_B和DS_H對(duì)4個(gè)輸出參數(shù)的敏感度都很明顯，DS_R對(duì)徑向剛度影響較小。綜合考慮選擇DS_B、DS_H、DS_R3個(gè)參數(shù)對(duì)柔性彈簧進(jìn)行最大應(yīng)力優(yōu)化。

5.3 柔性彈簧的最大應(yīng)力優(yōu)化

目標(biāo)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化是一種多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù), 是從給出的一組樣本(即一定量的設(shè)計(jì)點(diǎn))中得出最佳的設(shè)計(jì)點(diǎn)，可以制定不同的的優(yōu)化目標(biāo)用于優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以依據(jù)輸入?yún)?shù)與輸出參數(shù)間的關(guān)系來(lái)設(shè)定各參數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)及重要性。因此，依照5.2節(jié)中分析的結(jié)果，將輸入?yún)?shù)DS_B、DS_H、DS_R和輸出參數(shù)P9、P10、P12、P15設(shè)定為優(yōu)化目標(biāo)，其余參數(shù)作為常量。本節(jié)擬定的優(yōu)化目的是柔性彈簧的最大應(yīng)力最小，徑向剛度和固有頻率最大，軸向剛度較小從而有利于減輕配氣活塞的質(zhì)量，提高側(cè)向穩(wěn)定性。據(jù)此，結(jié)合輸入?yún)?shù)的響應(yīng)設(shè)定參數(shù)。其詳細(xì)信息如表3所示。

表3 優(yōu)化目標(biāo)設(shè)計(jì)

按照優(yōu)化設(shè)定目標(biāo),Design Explorer產(chǎn)生A、B、C 共3組候選的優(yōu)化設(shè)計(jì)點(diǎn), 如表4所示。

表4 優(yōu)化設(shè)計(jì)點(diǎn)

候選的優(yōu)化設(shè)計(jì)點(diǎn)中，每一個(gè)優(yōu)化參數(shù)的滿意度是不同的。其與目標(biāo)參數(shù)的重要性有關(guān)， 重要性高的參數(shù)滿意度較高，反之較低。3種方案各有優(yōu)缺點(diǎn)，方案A最大應(yīng)力最小，軸向剛度比較理想，然而固有頻率和徑向剛度比較低，方案B最大應(yīng)力、固有頻率、徑向剛度比較高，方案C各數(shù)值相對(duì)折中，考慮到實(shí)際情況選擇方案C。C不僅降低了最大應(yīng)力，同時(shí)降低了軸向剛度又保證了固有頻率和徑向剛度。

圖7可以看出優(yōu)化前和優(yōu)化后的應(yīng)力分布情況，柔性彈簧的最大應(yīng)力由3.2MPa降到了2.45MPa，降低了大約25%，優(yōu)化效果明顯。

圖7 柔性彈簧優(yōu)化前后應(yīng)力分布示意圖

經(jīng)過(guò)圓整后柔性彈簧的尺寸如表5所示，從表中可以看出漸開(kāi)線的長(zhǎng)度和基圓半徑變化較大，這2個(gè)參數(shù)對(duì)柔性彈簧的性能影響極大。經(jīng)ANSYS分析最終可以得到軸向剛度為2.42N/mm,徑向剛度為939.4N/mm，固有頻率為82.3Hz。

表5 柔性彈簧尺寸參數(shù)

6 結(jié)語(yǔ)

基于軟件Pro/e和WB，詳細(xì)分析了板簧尺寸對(duì)板簧軸向剛度、徑向剛度、固有頻率與最大應(yīng)力的影響。分析了各尺寸參數(shù)對(duì)柔性彈簧物理特性的敏感度。根據(jù)參數(shù)

的敏感度選擇敏感度較大的參數(shù)對(duì)板簧的截面尺寸進(jìn)行給定行程最大應(yīng)力參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。結(jié)論如下：

a) 分析后得到柔性彈簧尺寸變量與軸向剛度徑向剛度的關(guān)系，可以得到選擇柔性彈簧厚度的兩個(gè)思路：1) 柔性彈簧厚度與軸向剛度的關(guān)系曲線來(lái)確定所需柔性彈簧的厚度；2) 根據(jù)厚度與徑向剛度的正比關(guān)系來(lái)選擇合適的柔性彈簧，從而最大程度地滿足活塞的側(cè)向穩(wěn)定。

b) 板簧截面參數(shù)對(duì)板簧的軸向物理特性具有很大的影響，漸開(kāi)線的長(zhǎng)度，渦旋槽的寬度，漸開(kāi)線的修正半徑是影響這些特性的主要參數(shù)。因此優(yōu)化板簧尺寸可以放在給定行程下的最大應(yīng)力優(yōu)化。

c) 板簧優(yōu)化選擇敏感度較大的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)，最大應(yīng)力最小，應(yīng)力分布更加均勻。

[1] Robert B. Pan, Torrance, Tangential Linear Flexure Bearing[P]. US Patennt: 5492313, 1996.

[2] Wong T E, Pan R B, Johnson A L. Novel linear flexure bearing. Cryocoolers 7, Plenum Press, New York, 1992: 675-698.

[3] Marquardt E, Radebaugh R, Kittel P. Design equations and scaling laws for linear compressors with flexure springs[C]. Proc. Int. Cryo. Con. f(7th),1992:783-804.

[4] 高威力,嚴(yán)鵬達(dá),陳國(guó)邦.用于高頻脈沖制冷機(jī)的渦旋板簧優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 低溫工程，2009,(1)：5-8.

[5] 陳楠, 渦旋柔性彈簧型線設(shè)計(jì)和有限元分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程, 2006,17(12)：1261-1265.

[6] Z. S. Al-Otaibi, A. G. Jack. SPIRAL FLEXURE SPRINGS IN SINGLE PHASE LINEAR-RESONANT MOTORS. Universities Power Engineering Conference, 2007. UPEC 2007. 42nd International, 2004,(4-6): 184-187.

[7] Wong T E, Pan R B, Johnson A L. Novel linear flexurebearing. Cryocoolers 7, Plenum Press, New York, 1992: 675-698.

[8] Wong T E, Pan R B, Marten H D. Ctal Spiral flexural bearing[C]. Proc 8h Cryo Conf, 1994: 305-311.

[9] Marquardt E, Radebaugh R. Design optimization of linear-arm flexure bearing[C]. Proc. Int. Cryo. Con. F (8th), 1994: 293.

[10] 祁影霞,陳曦.斯特林制冷機(jī)中膜片彈簧的有限元可視化分析[J]. 低溫與超導(dǎo),2009,37(3):8-11.

[11]候杰文.雙進(jìn)給珩磨頭靈敏度元分析及結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2013, (11): 148-150.

Optimization Design of Concentric and Involute Flexure Spring

ZHOU Menglai, WEI Minxiang, HUANG Huling

(College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Flexure spring plays an important role for the clearance sealing and axial location in the solar energy Stirling engine. Based on the flexure spring research, the concentric and involute flexure spring is chosen . The finite element analysis of its parameterized model is done by Workbench software, including the influence of flexure spring section parameters on maximum stress and natural frequency. The travel restrictions and the maximum stress are taken as design goal to optimize the sizes of the flexure spring.

free piston stirling engine; flexure spring; axial stiffness; inherent frequency; parametric modeling; optimization design

周夢(mèng)來(lái)(1984-)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生，主要研究方向：新能源發(fā)動(dòng)機(jī)。

TH135

B

1671-5276(2015)05-0080-05

2014-03-06