基于最大相位裕度的位置伺服系統(tǒng)設計

李長紅 陳明俊 韓耀鵬

（西北機電工程研究所 咸陽 712099）

0 引言

位置伺服系統(tǒng)（定位伺服系統(tǒng)或跟蹤伺服系統(tǒng)）在國防、機械制造業(yè)、微電子行業(yè)等領域具有廣泛的應用，隨著技術的發(fā)展，對其動態(tài)性能及跟蹤準確度的要求越來越高，大致可分為直流位置伺服系統(tǒng)與交流位置伺服系統(tǒng)。近年來，隨著電力電子技術及微處理器技術的發(fā)展，交流位置伺服系統(tǒng)得到了廣泛的應用，而永磁同步電動機以其體積小，功率密度高的優(yōu)點，并采用矢量控制[1-5]可實現優(yōu)良的動態(tài)性能和寬的調速范圍，成為眾多位置伺服系統(tǒng)的首選。盡管各種先進的控制方法如滑?？刂芠6]、迭代學習控制[7]、自適應模糊反步控制[8]和分數階控制[9]應用于位置伺服控制系統(tǒng)中以提高其控制性能，但是PID/PI 控制器在絕大多數伺服系統(tǒng)中仍占據著主導位置。

PID/PI 控制器由于其結構簡單且參數調節(jié)方便被廣泛應用于位置伺服系統(tǒng)及工業(yè)過程控制中[10,11]，關于其控制參數整定的問題，已有大量的文獻對其進行了研究，最常用的控制參數整定法有Ziegler- Nichols 法，及改進的Ziegler-Nichols 法，文獻[12-15]對其進行了研究，Ziegler-Nichols 整定方法一般分為頻率法和時域法，頻率法是先去掉積分和微分項，只保留比例項，逐漸加大比例系數使系統(tǒng)產生等幅振蕩，記錄此時的臨界增益和臨界振蕩周期，并根據經驗公式確定PI（PID）調節(jié)器增益，時域法通過對被控對象的階躍響應，按照一階慣性環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)的模型，確定出模型增益、延遲時間與時間常數，利用經驗公式計算出控制器參數，如果模型延遲環(huán)節(jié)延遲時間很小或無延時，利用 Ziegler- Nichols 法整定的參數則偏大，另外，產生臨界的等幅振蕩容易使系統(tǒng)毀壞，不利于實際應用。文獻[16]提出了PID 控制器自整定的PM 法，通過加入繼電環(huán)節(jié)，使Nyquist 曲線上的某個點移動到給定相位裕度的單位圓上，該點對應的角頻率即為截止頻率，該方法在滿足一定相位裕度情況下，存在多組PID參數解。文獻[17]針對文獻[16]的不足，對其多組PID 參數進行了尋優(yōu)，相對于上面的實驗整定法，文獻[14,15]針對一階慣性環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)或積分環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)模型給出了PID 的AMIGO 整定公式，由于該模型不能完整地表達伺服系統(tǒng)模型，因而該整定方法用于位置伺服控制效果并不理想。

數字伺服系統(tǒng)在采樣頻率低時，延遲作用會顯現出來，而需要圖形處理的光電伺服系統(tǒng)，如電視、紅外跟蹤系統(tǒng)其所包含的數字取差環(huán)節(jié)不可避免地具有一場或兩場的延遲（一拍或兩拍的遲后），因而，在做這類系統(tǒng)的校正綜合時，應考慮具有延遲環(huán)節(jié)的位置伺服系統(tǒng)模型，這與工業(yè)過程控制類似，具有普遍意義。本文提出的方法其思路是：在實際系統(tǒng)動力學約束下，確定滿足動態(tài)要求的相位裕度及中頻區(qū)寬度，按最大相位裕度準則選取截止頻率，設計控制器保證具有最大穩(wěn)定儲備，使?jié)M足系統(tǒng)控制性能的同時，對開環(huán)增益變化的魯棒性最好。為保證此種情況下伺服系統(tǒng)跟蹤準確度，給出了被控對象帶有延遲環(huán)節(jié)的前饋補償方法，并按伺服模型構建位置信號的微分觀測器，實現了平滑的數字前饋補償，仿真與實驗驗證了本文方法的有效性。

1 位置伺服系統(tǒng)設計

圖1給出了位置伺服系統(tǒng)控制框圖，包括位置調節(jié)器、電機和驅動器組成的速度環(huán)、齒輪減速單元和反饋環(huán)節(jié)構成，齒輪減速單元被認為是一個積分環(huán)節(jié)，其中，i是減速比，kfb是反饋系數。

圖1 位置伺服系統(tǒng)框圖Fig.1 Position servo system diagram

1.1 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

該控制系統(tǒng)由位置調節(jié)器和被控對象組成，對于電機和驅動器構成的速度環(huán)，在作者的前期工作中已進行了研究[3,18]，本文重點研究位置伺服系統(tǒng)設計。速度環(huán)是構成位置伺服系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)，PMSM 或直流電動機速度環(huán)的精確模型通常為二階或三階，而通過調節(jié)速度環(huán)參數可使過渡過程具有較小超調或無超調，此時在分析設計時，可將速度環(huán)簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，這已為作者前期開發(fā)的多個實際位置伺服產品設計證明這種近似是可行的，即

式中，KΩ為速度環(huán)增益；TΩ為速度環(huán)時間常數；ω*為電動機轉速給定量；ω為電動機轉速。

被控對象的傳遞函數為

式中，K=KΩkfb/i為被控對象的增益，當位置控制采用比例-積分（PI）時，其控制器傳遞函數為

式中，Kp和Ti分別為位置調節(jié)器比例增益和積分時間常數；τ為延遲時間，是由數字取差環(huán)節(jié)產生的（如需要圖形處理的光電伺服系統(tǒng)）。

位置伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

式中，開環(huán)增益KOL為

開環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性為

1.2 相位裕度和截止頻率的計算

設開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率為ωc，該頻率處對應的相角為 m??π+，其中?m為相位裕度。一般地，伺服系統(tǒng)閉環(huán)響應超調量σ與相位裕度的關系為[19]

故由式（8），可根據超調量指標確定相位裕度，而截止頻率的選取滿足

即保證系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性，根據式（7），有

令

式中，L為中頻區(qū)寬度；β為延遲系數。則式（10）可以簡化為

解得關于ω′的方程為

則截止頻率為

相位裕度為

時間常數TΩ和延遲參數β為系統(tǒng)固有參數，可通過實驗法測得，當給定中頻區(qū)寬度L后，可按照式（14）～式（16）計算出系統(tǒng)的相位裕度。圖 2給出了在不同的延遲系數下系統(tǒng)開環(huán)相對截止頻率與中頻區(qū)寬度的關系，圖3給出了不同延遲系數下中頻區(qū)寬度與相位裕度的關系，圖4為采用本文方法時的系統(tǒng)開環(huán)Bode 圖，可以看到，在截止頻率處，對應的系統(tǒng)相位取最大值，保證了系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性。

圖2 ωcT?與中頻區(qū)寬度L的關系Fig.2 Characteristic ofωcT?vs.width of mid-frequency interval

圖3 相位裕度與中頻區(qū)寬度的關系Fig.3 Characteristic of phase margin vs.width of mid-frequency interval

圖4 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Fig.4 Characteristic of system open loop

特別地，當β=0（無延遲環(huán)節(jié)）時，式（12）變?yōu)?/p>

相位裕度為

從而有

1.3 控制器設計

控制器傳遞函數如式（3），根據中頻區(qū)寬度的定義，解得位置控制器積分時間常數為

由式（6），根據A(jωc)=0，有

解得開環(huán)增益為

特別地，當β=0時，有

根據式（5）和式（23），解得

當β=0時，有

綜合上述推導過程，位置控制器的設計過程為

（1）根據實驗法或解析法得到被控對象的增益K、速度環(huán)時間常數T?和延遲時間τ。

（2）根據給定系統(tǒng)時域性能要求，由式（8）確定相位裕度φm，根據式（14）～式（16）得到截止頻率、相位裕度與中頻區(qū)寬度的特性，并由給定的相位裕度φm，確定中頻區(qū)寬度L和截止頻率ωc。

（3）根據式（21）計算積分時間常數。

（4）根據式（25）或式（26），計算比例增益。

在得到控制器的具體參數后，即可按照式（3）對位置控制器進行離散化，有

式中，uc(k)為位置控制器在k時刻的輸出；e(k)為位置誤差；Ts為位置環(huán)采樣周期。

由于按照最大相位裕度設計系統(tǒng)，相頻特性在截止頻率處的斜率為零，因此當開環(huán)增益發(fā)生變化時，系統(tǒng)穩(wěn)定性變化小，魯棒性好。

2 前饋補償與飽和非線性的處理

2.1 考慮延遲時的前饋控制器設計

按上述方法設計的系統(tǒng)，增益通常較低，為保證伺服系統(tǒng)的跟蹤準確度，要增加前饋補償，其控制框圖如圖5所示。

圖5 前饋補償控制框圖Fig.5 Feedforward control block diagram

圖5中，F(s)為前饋補償環(huán)節(jié)，可以求得帶有前饋補償的伺服系統(tǒng)的誤差傳遞函數為

由于數字取差環(huán)節(jié)帶來的延遲，前饋設計時得不到當前時刻主令值，有

式中，D(s)為前饋補償量；令θin=θ*e?sτ為由數字取差環(huán)節(jié)產生的主令延遲；F′(s) 為主令輸入點θin時的前饋控制器傳遞函數。根據不變性原理，當

時，誤差傳遞函數為零，輸出完全復現輸入。根據式（2）的被控對象傳遞函數，利用泰勒級數展開公式，有

式中

可以看到，進行前饋控制時需要對位置給定求各階微分，工程中，高階微分求取困難，通常取至二階微分，在數字控制系統(tǒng)中，可以采用差分運算，但量化誤差會引入噪聲，尤其進行二階差分計算時，噪聲大甚至可淹沒有用信號，不可用。由于伺服系統(tǒng)本身是低通濾波器，對信號平滑起到很好的作用。本文給出了可實用的按伺服模型構建觀測器的一階微分和二階微分計算框圖，如圖6所示。

圖6 前饋控制器框圖Fig.6 Feedforward controller diagram

根據圖6，近似有

根據式（31）的誤差傳遞函數可以看出系統(tǒng)具有四階無差度，相對于無前饋時提高了二個無差度，可有效提高跟蹤性能。

2.2 飽和非線性的處理

當系統(tǒng)進行大角度調轉的時候，會進入飽和區(qū)，系統(tǒng)過渡過程性能一般較差，如較大的超調和多次的振蕩，此時應采用雙模控制。在非線性區(qū)（大誤差），可按照運動學規(guī)律實現無超調，即保證誤差與速度同時趨零，采用下面的控制律

式中，uc為控制器輸出；e為位置誤差；Ksq為根號系數，決定著系統(tǒng)的制動加速度。

當誤差比較小的時候，系統(tǒng)進入線性區(qū)，采用PI 加前饋的控制方式。

3 仿真研究

設位置被控對象的傳遞函數形式如式（2），根據實驗平臺得到的參數TΩ=23.5ms ,K=6，對延遲時間τ取0、20ms 和40ms（對應實際系統(tǒng)的0、2 拍和4 拍延遲）情形分別進行仿真，仿真過程中，為使系統(tǒng)具有大概33%的超調量，根據式（8）取相位裕度?m=45°，根據圖3或式（14）～式（16）確定中頻區(qū)寬度L。為了驗證本文方法的有效性，還對工程中常用的基于振蕩度指標的PI 整定法[18]以及Ziegler-Nichols 法（Z-N 法）進行仿真對比。其中，基于振蕩度指標的PI 整定法整定規(guī)則為[18]：根據中 頻區(qū)寬度確定振蕩度指標Mp=(L+1)/(L? 1)，再確定中頻段左轉折頻幅值LM=20lg(Mp/(Mp? 1))和右轉折頻幅值Lm=20lg(Mp/(Mp+1))，從而確定系統(tǒng)期 望開環(huán)頻率特性，進而進行控制器參數整定。其中基于振蕩度指標的PI 整定法選取與本文方法相同的中頻區(qū)寬度。Z-N 法基于實驗和試探，整定規(guī)則為[12]：只給比例項使其產生等幅振蕩，記錄此時的比例增益Kc和振蕩周期Tc，按照經驗公式Kp=0.45Kc，Ti=Tc/1.2進行整定。利用三種方法設計系統(tǒng)參數，觀察其動態(tài)性能以及開環(huán)增益在±20%變化時的魯棒性。

3.1 無延遲環(huán)節(jié)

此時Z-N 法不適用，對本文方法及基于振蕩度指標方法進行比較，中頻段寬度為L=5.9，對系統(tǒng)開環(huán)增益進行±20%的變化，設計的不同控制器的比例增益Kp、積分時間常數Ti、相位裕度及超調量變化見表1，階躍響應如圖7所示。

表1 無延遲時各參數Tab.1 Parameters when no delay

圖7 當τ=0時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應Fig.7 Step response of different methods whenτ=0 and gain varies from ±20%

3.2 延遲時間τ=20ms

本文方法及基于振蕩度指標方法的中頻段寬度L=11.3，按照三種方法設計的控制器參數和對應的相位裕度以及當開環(huán)增益發(fā)生±20%范圍變化時對應的超調量變化見表2，單位階躍響應如圖8所示。

表2 延遲時間τ=20ms時各參數Tab.2 Parameters whenτ=20ms

圖8 當τ=20ms時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應Fig.8 Step response of different methods whenτ=20ms and gain varies from ±20%

3.3 延遲時間τ=40ms

本文方法及方法2 的中頻區(qū)寬度L=16.6，按三種方法設計的控制器參數、相位裕度及開環(huán)增益變化±20%時超調量的變化見表3，階躍響應如圖9所示。

表3 延遲時間τ=40ms時各參數Tab.3 Parameters whenτ=40ms

圖9 當τ=40ms時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應Fig.9 Step response of different methods whenτ=40ms and gain varies from ±20%

根據上面三種情況的仿真可以看出，在系統(tǒng)參數穩(wěn)定的無延遲系統(tǒng)中，本文方法的魯棒性略優(yōu)于基于振蕩度指標方法，而基于振蕩度指標方法可獲得較高的帶寬和開環(huán)增益，因而有較快的動態(tài)響應和較小的跟蹤誤差，廣泛用于無延遲環(huán)節(jié)的伺服系統(tǒng)設計。

而當被控對象存在延遲時，基于振蕩度指標方法和Z-N 法設計的系統(tǒng)超調量已變大到難以接受的程度。當開環(huán)增益發(fā)生±20%變化時，超調量變化很大，對開環(huán)增益變化的魯棒性差。相反，采用本文設計的方法，所設計的系統(tǒng)，超調量在期望的設計值（約33%）內，且超調量對開環(huán)增益變化不靈敏，可始終與設計值保持相近，魯棒性能好，有顯著的優(yōu)越性。

對于工業(yè)過程控制，本方法在一定場合，或許能替代廣泛采用的Z-N 方法，以期取得更好的控制效果。

延遲環(huán)節(jié)的出現使得開環(huán)增益降低，帶寬變窄，為了保證跟蹤性能，加入前饋補償，圖10給出了被控對象延遲時間為20ms時，輸入幅值1 000、周期6.28s 正弦信號時有前饋補償及無前饋補償的位置誤差，可以看出，加入前饋補償后，誤差大大降低，跟蹤性能得到了顯著的提高。

圖10 τ=20ms時幅值為1 000 周期為6.28s 的 正弦跟蹤位置誤差Fig.10 Position error of 1 000 amplitude and 6.28s period sinusoidal tracking whenτ=20ms

4 實驗研究

在實際中，開發(fā)了一套基于數字信號處理器（DSP）的位置伺服系統(tǒng)，位置控制單元處理器采用TI 公司的DSP，型號為TMS320LF2407，電動機選用 Kollmorgen 公司的永磁同步電動機，型號為 M—205—B，配備自行開發(fā)的驅動器完成速度環(huán)，電動機軸安裝有慣量輪，電動機和慣量輪的總轉動慣量為0.003 4kg·m2，慣量輪連接減速器，減速比為i＝ 160∶ 1，減速器末端安裝雙通道的旋轉變壓器（簡稱旋變），經過RDC 電路轉換為角度的數字量，經過組合糾錯后作為位置反饋量。圖11給出了永磁同步電動機位置伺服系統(tǒng)硬件框圖。

圖11 永磁同步電動機位置伺服系統(tǒng)硬件框圖Fig.11 PMSM position servo system hardware block diagram

利用階躍響應法測得實驗平臺的速度環(huán)時間常數TΩ=23.5ms，速度環(huán)增益TΩ=0.092（數字量4 096對應3 600r/min＝376.8rad/s），反饋系數kfb=10 435（數字量65 536 對應2πrad），因此被控對象增益K=KΩkfb/i=6，系統(tǒng)的采樣周期為10ms，為了驗證本文方法的適應性，將控制器輸出延時2 拍及4拍來模擬數字取差環(huán)節(jié)20ms 及40ms 的滯后，分別對延遲時間τ=0、τ=20ms和τ=40ms三種情形進行實驗。按照本文方法設計，選取45°的相位裕度設計控制器，對開環(huán)增益在±20%范圍變化時進行實驗，為了驗證該方法的有效性，與基于振蕩度指標的工程設計方法（與本文方法取相同中頻區(qū)寬度）及Z-N 整定方法進行了對比。

圖12為被控對象無延遲、開環(huán)增益在±20%范圍內變化時采樣本文方法與基于振蕩度指標方法的10mrad 位置階躍響應，圖13為被控對象延遲時間為20ms、開環(huán)增益在±20%范圍內變化時采樣本文方法、基于振蕩度指標方法及 Z-N 整定方法的10mrad 位置階躍響應，圖14為被控對象延遲時間為40ms、開環(huán)增益在±20%范圍內變化時采樣本文方法、基于振蕩度指標方法及 Z-N 整定方法的10mrad 位置階躍響應，在圖14b 中，當增益變?yōu)樵瓉淼?.2 倍時，系統(tǒng)已不穩(wěn)定，對圖12～圖14不同延遲時間下、每種方法對應不同開環(huán)增益（KOL、0.8KOL和1.2KOL）的階躍響應超調量分別見表4～表6。

圖12 無延遲時開環(huán)增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應Fig.12 10mrad position step response when 0 delay time and ±20% open loop gain variation

圖13 延遲時間為20ms 增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應Fig.13 10mrad position step response when 20ms delay time and ±20% open loop gain variation

圖14 延遲時間為40ms 增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應Fig.14 10mrad position step response when 40ms delay time and ±20% open loop gain variation

表4 τ=0時不同方法的超調量Tab.4 Overshoots of different methods whenτ=0(%)

表5 τ=20ms時不同方法的超調量Tab.5 Overshoots of different methods whenτ=20ms(%)

表6 τ=40ms時不同方法的超調量Tab.6 Overshoots of different methods whenτ=40ms(%)

從實驗結果可以看出，當開環(huán)增益發(fā)生±20%變化時，采樣本文的設計方法，階躍響應超調量變化小，對開環(huán)增益變化不敏感，魯棒性好。

為了保證跟蹤性能，加入前饋補償，圖15為被控對象延遲時間τ＝20ms、正弦輸入幅值1 000 mrad、周期6.28s 的正弦跟蹤誤差，可以看出，加入前饋補償后，誤差大大縮小，系統(tǒng)跟蹤性能顯著提高。

圖15 τ=20ms、幅值1 000mrad、周期6.28s 的 正弦跟蹤誤差Fig.15 Position error of 1 000mrad amplitude and 6.28s period sinusoidal tracking whenτ=20ms

5 結論

本文研究了基于相位裕度的位置伺服系統(tǒng)設計，提高系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性，按系統(tǒng)具備最大相位裕度準則，通過開環(huán)截止頻率處相位對角頻率的導數為零的方法，得出了相位裕度、截止頻率與中頻區(qū)寬度的關系，給出位置控制器參數設計的新方法。

采用最大相位裕度設計可有效克服系統(tǒng)遲后環(huán)節(jié)對性能下降的不利影響，并保有強魯棒性。本文提出的方法，增加了一個新的控制系統(tǒng)設計手段，以針對具有延遲環(huán)節(jié)的被控對象。

給出的基于微分觀測器的前饋補償控制方法，彌補了延遲環(huán)節(jié)導致的開環(huán)增益降低、帶寬變窄，有效保證了系統(tǒng)的跟蹤準確度。

最后，在一套基于永磁同步電動機的位置伺服系統(tǒng)進行了實驗驗證，對不同遲后的被控對象，設計的控制器均滿足期望的指標要求，對于開環(huán)增益變化魯棒性好，跟蹤準確度高，證明當系統(tǒng)存在延時環(huán)節(jié)和大遲后環(huán)節(jié)時本文方法的有效性和工程實 用性。

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