基于非線性四階圖像插值的亞像素邊緣檢測(cè)算法

吳鵬，徐洪玲，宋文龍，曹軍

（東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150040）

基于非線性四階圖像插值的亞像素邊緣檢測(cè)算法

吳鵬，徐洪玲，宋文龍，曹軍

（東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150040）

為提高數(shù)字圖像邊緣檢測(cè)的精度，提出了基于ENO的非線性四階插值和Canny算子的亞像素邊緣檢測(cè)算法。本算法應(yīng)用經(jīng)典Canny算子檢測(cè)圖像邊緣信息，對(duì)灰度圖像進(jìn)行處理得到梯度圖像，然后在梯度圖像上沿目標(biāo)邊緣的梯度方向進(jìn)行基于ENO的非線性四階插值，進(jìn)行亞像素細(xì)分計(jì)算，對(duì)目標(biāo)邊緣進(jìn)行亞像素精確定位。用所得到的邊緣檢測(cè)算法與基于正交多項(xiàng)式插值檢測(cè)算法和基于三次多項(xiàng)式插值檢測(cè)算法性能進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明本文給出的基于ENO插值的檢測(cè)算法不僅提高了圖像的邊緣檢測(cè)能力，而且可以一定程度地克服噪聲干擾。

邊緣檢測(cè)；亞像素；ENO插值；Canny算子

邊緣是圖像的重要特征之一，是圖像灰度值的不連續(xù)點(diǎn)或變化劇烈的點(diǎn)的集合。正確提取圖像邊緣能夠減少圖像處理的信息量，為進(jìn)一步分析圖像提供了方便［1］。因此邊緣檢測(cè)是圖像處理中一個(gè)相當(dāng)重要的領(lǐng)域。傳統(tǒng)的檢測(cè)算子如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子運(yùn)算量小，操作簡(jiǎn)單，但由于對(duì)噪聲很敏感，使噪聲對(duì)圖像的影響變得很大，在實(shí)際應(yīng)用中有一定的局限性。在微分算子基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的Canny算子具有較好的抗噪性，但通常需要使用較大的濾波尺度，這主要是因?yàn)樗M(jìn)行了非極大值抑制和形態(tài)學(xué)連續(xù)操作的結(jié)果。近年來(lái)，很多學(xué)者圍繞邊緣檢測(cè)的問(wèn)題，展開(kāi)了大量的工作，提出了很多算法［2?9］，取得了一定成果。

這些算子都是在像素級(jí)上檢測(cè)圖像邊緣，而在許多實(shí)際應(yīng)用中，要求檢測(cè)的圖像邊緣達(dá)到亞像素級(jí)。例如在對(duì)植物根際微觀物理因子進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，被測(cè)邊緣點(diǎn)的精度往往直接影響到整個(gè)測(cè)量的精度［10］，因此研究圖像的亞像素邊緣檢測(cè)算法有重要的意義。亞像素邊緣檢測(cè)是指將邊緣附近的像素進(jìn)行分解，從而精確定位邊緣。文獻(xiàn)［11］使用3個(gè)灰度級(jí)矩陣來(lái)估計(jì)亞像素邊緣位置；文獻(xiàn)［12］提出一種結(jié)合高斯masks的拉布拉斯算子的面元模型，但這2種方法都是針對(duì)理想邊緣模型提出的，且對(duì)圖像噪聲較敏感，如果考慮模糊后的邊緣模型，就會(huì)增加模型參數(shù)，使得解析解的確定變得十分困難；文獻(xiàn)［13］提出了基于Zernike矩陣和Sobel算子相結(jié)合的亞像素邊緣檢測(cè)算法，首先把理想階躍灰度模型的4個(gè)參數(shù)映射到一建立的3個(gè)ZOM中，然后通過(guò)3個(gè)不同階段的ZOM計(jì)算出邊緣所在直線的參數(shù)，從而確定圖像邊緣的亞像素位置，但其沒(méi)有考慮模板效應(yīng)和沒(méi)有考慮邊緣梯度方向上的一階導(dǎo)數(shù)模型；文獻(xiàn)［14］提出了對(duì)二次多項(xiàng)式的最小二乘擬合求梯度的亞像素插值算法；文獻(xiàn)［15］提出一種使用雙線性內(nèi)插增加圖像分辨率的方法，能獲得非常精細(xì)的格子作為邊緣檢測(cè)的先決步驟，這2種方法能夠提供較高的亞像素邊緣定位精度，但因模型復(fù)雜，其求解速度慢；文獻(xiàn)［16］基于協(xié)方差自適應(yīng)插值檢測(cè)方法來(lái)減少整體的計(jì)算復(fù)雜度，然而這種方法需要一個(gè)較大的計(jì)算協(xié)方差矩陣，會(huì)引入一些錯(cuò)誤。

本文提出了一種基于ENO（Essentially non?oscilla?tory）非線性四階插值和Canny算子［17］的邊緣檢測(cè)算法，該算法先進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)，然后利用ENO四階插值細(xì)分進(jìn)行去噪，最后在對(duì)去噪后的圖像進(jìn)行邊緣信息的重構(gòu)。仿真結(jié)果表明本文提出的算法在計(jì)算邊緣亞像素坐標(biāo)時(shí)會(huì)更精確，具有細(xì)化邊緣的能力，同時(shí)具有較好的去噪效果。

1 ENO插值算法描述

ENO插值法按每個(gè)像素周圍的灰度級(jí)變化等級(jí)來(lái)選擇多項(xiàng)式模板，運(yùn)用數(shù)據(jù)的均差作為對(duì)平滑度估算。ENO插值的思想是通過(guò)自適應(yīng)方式選取插值點(diǎn)，雖不能保證插值的單調(diào)性，但卻允許出現(xiàn)非常微小的震蕩，且具有一致高階精度的優(yōu)點(diǎn)［18］。

設(shè)fij＝f（xi，yj）為給定的一組離散數(shù)值，它表示規(guī)則網(wǎng)格的像素灰度值，其中xi＝xi-1+d，yi＝y(tǒng)i-1+d。對(duì)每個(gè)亞像素點(diǎn)（x?，y?），每個(gè)數(shù)值插值都定義如下：

式中：O（d4）為定義的近似誤差。

ENO插值算法從與一個(gè)在點(diǎn)值（xi，yj）相同的零階多項(xiàng)式開(kāi)始，為了取得更高的階數(shù)，應(yīng)該在模板中加入另一個(gè)點(diǎn)，該模板是從2個(gè)鄰區(qū)的相應(yīng)差分的最小值得到的。這是一個(gè)迭代過(guò)程，一直迭代到滿足多項(xiàng)式所需的階數(shù)為止?？赏ㄟ^(guò)類似平整度指標(biāo)的均差來(lái)構(gòu)造模板［19］：

在所有可能的點(diǎn)中，均差值較小的點(diǎn)會(huì)被加到模板上。

因此有：

最后可得：

在這個(gè)插值過(guò)程中用到了由4個(gè)連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的包含yj的模板：{yjminx，yjminx+1，yjminx+2，yjminx+3}。

????所以，該模板可定義成R（x?，y?；f）＝qj，x?（y?；t）。

2 基于ENO插值的圖像亞像素邊緣檢測(cè)

2.1 基于ENO的非線性四階插值算法

數(shù)字圖像的像素值是從圖像中某個(gè)區(qū)域亮度的加權(quán)平均值得到的，因此該算法將圖像像素定義成函數(shù)f（x，y）的均值：

在插值過(guò)程的第1步，通過(guò)將原像素分解成4個(gè)新像素，分辨率會(huì)增加。插值圖像中的像素值為相同函數(shù)的均值。因此，這4個(gè)平均值可按式（5）～（8）計(jì)算：

這里采用4個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求值公式來(lái)計(jì)算滿足所需局部截?cái)嗾`差的積分值：

由文獻(xiàn)［20］給出的方法，可得

可化成

2.2 邊緣檢測(cè)步驟

通過(guò)以上描述，基于ENO插值的圖像亞像素邊緣檢測(cè)步驟如下：

1）利用Canny邊緣檢測(cè)算法檢測(cè)出圖像的像素邊緣，并提取邊緣信息，然后保存；

2）用ENO插值算法對(duì)所得邊緣系數(shù)進(jìn)行調(diào)整；每個(gè)像素在其周圍取如下16個(gè)點(diǎn)，即f（xi-3，yj+3）、f（xi-3，yj-3）、f（xi+3，yj-3）、f（xi+3，yj-3）；f（xi-1，yj-3）、f（xi-1，yj+3）、f（xi+1，yj-3）、f（xi+，yj+3）；f（xi-3，yj+1）、f（xi-3，yj-1）、f（xi+3，yj-1）、f（xi+3，yj+1）；f（xi-1，yj-1）、f（xi-1，yj+1）、f（xi+1，yj-1）、f（xi+1，yj+1）。

將上述點(diǎn)代入式（9）、（10）、（11）和（12）得到插值結(jié)果，上述點(diǎn)是按文獻(xiàn)［22］方法進(jìn)行選取的；

3）由2）得到的插值結(jié)果為亞像素的邊緣系數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提出亞像素邊緣檢測(cè)算法的有效性，用文獻(xiàn)［21］中提出的基于正交多項(xiàng)式插值檢測(cè)算法（算法1）、基于三次多項(xiàng)式插值檢測(cè)算法（算法2）和本文提出的檢測(cè)算法對(duì)植物根系進(jìn)行檢測(cè)，并對(duì)圖像檢測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較。其中圖1是一幅的無(wú)噪聲原始根系圖像，圖2是一幅加入5%椒鹽噪聲的植物根系圖像。

圖1 原始根系圖像Fig.1 The original root image

圖2 加入5%椒鹽噪聲的圖像Fig.2 The root image by adding 5%spiced salt noise

3.1 理想狀態(tài)的檢測(cè)結(jié)果

針對(duì)圖1進(jìn)行的檢測(cè)結(jié)果如圖3所示。圖3為對(duì)原始根系圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)效果圖的一部分圖像。圖2所用方法為基于正交多項(xiàng)式插值的檢測(cè)算法，由圖可知其在邊界處較模糊，這是由于這種算法在邊界處的插值不連續(xù)造成的；圖3（a）所用方法為基于三次多項(xiàng)式插值的檢測(cè)算法，從圖中可以看到線性插值有平滑的效果，但視覺(jué)上較模糊；圖3（b）是用本文提出算法檢測(cè)的效果圖，圖像最清晰和光滑，測(cè)到的邊緣定位準(zhǔn)確，檢測(cè)效果好。這是由于基于ENO插值的檢測(cè)算法有均勻的響應(yīng)，因而在保留圖像邊緣的幾何特性有更好的表現(xiàn)，提高了圖像的邊緣檢測(cè)能力。

圖3 圖1進(jìn)行的檢測(cè)結(jié)果Fig.3 The detection results of Fig.1

3.2 含噪聲狀態(tài)的檢測(cè)結(jié)果

針對(duì)圖2進(jìn)行的檢測(cè)結(jié)果如圖4所示。圖4為對(duì)加入椒鹽噪聲根系圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)效果圖的一部分圖像。由圖4可以看出，利用算法1和算法2對(duì)噪聲圖像的檢測(cè)結(jié)果中存在偽特征，圖像被噪聲污染嚴(yán)重；雖然圖像中含有一些噪聲，但應(yīng)用本文提出的邊緣檢測(cè)方法不僅可以有效地提取邊緣，而且可以抑制噪聲干擾。

圖像邊緣對(duì)應(yīng)二階導(dǎo)數(shù)過(guò)零點(diǎn)，所以不同插值算法檢測(cè)邊緣的相對(duì)精度可用其二階導(dǎo)數(shù)的收斂速率來(lái)測(cè)量。對(duì)于正交多項(xiàng)式插值法：g″f（x）＝f″（x）-f″（xi）+ 2c2／a2+O（d），說(shuō)明當(dāng)d減小時(shí)，誤差增加了；對(duì)于三次多項(xiàng)式插值法來(lái)說(shuō)，g″c（x）＝f″（x）+O（d），說(shuō)明其二階導(dǎo)數(shù)誤差收斂至零的速度至少與d減至零的速度一樣快［22］；由式（17）可知，本文所提算法誤差減至零的速度要比d至零的速度快。因此在收斂速率的意義上，3種檢測(cè)算法精度從高至低依次為：本文給出算法、三次多項(xiàng)式插值法、正交多項(xiàng)式插值法。

圖4 圖2進(jìn)行的檢測(cè)結(jié)果Fig.4 The detection results of Fig.2

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)ENO非線性插值算法，對(duì)植物根系圖像的亞像素邊緣檢測(cè)方法進(jìn)行了研究。該算法先進(jìn)行圖像邊緣檢測(cè)，然后利用ENO四階插值細(xì)分進(jìn)行去噪，最后在對(duì)去噪后的圖像進(jìn)行邊緣信息的重構(gòu)。本文提出的算法與其他2種插值算法相比較，當(dāng)期望獲得準(zhǔn)確的邊界時(shí)，ENO方法要好于其余方法?；谡欢囗?xiàng)式插值檢測(cè)算法對(duì)邊緣產(chǎn)生了較高比例的圖像損壞和模糊效果；而基于三次多項(xiàng)式插值檢測(cè)算法產(chǎn)生了或擴(kuò)散或光滑的效果；仿真結(jié)果表明本文給出的基于ENO插值的檢測(cè)算法因?yàn)橛芯鶆虻捻憫?yīng)，因而在保留圖像維度和圖形方向有更好表現(xiàn)，不僅提高了圖像的邊緣檢測(cè)能力，而且可以一定程度地克服噪聲干擾。

［1］劉涵，郭勇，鄭崗，等.基于最小二乘支持向量機(jī)的圖像邊緣檢測(cè)研究［J］.電子學(xué)報(bào)，2006，7（7）：1275?1279.

LIU Han，GUO Yong，ZHENG Gang，et al.Edge detection based on least squares support vector machines［J］.Acta Electronica Sinica，2006，7（7）：1275?1279.

［2］莊宇飛.小波變換在圖像邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007：120?131.

ZHANG Yufei.Research on image edge detection based on wavelet transform and its applications［D］.Harbin：Harbin Institute of Technology，2007：120?131.

［3］徐彤陽(yáng)，姚躍華，朱志勇.一種基于支持向量機(jī)的圖像邊緣檢測(cè)方法［J］.微機(jī)發(fā)展，2005，15（1）：87?90.

XU Tongyang，YAO Yuehua，ZHU Zhiyong.A SVM?based image edge detection method［J］.Microcomputer Develop?ment，2005，15（1）：87?90.

［4］KONISHI S，YUILLE L A，COUGHLAN J M.A statistical approach to multi?scale edge detection［J］.Image Vision Comput，2003，21（1）：37?48.

［5］SUYKENS J A，VANDEWALE J.Least squares support vec?tor machine classifiers［J］.Neural Porcessing Letter，1999，9（3）：293?300.

［6］ELI P.Feature detection algorithm based on a visual system model［J］.Proceedings of the IEEE，2002，90（1）：78?94.

［7］RISHI R，CHAUDHURI P.Thresholding in edge detection：a statistical approach［J］.IEEE Trans on Image Processing，2004，13（7）：927?936.

［8］MORENO G H，BASCON M S.Edge detection in noise ima?ges using the support vector machine［M］.Heidelberg：Springer?Verlag，2001：685?692.

［9］ELI P.Feature detection algorithm based on a visial ystem model［J］.Proceedings of IEEE，2002，90（1）：78?94.

［10］HAO Dingxing，XI Dengshan，YUE Yangyong.Sub?pixel detection based on spatial moment and Zernike momnet［J］.Journal of Applied Scineces，2004，22（2）：191?194.

［11］TABATABAI A，MITCHELL O R.Edge location to subpix?el values in digital imagery［J］.IEEE Transactions on Pat?tern Analysis and Machine Intelligence，1984，6：188?201.

［12］HUERTAS A.Detection of intensity changes with subpixel accuracy using laplacian guassian masks［J］.IEEE Trans?actions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1986，8：651?664.

［13］GHOSAL S.Orthogonal moment operators for subpixel edge?detection［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1993，15：295?306.

［14］DEVERNAY F.A non?maxima suppression method for edge detection with subpixel accuracy［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1995，17：1?25.

［15］KUBOTA T，HUNTSBERGER T，MARTIN J T.Edge based probabilistic relaxation for subpixel contour extrac?tion［J］.Image Vision Computing I，2001，2134：328?343.

［16］LI X，ORCHARD M T.New edge directed interpolation［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2001，10（10）：1521?1527.

［17］CANNY J.A computational approach to edge detection［J］.IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell，1986，6：679?698.

［18］HARTEN A，ENGQUIST B.Uniformly high order acdcu?rate non?oscillatory schemes［J］.I SIAM J Numer Anal，1987，24：279?309.

［19］SIDDIIQI K，KIMIA B.Geometric shock?capturing ENO schemes for subpixel interpolation［C］.Proceedings of In?ternational Symposium on Computer Vision-ISCV.［S.l.］，1995：437?442.

［20］BALAGUER A，CONDE C.A finite volume method with a modified ENO scheme using a Hermite interpolation to solve adection diffusion equation［J］.International Journal on Numerical Methods in Engineering，2001，86：2339?2351.

［21］SU D，WILLIS P.Image interpolation by pixel?level data?dependent triangulation［J］.Computers Graphics Forum，2004，9：189?201.

［22］李艷，彭嘉雄.基于D2樣條插值和LOG算子的亞像素邊緣檢測(cè)［J］.華中理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，28（3）：77?79.

LI Yan，PENG Jiaxiong.Sub?pixel edge detection based on spline interpolation of D2and LOG operator［J］.Huazhong Univ of Sci and Tech，2000，28（3）：77?79.

A nonlinear quartic image interpolation based subpixel edge detection algorithm

WU Peng，XU Hongling，SONG Wenlong，CAO Jun
（College of Mechanical and Electronic Engineering，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China）

To improve the accuracy of digital image edge detection，this paper proposed an ENO nonlinear quartic interpolation and Canny operators based subpixel edge detection algorithm.A model was constructed with classical Canny operator，followed by processing gray images to generate gradient images.ENO nonlinear quartic interpola?tion was applied in the gradient direction of target edges，and then subpixel subdivision computation was performed to obtain subpixel accurate locations of target edges.Finally，the performance of our edge detection algorithm was compared with that of ortho?polynomial or cubic polynomial based edge detection methods.Simulation results dem?onstrated that the abilities of the ENO based interpolation detection algorithm is improved，and the noise interfer?ence，to a certain extent，can also be overcome.

edge detection；subpixel；ENO interpolation；Canny operators

10.3969／j.issn.1006?7043.201312057

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006?7043.201312057.html

TP391.4

A

1006?7043（2015）02?0243?05

2013?12?19.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2014?11?27.

國(guó)家自然科學(xué)基金面上基金資助項(xiàng)目（31270757）；黑龍江省自然科學(xué)基金面上基金資助項(xiàng)目（C201337）；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2014RFQXJ127）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（2572014CB14）。

吳鵬（1980?），男，副教授，碩士生導(dǎo)師；

宋文龍（1973?），男，教授，博士生導(dǎo)師.

宋文龍，E?mail：wlsong139＠163.com.