基于有限元模型重構的多物理場耦合空心電抗器優(yōu)化設計

虞振洋 王世山

（南京航空航天大學江蘇省新能源發(fā)電與電能變換重點實驗室 南京 210016）

0 引言

干式空心電抗器自從20 世紀80年代提出至今，以其結構簡單牢固、維護方便、電感線性度好、噪聲小、損耗低以及防火性能好等優(yōu)點而廣泛地應用于戶外小電感（0.08～700mH）場合[1,2]。如何高效便捷地優(yōu)化設計該類電抗器成為近年來研究的重要課題。

干式空心電抗器優(yōu)化設計方法可分為解析法、數(shù)值計算輔助法和智能優(yōu)化法等。其中解析法將電抗器線圈等效為同軸無限薄圓柱線圈，用聶以曼公式（Neumann Formula）和畢奧-沙伐定律（Biot-Savart Law）得到電感和磁感應強度的積分表達式，再通過Bartky 變換迭代法計算電感，再將電感代入優(yōu)化公式計算，過程繁瑣，人為干預較多，常用的有復合形法[3]和伸縮保差法[4]；數(shù)值計算輔助法以有限元代替解析法求解電抗器物理參數(shù)，給優(yōu)化結果做校核[5,6]，只有少量文獻[7]將數(shù)值計算跟優(yōu)化方法結合起來；智能優(yōu)化法主要是遺傳算法[8]和模擬退火算法[9]，該類算法人為干預較少，具有一定的通用性，但是由于電抗器設計變量較多導致優(yōu)化收斂速度較慢，甚至尋優(yōu)失敗，對罰函數(shù)的設置較敏感[10]；文獻[11,12]將遺傳算法和復合形法結合起來，提高了算法的局部搜索能力和優(yōu)化效率；文獻[13,14]利用有限元耦合方法分析電抗器的磁場、溫度場和流體場，但是沒有結合電抗器的優(yōu)化。

電抗器優(yōu)化設計是個多約束和多目標的問題，不同的約束條件對應不同的優(yōu)化算法，也對應不同的優(yōu)化目標。文獻[15]分析了層等電阻電壓約束對應著電抗器損耗最小，包封等溫升約束對應著電抗器散熱效率最大，包封等高約束對應著其結構緊湊、易于制作；文獻[16]研究指出包封數(shù)大于1 干式空心電抗器不可能滿足層等電阻電壓、包封等溫升和包封等高三個約束條件，只能在這三者間尋求平衡，但文獻中沒有將該方法與有限元法結合。

損耗是電抗器最重要的技術指標之一，其值的大小決定了電抗器效率的高低，對電抗器的性能有重要影響[17]。本文以層等電阻電壓約束為主、層等電流密度約束為輔的優(yōu)化策略，最終達到了電抗器損耗最小的目標，并使其溫升差別不太大，滿足設計的要求。

因此，對本文將數(shù)值計算法（有限元法）與優(yōu)化設計算法結合起來，對設計變量進行預處理，降低變量的個數(shù)，將有限元模型的“重構”貫穿整個優(yōu)化設計過程，充分利用了有限元法的便捷性，實現(xiàn)“磁場-熱場-流體場”多物理場耦合分析。

1 空心電抗器有限元模型

1.1 時諧磁場邊值問題及“場路”耦合

空心電抗器可以近似看作一個軸對稱的旋轉體，以其半徑方向的一個截面為求解域，其磁場分布可以看作是一個2D 軸對稱場。若各層導線兩端并聯(lián)加載交流電壓，一般電力系統(tǒng)正常甚至故障工作時，系統(tǒng)內的位移電流可以忽略，因此其磁場可看作為準靜態(tài)磁場。

對于電抗器準靜態(tài)磁場，可選擇矢量磁位A的環(huán)向分量為自由度（簡記作為），則

圖1 空心電抗器場路耦合模型Fig.1 Coupling model of core reactor

當采用有限元法求解式（1）和式（2）時，其分界面上的邊界條件、對稱軸上的邊界條件均可自動滿足，只需設定對應的無限遠標志邊界和式（1）中的電流密度和式（2）中加載的電壓即可。

對圖1模型，結合式（1）與式（2）邊值問題，在優(yōu)化設計中，對每步尺寸的調整，都需要對其磁場有限元模型進行“建?！宄俳！钡牡^程，進而通過后處理求解出尺寸調整后的電抗器參數(shù)，通過求解的參數(shù)再對尺寸進行調整，形成一個模型重構的優(yōu)化過程。

1.2 “熱-流”場直接耦合邊值問題

空心電抗器的熱源來自每層導線的功率損耗，并通過熱傳導、自然對流和熱輻射三種方式散熱[19]。因此，其“熱-流”場的求解是每個包封內以熱傳導傳熱、包封表面與周圍空氣以自然對流和輻射形式傳熱的流、固直接耦合問題。

對圖1的軸對稱場，對線包內熱傳導進行求解，其內部各點的溫度T滿足

式中，λ為固體的熱導率；pV為單元熱功率體密度。

對于空心電抗器線圈導線，pV包含直流功率體密度pdc和渦流功率體密度pe，具體求法在第1.3 節(jié)“參數(shù)提取”中論述。

對線包表面及周圍空氣的熱對流進行求解，其自由度滿足質量、動量和能量守恒方程分別如式（4）～式（6）所示。

式中，v為空氣速度矢量。

式中，ρ為空氣的密度；η為空氣的粘性系數(shù)；P為流體的壓強；f為空氣的質量力，對于空心電抗器，有徑向和軸向分量。

式中，c為空氣的比熱容。

線包表面的熱輻射取決于物體表面溫度，相對輻射系數(shù)和換熱面積。其中，輻射系數(shù)基本恒定，在散熱面積一定時，“熱體”向周圍空間散熱總量為

式中，σ為Stefan 常數(shù)；ε為輻射系數(shù)，對一定材料基本為常數(shù)，一般取0.8～0.9；Ti為輻射物體表面的（絕對）溫度；Si為輻射部分的表面積。

對空心電抗器而言，其“熱-流”場邊界條件設為：對稱軸上空氣流速徑向分量為零；各個線包表面流體速度為零；邊界上空氣相對壓力為零，溫度為環(huán)境溫度。

1.3 多物理場后處理——參數(shù)提取

空心電抗器磁場求解后，后處理部分為優(yōu)化設計提供所需的物理量，也是優(yōu)化迭代和收斂的重要判據(jù)，這些物理量包括電流、電感、電阻和損耗等。

1.3.1 電流、電感和電阻

根據(jù)式（1）與式（2）的邊值問題聯(lián)合求解，得到每層線圈的電流，每層加載的電壓U已知，則

式中，Ri、Li為第i層線圈直流電阻和等效電感（解耦互感后）；θi為第i層阻抗Zi的相位角。

就可獲得電抗器總的等效電阻R∑和等效電感L∑。

1.3.2 損耗

由于電抗器導線之間的鄰近效應，其損耗分為直流損耗Pdc和交流損耗Pe。對于直流損耗則通過Pdc=I2R求得；而選擇矢量磁位和電流為DOF進行“磁場-電路”耦合，不能直接求得線圈的渦流損耗，因此，本文以扁導線為例，扁導線截面示意圖如圖2所示，則每根導線（截面為一個剖分單元）第i個單元的交流（渦流）損耗為[20]

圖2 扁導線截面Fig.2 Cross section of flat wire

對各匝導線渦流損耗求和得到總的交流（渦流）損耗Pe

式中，Ne為導線總單元數(shù)。

1.3.3 “磁-熱-流體”耦合場的對接

“磁場”與“熱-流體”場屬于間接耦合，兩者必須保持完全一致的剖分單元和節(jié)點。計算得到的功率損耗密度代入式（3）和式（6）進行溫度計算。

空心電抗器正常運行，導線溫度與環(huán)境溫度相差較大，造成導線電阻率發(fā)生顯著增加，導致求解其功率損耗發(fā)生變化。因此，必須考慮金屬導體隨溫度變化的因素。但是在求解前，尚不能知道導體最終的準確溫度。

本文迭代首先預設導體溫度Tn（矩陣，表示所有導體溫度的列向量），在此基礎上完成一次完整的“磁-熱-流體”場耦合分析，得到導體對應溫度Tn+1，若

則迭代終止，Tn+1為待求溫度。式中，ε為指定收斂誤差。若，則令開始新一輪迭代，直到滿足式（12）為止。

2 優(yōu)化設計模型

干式空心電抗器優(yōu)化設計是一個多變量與多約束的非線性尋優(yōu)問題。為了有效快速地尋優(yōu)，本文對多變量采取預處理，得到整體的設計框架并提出層等電阻電壓為主、層等電流密度為輔為約束條件的雙優(yōu)化方案，采用鄰域搜索法優(yōu)化，最終達到損耗最小的優(yōu)化目標。

2.1 多變量預處理

干式空心電抗器優(yōu)化設計的變量包括包封數(shù)Nb，包封高度H(i)，電抗器內徑D，各包封內的導線層數(shù)M(i)，導線規(guī)格C(a,b)(a×b單位mm)，每層導線匝數(shù)N(i)。

一般工程設計中，制造方會給出有限組（k組）導線規(guī)格{C(a1,b1,S1),C(a2,b2,S2),…,C(ak,bk,Sk)}（Si（i=1,2,…,k）為導線標稱截面積，且S1≤S2≤…≤Sk），通過對導線標稱截面積Si進行順序遍歷搜索迭代：首先假定初始總層數(shù)Nm，求出所需導線截面積S′，若S′＞Sk（Sk為最大值），則需調整Nm，再循環(huán)進行迭代，若存在一個i=l使S′≤Si，即確定合適的線規(guī)C(al,bl,Sl)及總層數(shù)Nm，如式（13）所示。

式中，In為額定電流；Js0工程設計中導線允許通入的電流密度，通常取1.0～2.5A/mm2，本文扁鋁導線取1.5A/mm2。

根據(jù)工程設計經(jīng)驗，考慮到散熱以及裝配工藝，每個包封中的層數(shù)通常為3、4、5、6 層，中間的包封層數(shù)一般少于兩端層數(shù)，由此在總層數(shù)的基礎上確定總包封數(shù)Nb和各包封內的導線層數(shù)M(i)。

電抗器應用場合和功率大小，對長度也有限制。功率大、放置場地空曠的場合，小內徑的電抗器由于散熱問題不宜采用；反之，功率較小、放置場地較狹小的場合，大內徑的電抗器由于耗材問題也不宜采用。為此，本文定義徑高比KDH=D/H(1)，KDH越大，設計的電抗器就較扁、內徑較大；KDH越小，設計的電抗器就較高、內徑較小。通常情況下KDH取0.8～5.0。

在此基礎上，為了加快優(yōu)化收斂速度，需對每層初始匝數(shù)N0(i)進行處理?？紤]到要使電抗器的結構緊湊、易于制造并節(jié)約材料，這里加入包封等高的附加約束條件。因此，每層初始匝數(shù)設為相等，即N0(i)=N0。但是，隨意的N0不能加快優(yōu)化收斂速度，本文以使得電抗器的總電流I等于額定電流In為約束條件，通過對匝數(shù)N0反復迭代來確定初始匝數(shù)N0。

毫無疑問，總電流和匝數(shù)之間存在一定的相關關系。理想狀況下，由于空心電抗器每層線圈是并聯(lián)關系，其總電感可以近似看成線圈匝數(shù)為N0單層并繞電抗器的電感，則有

式中，總電流I需通過磁場求解提取出，而匝數(shù)的迭代過程需要在有限元模型進行重構迭代中完成。具體過程如下：

（1）設定初始匝數(shù)N0。

（2）建立有限元模型，求解磁場。根據(jù)式（9）求出總電流I∑。

（4）確定合適的初始匝數(shù)N0。

確定了合適的初始匝數(shù)，空心電抗器優(yōu)化設計的框架也就確定了，多變量轉化為單變量（每層匝數(shù)N(i)），后續(xù)的優(yōu)化則是對單獨每層匝數(shù)N(i)進行微調以達到設計目標。

2.2 主、輔雙約束優(yōu)化方案

本文以電抗器損耗最小為設計目標。文獻[7]經(jīng)過推導得到當電抗器各個包封的電阻電壓相等時，電抗器損耗最小，即

令Vi=RiIi，對每一層線圈，有Ri∝N(i)，根據(jù)式（14），得知Ii∝1/N2(i)。綜上所述，Vi在其N(i)的一個鄰域內近似有Vi∝1/N(i)，因此適當?shù)卣{整每層匝數(shù)N(i)就可以讓V(i)滿足約束條件。匝數(shù)調整的具體迭代算子為

收斂判據(jù)為

式中，ε為收斂誤差。

整個迭代過程同樣基于有限元模型重構后磁場分析的參數(shù)提取。為了防止各層導線電流密度差別太大，使得部分線包過熱，還需進行層等電流密度的優(yōu)化。其約束條件為

式中，電流密度Ji=Ii/S，S為導線截面積。

由于導線規(guī)格已定，根據(jù)式（14），則Ji∝ 1/N2(t)。因此，層等電流密度的優(yōu)化過程和層等電阻電壓的優(yōu)化相似，其迭代算子為

式中，Jmax、Jmin分別為線圈導線設定的最大、最小的電流密度值。這樣每層線圈電流密度就不會太大而過熱，也不會太小而使得材料利用率不高。

收斂判據(jù)為

以上優(yōu)化方法的實施是以層等電阻電壓約束為主優(yōu)化方向、層等電流密度為輔助優(yōu)化方向，因此前者收斂判據(jù)較后者更為嚴格。

3 優(yōu)化設計實例

3.1 設計指標

根據(jù)制造方的要求，本文以兩個干式空心電抗器為例，采用基于有限元模型重構的多物理場耦合的優(yōu)化設計方法進行優(yōu)化設計，其設計指標見表1。

表1 設計要求指標Tab.1 The required design indexes

考慮到繞制工藝的簡便和導線載流量高的要求，本文采用扁鋁導線，其一系列的規(guī)格見表2。

表2 導線規(guī)格Tab.2 The wire gauge

3.2 設計變量的預處理

對電抗器優(yōu)化設計的變量進行預處理，選取導線規(guī)格、確定線包總層數(shù)、線包個數(shù)以及初始匝數(shù)，預處理結果見表3。

表3 設計變量預處理Tab.3 Preprocessing of design variables

對初始匝數(shù)進行選取，其迭代收斂誤差設為10%，收斂過程如圖3所示。從圖3可知，迭代次數(shù)為7 次，該算法的收斂速度較快。

圖3 初始匝數(shù)預置的收斂過程Fig.3 Convergence process of preset initial turns

3.3 優(yōu)化設計結果及分析

對設計變量預處理而確定的電抗器設計整體框 架進行匝數(shù)調整，來滿足以層等電阻電壓為主、層等電流密度為輔的約束條件，最終達到損耗最小的目標。其中主、輔雙優(yōu)化迭代誤差如圖4所示，收斂誤差為10%。

圖4 基于主、輔雙約束的優(yōu)化收斂過程Fig.4 Optimized convergence process based on the main and auxiliary constraint

圖4中，兩個設計算例分別迭代7 次和11 次達到收斂點，可見，對于總層數(shù)較多的電抗器，迭代次數(shù)較多，優(yōu)化時間較長。

通過軟件計算，得到空心電抗器優(yōu)化設計結果，其各項指標見表4，設計清單見表5。

表4 設計指標Fig.4 The design indexes

表5 優(yōu)化設計清單Tab.5 Calculation list of Pareto optimal design result

(b)Reactor Ⅱ 線包 線規(guī)/mm 層號 中徑/mm 線圈高/mm 匝數(shù) 電流/A 電流密度/A·mm-2電阻電壓/V 1 2.0×3.15 1 1120.12 278.78 67.42 11.75 1.85 11.84 2 1126.12 266.58 64.48 12.72 2.00 12.16 3 1132.12 266.74 64.52 11.97 1.90 11.55 4 1138.12 262.70 63.54 12.04 1.91 11.55 5 1144.12 258.83 62.61 12.17 1.93 11.65 2 2.0×3.15 6 1186.12 247.22 59.81 10.49 1.66 10.22 7 1192.12 242.86 58.76 10.54 1.67 10.26 8 1198.12 247.22 59.81 10.69 1.70 10.58 9 1204.12 247.22 59.81 10.93 1.73 10.90 10 1210.12 237.92 57.57 11.36 1.80 11.20 3 2.0×3.15 11 1252.12 247.22 59.81 10.83 1.72 11.30 12 1258.12 237.18 57.40 11.15 1.77 11.30 13 1264.12 247.22 59.81 10.60 1.68 11.14 14 1270.12 242.81 58.75 9.95 1.58 10.22 15 1276.12 242.14 58.59 10.58 1.68 10.92 16 1282.12 247.22 59.81 9.87 1.57 10.39

由表4 和表5 看出，本文設計優(yōu)化的空心電抗器各項參數(shù)誤差在10%以內，滿足設計要求。

4 結論

本文以干式空心電抗器為研究對象，采用有限元法對其建立多物理場模型并對其中的電磁場模型進行“建模-清除-再建?！钡牡?，提出了以層等電阻電壓為主、層等電流密度為輔的雙優(yōu)化方案，達到損耗最小的優(yōu)化目標，并以設計實例進行驗證，得到以下結論：

（1）提出了一種基于有限元磁場參數(shù)提取的干式空心電抗器設計優(yōu)化初始條件的設定方法。由額定電流、規(guī)定導線電流密度及規(guī)定線規(guī)確定電抗器的層數(shù)，進而確定線包數(shù)；由求解有限元磁場模型得到的電抗器總電流和額定電流相等，確定初始 匝數(shù)。

（2）提出一種基于有限元模型重構的改進型鄰域搜索尋優(yōu)法，對匝數(shù)進行微調，利用有限元求解出電感、電流和電阻等參數(shù)，省去繁瑣的公式調用，最終使各層電流密度在約束范圍內、各層電阻電壓相等，從而達到損耗最小的優(yōu)化目標。

（3）采用有限元建立干式空心電抗器的多物理場模型，并對其中電磁場模型進行“建模-清除-再建?！钡牡?，對每次迭代結果提取參數(shù)進行優(yōu)化計算，具有較高的準確性，電磁參數(shù)優(yōu)化結束后即對熱流場計算結果進行性能校核，縮短了設計周期，降低了試驗成本。并且這種優(yōu)化設計思路可以拓展應用到其他電力設備結構優(yōu)化中，具有普遍性。

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