環(huán)變換下的Dc-投射模及其維數(shù)

王占平,梁春麗

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

環(huán)變換下的Dc-投射模及其維數(shù)

王占平,梁春麗

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

在環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張和局部化上研究相對于半對偶R-模C的Ding-投射模(即Dc-投射模)及其維數(shù).證明了在環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張S上，M是Dc-投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)S?RM是DS?RC-投射S-模;M的Dc-投射維數(shù)等于S?RM的DS?RC-投射維數(shù).

Dc-投射模;半對偶模;優(yōu)越擴(kuò)張;局部化

0 引言

1995年,Enochs[1]給出了Gorenstein投射模和內(nèi)射模的定義,并且得出了一些經(jīng)典的結(jié)論.2006年,Holm[2]在交換的Noetherian環(huán)上研究了相對于半對偶R-模C的Gorenstein投射模和內(nèi)射模及其維數(shù)的刻畫.近年來,Ding-Mao[3,4]在一般環(huán)上研究了兩種特殊的Gorenstein投射模和內(nèi)射模,即Gorenstein 平坦模和Gorenstein FP-內(nèi)射模,并且用這兩種模類刻畫了凝聚環(huán).后來,Gillespie[5]在n-FC環(huán)上研究了這兩種模類,并且得出了一些類似于Gorenstein投射模和內(nèi)射模在Gorenstein環(huán)上的性質(zhì),而n-FC環(huán)是由Ding和Chen[6]引入的.因此,Gillespie把這種環(huán)重新命名為Ding-Chen環(huán),把這兩種模重新命名為Ding投射模和Ding內(nèi)射模.2010年,Yang-Liu[7]進(jìn)一步研究了Ding投射模和Ding內(nèi)射模的同調(diào)性質(zhì).2014年,Huang[8]將其推廣得到了相對于半對偶R-模C的Ding投射模和Ding內(nèi)射模,即Dc-投射模和內(nèi)射模,同時(shí)給出了Dc-投射和內(nèi)射模的性質(zhì)及其維數(shù)刻畫.受此啟發(fā),本文研究Dc-投射模在環(huán)變換下的不變性質(zhì),給出了Dc-投射模及其維數(shù)在環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張和局部化上的等價(jià)刻畫.

1 預(yù)備知識

除非特別說明，文中的環(huán)R和S是交換環(huán),C是半對偶R-模，RM表示R-模范疇.

定義1[8]稱左R-模C是半對偶模，如果以下條件成立：

(1)存在R-模的正合復(fù)形

使得HomR(X,C?RF)仍然正合,其中F是任意的平坦R-模.對偶地有Dc-內(nèi)射模的等價(jià)刻畫.

命題2[8]Dc-投射模類是投射可解類,并且關(guān)于擴(kuò)張、直和、直和因子封閉.

2 環(huán)變換下的Dc-投射模及其維數(shù)

設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張.由文獻(xiàn)[11]中的引理2.4(1)知,當(dāng)C時(shí)半對偶R-模時(shí)S?RC是半對偶S-模.下面討論相對于半對偶R-模C的Ding-投射模和相對于半對偶S-模S?RC的Ding-投射模之間的關(guān)系.

定理1 設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張,C是半對偶R-模,則M是Dc-投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)S?RM是DS?RC-投射S-模.

證明 必要性.因?yàn)镸是Dc-投射R-模,所以存在正合序列

使得M?Coker(P1→P0),其中每個(gè)Pi和Pi是投射R-模.因?yàn)镽S是自由模,所以

是正合的，即

是正合的.另一方面,對任意的平坦S-模F,F也是平坦R-模(參見文獻(xiàn)[10],命題12)，所以

因此HomS(S?RP,(S?RC)?SF)正合,所以S?RM是DS?RC-投射S-模.

充分性.對任意的平坦R-模F,S?RF是平坦S-模(參見文獻(xiàn)[12],引理1.1).因?yàn)镾是R的優(yōu)越擴(kuò)張,所以對某個(gè)整數(shù)n,有S?Rn，進(jìn)一步，有

使得Hom(SP,(S?RC)?SF)正合,其中F是任意的平坦S-模,所有的Pi是投射S-模.所以

正合,其中所有的Pi是投射R-模.因?yàn)?/p>

S?RHomR(RP,C?RF)?

又因?yàn)镾是忠實(shí)平坦R-模,所以HomR(RP,C?RF)是正合序列.由命題1得,Mn是Dc-投射R-模,再由命題2可得,M是Dc-投射R-模. 】

推論1 設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張,C是半對偶R-模，則對每一個(gè)R-模M,有

證明 先證Dc-pdR(M)≥DS?RC-pdS(S?RM).設(shè)Dc-pdR(M)=n,則存在正合序列

其中每個(gè)Pi是Dc-投射R-模.因?yàn)镾是自由模,所以

是正合的,每個(gè)S?RPi是DS?RC-投射S-模,所以

再證Dc-pdR(M)≤DS?RC-pdS(S?RM).假設(shè)DS?RC-pdS(S?RM)≤m,則存在正合序列

(1)

其中每個(gè)Di是Dc-投射R-模.因?yàn)镾是自由模,用S?R作用到(1)式可得正合序列

其中每個(gè)S?RDi是DS?RC-投射S-模.由文獻(xiàn)[10]中的命題2.11得,S?RD是DS?RC-投射的.再由定理1得,D是Dc-投射R-模.因此

命題3 設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張,C是半對偶R-模,M是S-模,則M是Dc-投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)M是DS?RC-投射S-模.

證明 必要性.已知M是Dc-投射R-模,由定理1得,S?RM是DS?RC-投射S-模,再由命題2得,M是DS?RC-投射S-模.

充分性.設(shè)M是DS?RC-投射S-模,則存在正合序列

使得M?Coker(P1→P0).又因?yàn)槊總€(gè)投射S-模是投射R-模,所以有正合序列

其中每個(gè)Pi和Pi是投射R-模.下證對任意的平坦R-模F,HomR(RQ,C?RF)正合.因?yàn)?/p>

HomR(RQ,C?RF)?

而S?RF是投射S-模,所以HomS(Q,(S?RC)?S(S?RF))正合,即HomR(RQ,C?RF)正合. 】

推論2 設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張,C是半對偶R-模，則對每個(gè)S-模M有

證明 先證Dc-pdR(M)≤DS?RC-pdS(M).若DS?RC-pdS(M)=∞,則顯然成立.假設(shè)DS?RC-pdS(M)=n,則存在正合序列

其中每個(gè)Di是DS?RC-投射S-模,由命題3得,每個(gè)Di是Dc-投射R-模.因此

再證Dc-pdR(M)≥DS?RC-pdS(M).假設(shè)Dc-pdR(M)=m,則存在正合序列

綜上所述,Dc-pdR(M)=DS?RC-pdS(M). 】

推論3 設(shè)S≥R是環(huán)R的優(yōu)越擴(kuò)張,C是半對偶R-模，則以下結(jié)論等價(jià)：

(1)M是Dc-投射R-模；

(2)S?RM是DS?RC-投射R-模；

(3)S?RM是DS?RC-投射S-模；

(4)M是Dc-投射S-模.

證明 由推論1可得,glDpdS?RC(S)≥glDpdC(R),再由推論2可得,glDpdS?RC(S)≤glDpdC(R). 】

設(shè)R是交換環(huán),T是R的乘法閉子集,R相對于T的局部化環(huán)記為T-1R.設(shè)M是R-模,則M相對于T的局部化模記為T-1M.

命題4 設(shè)R是交換環(huán),T是R的乘法閉子集，C是半對偶R-模.若M是Dc-投射R-模,則T-1M是Dc-投射T-1R-模.

證明 因?yàn)镸是Dc-投射R-模,所以存在正合序列

使得M?Coker(P1→P0),其中每個(gè)Pi和Pi是投射R-模.又因?yàn)門-1R是平坦模,所以

正合,每個(gè)T-1Pi和T-1Pi是投射T-1R-模.設(shè)Q是任意的平坦T-1R-模,則Q是平坦R-模.因?yàn)?/p>

HomR(P,C?Q)?

所以T-1M是Dc-投射T-1R-模. 】

推論5 設(shè)R是交換環(huán),T是R的乘法閉子集,C是半對偶R-模,則

若R是交換環(huán),T是R的乘法閉子集，則由文獻(xiàn)[11]中的引理2.4(2)知,當(dāng)C時(shí)半對偶R-模時(shí)T-1C是半對偶T-1R-模.下面討論相對于半對偶R-模C的Ding-投射模和相對于半對偶T-1R-模T-1C的Ding-投射模之間的關(guān)系.

命題5 設(shè)R是交換環(huán),T是R的乘法閉子集，C是半對偶R-模,M是T-1R-模.若M是Dc-投射R-模,則M是DT-1C-投射T-1R-模.

證明 由于M?T-1R?RM(參見文獻(xiàn)[13]引理2.2.4),類似于定理1的證明方法,可得結(jié)論成立. 】

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(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

Dc-projectivemodulesanditsdimensionunderchangeofrings

WANGZhan-ping,LIANGChun-li

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)

The Ding-projective modules and its dimension with respect to a semidualizingR-moduleC(that is,Dc-projective modules) are investigated under excellent extension and localization of a ring.It is proved thatMisDc-projectiveR-modules if and only ifS?RMisDS?RC-projectiveS-modules,and that theDc-projective dimension ofMis equal to theDS?RC-dimen- sion ofS?RM.

Dc-projective modules;semidualizing modules;excellent extension;localization

2014-12-06;修改稿收到日期:2014-12-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201477)

王占平(1978—),女,甘肅天水人,副教授,碩士研究生導(dǎo)師.主要研究方向?yàn)橥{(diào)代數(shù). E-mail:wangzp@nwnu.edu.cn

O

A

1001-988Ⅹ(2015)04-0014-04