諧波減速器傳動誤差的研究

沙曉晨，范元勛

(南京理工大學(xué)，江蘇 南京 210094)

諧波減速器傳動誤差的研究

沙曉晨，范元勛

(南京理工大學(xué)，江蘇 南京 210094)

由于諧波傳動本身的復(fù)雜性，很難給出完全符合實(shí)際的傳動誤差計(jì)算公式，而傳統(tǒng)的諧波減速器的傳動誤差估算公式往往要比實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)小很多。因此，針對諧波傳動誤差計(jì)算式的改進(jìn)很有必要。從制造安裝誤差、理論瞬時傳動比不穩(wěn)定、側(cè)隙等因素出發(fā)，推導(dǎo)建立諧波齒輪減速器的傳動誤差計(jì)算公式。結(jié)合具體實(shí)例計(jì)算得到諧波齒輪減速器的傳動誤差理論值，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了計(jì)算公式的正確性。

諧波傳動；減速器；傳動誤差；傳動誤差測試

0 引言

隨著我國航空航天事業(yè)的發(fā)展，對傳動機(jī)構(gòu)的要求也越來越嚴(yán)苛：體積小、質(zhì)量輕、傳動比大、承載能力高、傳動精度高等要求。諧波傳動技術(shù)由于其突出的優(yōu)點(diǎn)，受到了航空航天事業(yè)的重視。

諧波傳動和普通齒輪傳動有著本質(zhì)的區(qū)別，諧波傳動是靠柔輪的變形實(shí)現(xiàn)運(yùn)動和動力的傳動。傳動過程中，同時嚙合的輪齒對可以達(dá)到柔輪的30%，這些同時嚙合的輪齒對的均化作用，使得同等制造、安裝精度下的諧波傳動精度要比普通齒輪傳動要高4倍。正是由于諧波傳動本身的復(fù)雜性，很難給出完全符合實(shí)際的傳動誤差計(jì)算公式；而目前常用的估算公式為蘇聯(lián)學(xué)者舒瓦洛夫CA提出的，該公式考慮了制造安裝誤差引起的傳動誤差，并綜合考慮了側(cè)隙對傳動過程的影響。但是，這種估算值往往要比實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)小很多。因此，針對諧波傳動誤差計(jì)算式的改進(jìn)是很有必要的。文中從制造安裝誤差、理論瞬時傳動比不穩(wěn)定、側(cè)隙3方面出發(fā)，推導(dǎo)并建立諧波齒輪減速器的傳動誤差計(jì)算公式。結(jié)合諧波減速器XB80-135具體參數(shù)，計(jì)算得到諧波齒輪減速器的傳動誤差理論計(jì)算值，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了文中計(jì)算公式的正確性。

1 諧波減速器傳動誤差分析

1.1 制造安裝原始誤差項(xiàng)

圖1所示零部件的制造安裝誤差都是諧波齒輪減速器的傳動誤差來源。要分析清楚諧波減速器的運(yùn)動精度問題，首先要明確各項(xiàng)原始誤差來源的性質(zhì)和大小。

1—諧波減速器輸入軸；2—輸入軸軸承；3—波發(fā)生器凸輪； 4—柔性軸承；5—剛輪；6—柔輪； 7—諧波減速器殼體；8—輸出軸軸承；9—諧波減速器輸出軸 圖1 諧波減速器XB-135結(jié)構(gòu)圖

由于諧波傳動時多輪齒對的均化作用，其傳動誤差表現(xiàn)形式和普通齒輪傳動誤差不同，主要表現(xiàn)為偏心引起的傳動誤差。為了分析方便，將制造安裝誤差轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的偏心矢量進(jìn)行分析。

1) 剛輪、柔輪的加工誤差

分析柔輪、剛輪引起的誤差，應(yīng)重點(diǎn)分析幾何偏心和運(yùn)動偏心這兩類誤差。這兩類誤差具有相同的頻率，這兩個信號疊加之后頻率不變，疊加之后的綜合偏心矢量用eA表示。eA是影響諧波齒輪傳動誤差的主要因素。這個綜合偏心矢量和齒輪的周節(jié)累積誤差具有如下關(guān)系：

eA=ΔFp/2cosαn

(1)

式中:ΔFp——齒輪的周節(jié)累積誤差；

αn——齒輪嚙合角。

除了上述誤差來源，在剛輪、柔輪加工過程中，由于刀具本身的制造誤差和磨損、刀具軸向竄動和徑向跳動、機(jī)床傳動鏈的周期誤差都將導(dǎo)致剛輪和柔輪產(chǎn)生齒形誤差、齒向誤差等；這些誤差頻率較高、幅值較小，可以由切向相鄰齒輪綜合誤差來衡量，用Δff’表示。

綜上，柔輪和剛輪的加工誤差來源可以用4個參數(shù)來度量，分別為：

ΔFp1——柔輪周節(jié)累積誤差；

ΔFp2——剛輪周節(jié)累積誤差；

Δff1’——柔輪切向相鄰齒輪綜合誤差；

Δff2’——剛輪切向相鄰齒輪綜合誤差。

2) 柔輪、剛輪的安裝誤差

除制造誤差外，裝配誤差也是引起諧波齒輪減速器傳動誤差的重要因素。如圖1所示，影響傳動準(zhǔn)確性的裝配誤差表現(xiàn)形式為各部件之間的徑向跳動、徑向游隙、配合間隙等，詳細(xì)各項(xiàng)誤差源見表1。由這些跳動和配合間隙引起的偏心誤差之間具有如下關(guān)系：

eij=ΔEij/2cosαn

(2)

式中:ΔEij——跳動、間隙或游隙等裝配誤差；

eij——跳動、間隙或游隙引起的對應(yīng)的偏心矢量。

表1 柔輪、剛輪的安裝誤差項(xiàng)

3) 波發(fā)生器的制造、安裝誤差

針對雙波傳動的諧波減速器，波發(fā)生器為橢圓凸輪配合柔性軸承構(gòu)成。橢圓凸輪、柔性軸承的制造、安裝精度也會影響諧波減速器的傳動精度，對于諧波減速器的傳動精度的詳細(xì)分析，需了解零部件的誤差源，詳細(xì)各項(xiàng)誤差源見表2。

表2 波發(fā)生器的制造、安裝誤差

上述制造、安裝誤差種類較多，如果沒有人為的控制，這些誤差都是隨機(jī)分布的。

1.2 制造安裝誤差引起的傳動誤差綜合分析

將制造安裝誤差轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的偏心矢量引起的傳動誤差進(jìn)行分析，以剛輪綜合偏心矢量為例，如圖2所示建立坐標(biāo)系。

圖2 偏心矢量引起傳動誤差示意圖

剛輪的綜合偏心矢量e21至始至終是固定不變的。剛輪的綜合偏心矢量會導(dǎo)致其基圓和分度圓與其旋轉(zhuǎn)中心不重合，如圖2所示。為了分析方便，不失一般性，沿著剛輪的綜合偏心矢量的正方向建立y軸，原點(diǎn)O在波發(fā)生器橢圓中心，橢圓長軸與y軸的夾角為θ(順時針為正)。

針對由制造安裝引起的傳動誤差分析思路：首先不考慮其他嚙合輪齒對的影響，以嚙合時最能反應(yīng)嚙合情況的一對正確嚙合的輪齒(圖2的輪齒對I和II)進(jìn)行分析；分析原始誤差項(xiàng)對該對輪齒在嚙合傳動時產(chǎn)生的影響，得到一對輪齒的誤差公式；再根據(jù)諧波傳動嚙合區(qū)對傳動誤差的均化作用，選取合理的均化準(zhǔn)則，得到整體傳動誤差的估算公式。

在不考慮安裝制造誤差時，根據(jù)對稱性，柔輪長軸兩端的嚙合區(qū)的嚙合情況應(yīng)該是一致的；當(dāng)考慮制造安裝誤差時，嚙合區(qū)不再是完全對稱的了，會出現(xiàn)向一側(cè)嚙合區(qū)加深嚙合程度，另一側(cè)的嚙合則對傳動的作用弱化了。

圖3 剛輪綜合偏心矢量引起的誤差示意圖

當(dāng)諧波減速器處于圖2左圖狀態(tài)時，下端其主導(dǎo)作用。如圖3所示，綜合偏心矢量對輪齒對II的影響示意圖，當(dāng)波發(fā)生器瞬時旋轉(zhuǎn)，柔輪一邊變形嚙合，一邊沿波發(fā)生器做逆時針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。在嚙合的過程中，剛輪的綜合偏心矢量引起的傳動誤差，均會反應(yīng)在柔輪上。圖3中，設(shè)接觸點(diǎn)為K，αn為嚙合角，e21n為e21在嚙合線上的分量，綜合偏心矢量在切向(t-t)上不引起傳動誤差。于是可以得到剛輪綜合偏心矢量引起的角位移偏差為：

(3)

式中:rb2——剛輪的基圓半徑；

r2——剛輪的分度圓半徑。

式(3)是不完善的，如圖4所示，當(dāng)諧波傳動機(jī)構(gòu)處于圖4(a)、圖4(c)位置時，根據(jù)對稱性，可以知道這兩個位置的誤差應(yīng)該是一致的，因此，剛輪引起的傳動誤差形式應(yīng)該是以波發(fā)生器的半轉(zhuǎn)為周期。這種出入很明顯是因?yàn)橹豢紤]了一對輪齒的關(guān)系，顯然當(dāng)θ越接近零，則輪齒對I對傳動誤差的影響也越大，起到了反向彌補(bǔ)的作用。

圖4 諧波傳動機(jī)構(gòu)不同位置示意圖

對式(3)進(jìn)行修正，得到如下公式：

(4)

式(4)寫成轉(zhuǎn)化到圓周方向上的線值誤差Δl21：

(5)

更一般的，將式(5)改寫如下形式：

(6)

式中:ωi——波發(fā)生器的輸入轉(zhuǎn)速；

t——時間參數(shù)；

顯然這個初始相位值是360°內(nèi)的隨機(jī)均勻分布的一個值。因此，剛輪引起的輸出角度誤差是以輸入頻率的兩倍頻形式反復(fù)出現(xiàn)。

類似上述分析過程，根據(jù)偏心矢量性質(zhì)不同，可以將其分為4大類：

1) 固定不動的綜合偏心矢量引起的傳動誤差，輸出誤差頻率為輸入頻率的2倍。

2) 切向相鄰齒輪綜合誤差引起的傳動誤差，輸出誤差頻率為輸入頻率的2Z2倍，Z2為剛輪齒數(shù)。

3) 隨柔輪一起旋轉(zhuǎn)的安裝偏心引起的傳動誤差，輸出誤差頻率是輸入頻率的2Z2/Z1倍，Z1為柔輪齒數(shù)。

4) 隨波發(fā)生器一起旋轉(zhuǎn)的偏心矢量引起的傳動誤差，輸出誤差頻率有兩種，一種和輸入頻率一致，一種是輸入頻率的Z2/Z1倍。

省略推導(dǎo)過程，將上述4類不同偏心矢量引起的傳動誤差改寫成如下式的形式，并歸納如表3。

(7)

表3 制造安裝誤差引起的輸出誤差歸納

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，分析式(7)滿足的分布關(guān)系，得到如下結(jié)論:

2) 于各偏心矢量大小ΔEjk則滿足瑞利分布關(guān)系。

(8)

(9)

式中，σCjk——C中分項(xiàng)的瑞利分布參數(shù)。

需要補(bǔ)充說明的是，上述分析只針對了圖2中輪齒對I和II進(jìn)行分析，而實(shí)際的傳動誤差值應(yīng)該考慮各個輪齒對共同均化作用下，實(shí)際傳動誤差要比單對誤差小很多，這種誤差的折算也可以參閱相關(guān)文獻(xiàn)的得到。這樣，綜合考慮輪齒對嚙合數(shù)和折算角秒值的公式如式(10)：

(10)

式中，Zmp——諧波傳動同時嚙合的輪齒對數(shù)；

d′——從動輪的節(jié)圓直徑。

對于Zmp的計(jì)算方法也有很多，采用國內(nèi)學(xué)者提出的比較可靠的計(jì)算公式，并結(jié)合文中分析方法給出計(jì)算式(11)：

(11)

式中，re1——柔輪齒頂圓半徑；

w0——變形組件最大徑向變形量。

查閱相關(guān)技術(shù)資料，針對文中分析對象諧波減速器XB80-135，可以計(jì)算得到因制造安裝誤差引起的傳動誤差置信區(qū)間為(-17.66，83.63)s，則該型號諧波減速器由制造安裝誤差產(chǎn)生的理論傳動誤差為ΔZ=101.29″。

1.3 瞬時傳動比不穩(wěn)定引起的傳動誤差分析

諧波齒輪傳動的廣義傳動比與其齒廓沒有關(guān)系，只和剛輪、柔輪的特征曲線周長有關(guān)；對于相同型號的諧波減速器，廣義傳動比是個定值。雖然諧波傳動的廣義傳動比是定值，但是實(shí)際上，即使完全沒有制造、安裝誤差，諧波減速器按廣義傳動比考慮的理論輸出角度也和實(shí)際的輸出角度會表現(xiàn)出差異，這種差異即是傳動誤差。不考慮制造、安裝誤差的前提下，引起瞬時傳動比不穩(wěn)定的因素主要有：

1) 原始曲線的形狀；

2) 齒廓的形狀。

針對諧波減速器的瞬時傳動比不穩(wěn)定分析，國內(nèi)學(xué)者取得了一定的成果，但是由于其數(shù)值較小，計(jì)算復(fù)雜，一般計(jì)算傳動誤差時將其忽略。根據(jù)文獻(xiàn)[3]相關(guān)內(nèi)容，利用matlab軟件編程，針對諧波減速器XB80-135計(jì)算出瞬時傳動比的數(shù)值解如圖5和圖6。利用辛普森數(shù)值積分法，可以計(jì)算得到因瞬時傳動比不穩(wěn)定而產(chǎn)生的傳動誤差Δs=18.26″。很明顯，對于精密傳動，是不能忽略的。

圖5 齒廓形狀引起的瞬時傳動比不穩(wěn)定

圖6 原始曲線引起的瞬時傳動比不穩(wěn)定

1.4 側(cè)隙對諧波傳動誤差的影響分析

根據(jù)諧波傳動的特性，去掉可以忽略的影響，得到側(cè)隙的影響為：

Δe=Δφh1+Δφh2

(12)

式中，Δφh1——運(yùn)動副之間的間隙引起的回差；

Δφh2——負(fù)載在輸出軸上引起的回差。

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，回差的工程估算如式(13)：

(13)

式中，Cj——各項(xiàng)運(yùn)動副折算到輸出軸的空程；

rR——柔輪的分度圓半徑。

而Δφh2的計(jì)算如式(14)：

(14)

式中，T——負(fù)載扭矩；

KGD——諧波減速器的總體剛度系數(shù)。

查閱資料，結(jié)合實(shí)驗(yàn)參數(shù)，計(jì)算得到側(cè)隙對傳動誤差的影響為Δe=21.38″。

綜上，得到諧波減速器XB80-135的傳動誤差Δ：

Δ=Δs+Δz+Δe=2.349′

(15)

2 諧波傳動誤差測試與結(jié)果

1—電機(jī)；2—輸入轉(zhuǎn)角測試系統(tǒng)；3—諧波減速器； 4—輸出轉(zhuǎn)角測試系統(tǒng)；5—磁粉制動器；6—電力濾波器；7—變 頻器；8—數(shù)顯記錄表；9—PC機(jī)；10—細(xì)分盒；11—打印機(jī) 圖7 傳動精度測試平臺

利用圖7的測試裝置,隨機(jī)抽取了同一批次的9臺諧波減速器XB80-135，利用測試試驗(yàn)臺進(jìn)行了諧波傳動精度的測試實(shí)驗(yàn)。整理歸納得到的數(shù)據(jù)如表4。

表4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果匯總

其中，舒瓦洛夫的誤差估算值(折算系數(shù)取1)為1.63′。

可以看到，除產(chǎn)品號01009外的諧波減速器均很好的滿足了理論分析計(jì)算得到的數(shù)據(jù)；但是可以看到01009號的只超出了理論計(jì)算得到的誤差值1.3%，可能該臺諧波減速器的某一制造、安裝環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題。除產(chǎn)品號01012的諧波減速器的傳動精度較高外，其他的均在理論80%左右。因此，文中提出的諧波傳動誤差計(jì)算公式是合理的。

3 結(jié)語

結(jié)合了普通齒輪的傳動誤差分析方法和現(xiàn)有的一些諧波齒輪傳動誤差分析方法，提出了諧波傳動精度主要受3方面影響，分別為瞬時傳動比不穩(wěn)定引起的傳動誤差、制造安裝誤差引起的傳動誤差、側(cè)隙因素引起的傳動誤差。

通過對比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和舒瓦洛夫估算公式得到的數(shù)據(jù)，從實(shí)驗(yàn)上證明了舒瓦洛夫公式的缺陷，也驗(yàn)證了文中提出的傳動精度計(jì)算方法的正確性。

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[3] 沈允文, 葉慶泰. 諧波齒輪傳動的理論和設(shè)計(jì)[M]. 北京： 機(jī)械工業(yè)出版社, 1985.

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Study of Transmission Error of Harmonic Drive Reducer

SHA Xiaochen, FAN Yuanxun

(Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094,China)

Because of the complexity of the harmonic drive, it is very difficult to propose a formula of transmission error which is fitted for reality completely. The result calculated by the traditional formula of transmission error is often smaller than the results of experiments. It is necessary to improve the formula. This paper proposes a new formula based on the analysis of three different aspects. The transmission accuracy of this reducer depends on the instantaneous transmission ratio, the manufacturing and installation error and the backlash. Through comparing the theoretical calculation value of the new formula with the experimental data, this calculation formula is proved to be correct.

harmonic drive; reducer; transmission error; transmission error test

沙曉晨(1988-)，男，江蘇昆山人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)與理論。

TH116+.2

A

1671-5276(2015)05-0050-05

2014-02-19