逆向思維在矩陣零特征值中的教學(xué)探析

河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院　楊磊

逆向思維在矩陣零特征值中的教學(xué)探析

河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院楊磊

摘要：線性代數(shù)是高等教育的重要基礎(chǔ)課,矩陣特征值特征向量是線性代數(shù)的重要知識點(diǎn),特別是矩陣的零特征值結(jié)合行列式,矩陣的秩以及方程組的基礎(chǔ)解系等相關(guān)知識點(diǎn)的應(yīng)用就更加靈活,相關(guān)文獻(xiàn)也比較少,本文利用逆向思維的數(shù)學(xué)思想結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想就矩陣零特征值問題一些靈活應(yīng)用做了些探討總結(jié)。并舉例說明這種思想方法對相關(guān)題型的計算是相當(dāng)有益的,也能提高學(xué)生的解題能力和知識應(yīng)用能力。

關(guān)鍵詞：矩陣；零特征值；逆向思維；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-864X（2015）03-0098-01

線性代數(shù)是高等教育的重要基礎(chǔ)課，矩陣特征值特征向量是線性代數(shù)的一個學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是教學(xué)的重點(diǎn)，其內(nèi)容抽象，定理結(jié)論較多，同時在求解過程有點(diǎn)比較繁復(fù)，是學(xué)生不易理解和掌握的部分，在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，如果從逆向思維數(shù)學(xué)思想的角度思考，結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想，矩陣特征值特征向量有些類型的題目的求解就變得相當(dāng)簡單，且思路清晰明了。所謂的逆向思維就是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式。對于某些問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。因此借用逆向思維數(shù)學(xué)思想把直接求解不易或者較繁瑣的題目，從逆向的方向思考，就可使求解的過程更加簡單快捷，進(jìn)而也可以加深對相關(guān)知識的理解，提高知識的應(yīng)用能力，能夠讓學(xué)生做到對線性代數(shù)相關(guān)知識點(diǎn)的理解和掌握其精髓，提高解題能力很有裨益。本文利用逆向思維數(shù)學(xué)思想結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合教學(xué)實踐就矩陣有關(guān)零特征值的零變形、基礎(chǔ)解系和不可逆矩陣等相關(guān)問題三個方面總結(jié)如下：

一、零變形

眾所周知，零是數(shù)學(xué)中一個很特殊的數(shù)字，它有一個非常好的特性，即是零乘以任何數(shù)仍等于零。如果在有關(guān)求解矩陣特征值特征向量的題目中，所求矩陣含有零特征值，就可借用零特征值的特殊性，利用逆向思維數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想以及零的恒等變形，構(gòu)造出有利于解題的等價形式，從而使問題的求解思路更加簡單、明了、直觀，對問題的理解和把握更加準(zhǔn)確，教學(xué)實踐過程中可以總結(jié)講解，進(jìn)而提高學(xué)生對相關(guān)知識點(diǎn)的理解把握，提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和分析問題解決問題的能力。例如：

例1.設(shè)A為二階矩陣，α1α2為線性無關(guān)的2維列向量，且Aα1=0，Aα2=2α1+α2，求A的特征值。

解析：題目中由于矩陣A沒有給出，只給出了矩陣的階數(shù)和特征向量，按常規(guī)求矩陣特征值特征向量的解題思路，此題只能知道矩陣有兩個特征值，具體是什么根本無法直接求解，但根據(jù)題目其他已知條件，利用逆向思維數(shù)學(xué)思想結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想和零的恒等變形即零變形，就會使解題的思路豁然開朗，也即是因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，利用矩陣的特征值特征向量的定義和性質(zhì)，已知λ=0為矩陣A的特征值。此時矩陣含有零特征值，結(jié)合其他已知條件，用同樣的思想方法可知，又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A（2α1）+Aα2=2α1+α2=1 （2α1+α2），就可求出矩陣A的另一個非零特征值為λ=1，問題得以順利解決。由此可窺知逆向思維數(shù)學(xué)思想的妙處。具體求解過程如下。

解：因Aα1=0，由零變形Aα1=0=0α1，則λ=0為矩陣A的特征值。又因Aα2=2α1+α2，再由零變形有A（2α1+α2α2）=A （2α1）+Aα2+α2=1（2α1+α2）

因此λ=1為矩陣A的非0特征值。綜上，矩陣A的特征值為λ=0，λ=1。

二、基礎(chǔ)解系

線性代數(shù)把線性方程組系統(tǒng)理論化，并給出線性方程組的如Cramer法則，Gauss消元法，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等諸多完善理論解法，其中線性方程組解的結(jié)構(gòu)求解方法是用方程組的基礎(chǔ)解系來表示方程組的全部解。解線性方程組是線性代數(shù)的線性方程組求解中需要重點(diǎn)掌握和理解的知識點(diǎn)，用基礎(chǔ)解系理論求解線性方程組有著非常好的理論和實際優(yōu)勢，思路清晰，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，但求解過程所用到的知識點(diǎn)較多，計算相對繁復(fù)一些，不過此解法仍是要求必須掌握的基本方法之一。在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，若借用逆向思維的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合對比轉(zhuǎn)化思想把齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系問題理解為系數(shù)矩陣A屬于零特征值的特征向量問題，由此可知此方程組的基礎(chǔ)解系就是系數(shù)矩陣A屬于零特征值線性無關(guān)的特征向量，再結(jié)合特征向量及方程組相關(guān)知識達(dá)到方便求解的目的。進(jìn)而提高學(xué)生對線性方程組基礎(chǔ)解析相關(guān)知識點(diǎn)的準(zhǔn)確理解和把握，提高學(xué)生對知識的理解能力，轉(zhuǎn)化能力和分析問題解決問題的能力。又如：

例2.已知A2=0，A≠0，證明A不能相似對角化。

證析：題目是一個抽象矩陣的求解證明問題，沒有給出矩陣的具體元素，不可利用矩陣對角化方法直接求解，只可結(jié)合矩陣相似的性質(zhì)和題目已知條件求解，因A2=0，A≠0，此時可以考慮到矩陣零特征值問題，便可利用逆向思維數(shù)學(xué)思想和對比轉(zhuǎn)化思想來求解，有題目條件已知矩陣A的秩滿足γ（A）≥1，不妨設(shè)Aα=λα（α≠0）為矩陣A屬于特征值A(chǔ)α=λα（α≠0）特征向量Aα=λα（α≠0），故有A2α=λ2α=0，因此可知λ=0為矩陣A的特征值，即矩陣A有零特征值，故此題可以用矩陣A的零特征值求解，由線性方程組理論易知線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r(A)個向量，即λ=0有n-r (A)個線性無關(guān)的特征向量，所以矩陣A不可對角化，問題得證。通過此題可見若利用逆向思維數(shù)學(xué)思想可以使題目的思路更加簡便，學(xué)生理解掌握知識更加透徹，更有利于社會人才的培養(yǎng)。具體證明如下：

證：因A2=0,A≠0，則r (A)≤1，設(shè)Aα=λα(α≠0)，從而A2α=λ2α=0，則λ=0為矩陣A的特征值，因此Ax=0的基礎(chǔ)解系有n-r (A)個向量，即λ=0有n-r(A)個線性無關(guān)的特征向量，所以矩陣A不可對角化，得證。

例3.設(shè)A是n階矩陣，且r(A)

解析：由r(A)

例4.設(shè)A是3階不可逆矩陣，且α1,α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，α3是A屬于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是_____