鋼球全表面展開機(jī)構(gòu)模型建立及其運(yùn)動(dòng)分析

趙彥玲，云子艷，向敬忠，崔思海，夏成濤

（哈爾濱理工大學(xué)機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080）

鋼球全表面展開機(jī)構(gòu)模型建立及其運(yùn)動(dòng)分析

趙彥玲，云子艷，向敬忠，崔思海，夏成濤

（哈爾濱理工大學(xué)機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080）

針對(duì)鏡面鋼球缺陷檢測(cè)裝置中的球體全表面展開問題，建立展開機(jī)構(gòu)接觸模型并對(duì)球體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，證明展開機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)合理可行。首先由坐標(biāo)變換建立數(shù)學(xué)模型，基于Matlab對(duì)模型空間接觸位置進(jìn)行計(jì)算，將展開運(yùn)動(dòng)合理簡(jiǎn)化，得到鋼球和展開輪之間轉(zhuǎn)動(dòng)的同步關(guān)系；其次，對(duì)展開運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行等效變換，尋找傳動(dòng)過程中能使鋼球穩(wěn)定展開的最優(yōu)參數(shù)關(guān)系；最后，依據(jù)迭代法對(duì)球面上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行數(shù)值仿真，獲得其具體規(guī)律為偏角固定的螺旋線。最終結(jié)果表明展開機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)球體的全表面展開。

鏡面鋼球；全表面展開；接觸模型；同步；等效變換；螺旋線

鋼球是最常見的軸承滾動(dòng)體，它的表面質(zhì)量對(duì)軸承性能及壽命至關(guān)重要［1］，目前國(guó)內(nèi)大部分廠家沿用了傳統(tǒng)的人工檢測(cè)［2］。隨著現(xiàn)代制造業(yè)的發(fā)展，人工檢測(cè)在精度和效率上已難以滿足市場(chǎng)需求，高效、高精的鋼球表面無損自動(dòng)檢測(cè)設(shè)備［3?4］的研發(fā)，成為亟待解決的問題。

隨著國(guó)外鋼球檢測(cè)技術(shù)的日漸成熟［5?6］，國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)此進(jìn)行了深入探索。華宣積、趙剛、潘洪平等學(xué)者分別建立了較為精確的球面展開數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行了詳盡的理論分析［7?9］；由于這些模型涉及參數(shù)較多，難以確定展開機(jī)構(gòu)中各參數(shù)選取依據(jù)；此外，王宏采用的上下導(dǎo)輪同速搓動(dòng)的經(jīng)緯展開模型結(jié)構(gòu)［10］，可實(shí)現(xiàn)球面的全部檢測(cè)，但由于展開動(dòng)力為雙驅(qū)動(dòng)并且依賴滑動(dòng)摩擦，容易產(chǎn)生鋼球的二次磨損、漏檢等。綜上，相較國(guó)外先進(jìn)設(shè)備而言，目前國(guó)內(nèi)的設(shè)備仍然存在著展開不充分、效率不夠高等不足［11］。

獲取全部表面信息是鋼球自動(dòng)檢測(cè)的重要前提。針對(duì)該問題，建立球體展開機(jī)構(gòu)接觸模型；輪式結(jié)構(gòu)的純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)形式，減少了檢測(cè)過程球面的滑動(dòng)磨損；通過合理簡(jiǎn)化復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，直觀分析球面展開的關(guān)鍵影響參數(shù)；通過球面上點(diǎn)的軌跡反應(yīng)球體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，證明該結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)球面的完整展開。

1 展開機(jī)構(gòu)模型建立

本文確立的輪式展開機(jī)構(gòu)，包括一個(gè)驅(qū)動(dòng)輪，一個(gè)特殊結(jié)構(gòu)錐輪，記為展開輪，以及支撐輪。建立如圖1所示坐標(biāo)系，基礎(chǔ)坐標(biāo)系S（O?XYZ）固定于展開輪中心，坐標(biāo)系SO（O'?XOYOZO）平行于S，原點(diǎn)位于球心處，轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系為S'（O'?X'Y'Z'），和球心固連，其Y'軸方向?yàn)殇撉蚩臻g瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。

該機(jī)構(gòu)中，展開輪最為關(guān)鍵。驅(qū)動(dòng)輪提供動(dòng)力，依靠摩擦帶動(dòng)鋼球和展開輪轉(zhuǎn)動(dòng)，該過程為純滾動(dòng)，減少了鋼球再次產(chǎn)生磨損的可能。

展開輪結(jié)構(gòu)具有特殊性，工作區(qū)域?yàn)榕c回轉(zhuǎn)軸有夾角且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的2個(gè)錐面。展開過程中，這種特殊結(jié)構(gòu)可使鋼球和展開輪的接觸點(diǎn)時(shí)刻發(fā)生變化且變化呈現(xiàn)一定的周期性，促使鋼球發(fā)生規(guī)律性翻轉(zhuǎn)。為方便觀察，展開輪工作面簡(jiǎn)化為2個(gè)完整圓錐面，簡(jiǎn)化后的接觸模型如圖2所示。

圖1 展開機(jī)構(gòu)位置坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system of deployable mechanism

圖2 空間接觸模型Fig.2 The spatial contact model

根據(jù)歐拉方向余弦矩陣對(duì)簡(jiǎn)化錐面建立圖示位置的左側(cè)和右側(cè)錐面方程［12］：

式中：a為錐面軸線與Y軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，ρ錐面上一點(diǎn)到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離，ε錐面軸線與Y軸夾角。

上述展開輪曲面任意點(diǎn)處的單位法向量如下：

在笛卡爾坐標(biāo)下由余弦矩陣的變換定理可知，當(dāng)展開輪轉(zhuǎn)過角度Φ時(shí)，它的2個(gè)錐面矢量方程及單位法向量可表示如下：

RΦ為繞Y軸的轉(zhuǎn)換矩陣：

研究整體運(yùn)動(dòng)時(shí)，將展開輪和鋼球之間的接觸視為剛體之間的點(diǎn)接觸。錐面是單參數(shù)平面族的包絡(luò)線，為一組直線構(gòu)成直紋展開面［13］，任意時(shí)刻在2個(gè)錐面上必各自有一條直線和鋼球相接觸于一點(diǎn)，接觸點(diǎn)記為A、B，2點(diǎn)空間位置的矢量方程：

錐面和球接觸點(diǎn)的法矢指向球心，鋼球半徑記為r，則接觸點(diǎn)到球心的矢徑可以表示為

由空間向量關(guān)系可知：

展開輪的特殊結(jié)構(gòu)使鋼球在X方向不會(huì)發(fā)生移動(dòng)，接觸點(diǎn)和球心的位置關(guān)系如下式：

參數(shù)a為展開輪設(shè)計(jì)中給定的一個(gè)值，可視為已知，當(dāng)給定待檢測(cè)鋼球半徑，利用Matlab對(duì)上述公式組成的非線性方程組進(jìn)行計(jì)算，即可得到展開輪轉(zhuǎn)過不同角度時(shí)對(duì)應(yīng)的ρ1，θ1，ρ2，θ2。

2 球心穩(wěn)定性分析

轉(zhuǎn)動(dòng)過程中確保球心位置穩(wěn)定，能夠最大程度減小球體空間位置的移動(dòng)，是保證球面有效展開的重要前提。圖3為展開機(jī)構(gòu)核心接觸模型，可知球心到兩接觸點(diǎn)的距離始終為鋼球半徑。假設(shè)展開輪不動(dòng)，它與鋼球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可等效變換為鋼球繞展開輪滾動(dòng)。此時(shí)球心的運(yùn)動(dòng)軌跡即為左右兩錐面分別沿各自軸線平移r／sin45°后的交線。該軌跡位于空間某一與XOZ面有夾角的平面，球心yO'值不固定且存在正負(fù)變化，說明鋼球在展開輪作用下左右擺動(dòng)，存在2個(gè)yO'值的極限位置。

已知球繞轉(zhuǎn)過90°和270°時(shí)球心位于X軸，滿足Y＝0，因此，保證軌跡曲線上存在另外一點(diǎn)也符合該條件，可保證球心軌跡在Y＝0面，即鋼球穩(wěn)定。

模型建立的初始位置為展開輪的一個(gè)特殊位置，展開輪兩工作錐面的回轉(zhuǎn)軸均位于YOZ平面，如圖4所示。此時(shí)球心也位于YOZ面內(nèi)，yO'處于一個(gè)極限值。

圖3 等效變換后球心軌跡Fig.3 The center trajectory with transformation

圖4 鋼球球心隨展開輪轉(zhuǎn)動(dòng)的極限位置Fig.4 The center limit position with unwinding wheel rotation

由L1、L22條直線平面方程解得P1的坐標(biāo)為

由圖中幾何關(guān)系和P1點(diǎn)坐標(biāo)值，可以得到角平分線O1P1的方程：

由以上分析可知，對(duì)應(yīng)不同ε值時(shí)該直線經(jīng)過固定點(diǎn)（a，0，0），如圖4，K為過O1點(diǎn)的垂線與Y軸的交點(diǎn)，過P1點(diǎn)平行于Y軸的直線與O1K交于點(diǎn)M，與Z軸交于點(diǎn)N，計(jì)算得：

為保證穩(wěn)定，令yO'＝0，即P1M＝P1N，整理得：

即當(dāng)a取值遵循上述規(guī)律時(shí)，認(rèn)為鋼球不再發(fā)生左右擺動(dòng)；zO'為展開輪特殊結(jié)構(gòu)造成的自身浮動(dòng)，實(shí)際鋼球在該方向與驅(qū)動(dòng)輪剛性接觸，無移動(dòng)。

以上說明，展開輪設(shè)計(jì)參數(shù)a是影響鋼球能否完整展開的一個(gè)關(guān)鍵因素。

3 鋼球空間運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化

展開裝置工作過程中，鋼球總繞自身的一條空間轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。該軸線位于展開輪兩錐面的接觸點(diǎn)和球心所在平面，隨接觸點(diǎn)的位置時(shí)刻發(fā)生變化，成為一條瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。瞬時(shí)軸變化反應(yīng)鋼球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)研究影響鋼球運(yùn)動(dòng)規(guī)律有重要意義。

鋼球繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角，可認(rèn)為是將SO繞某任意軸R旋轉(zhuǎn)角度φ得到O'?X'Y'Z（即坐標(biāo)系S'）。任意軸R為鋼球的瞬時(shí)軸，在固定坐標(biāo)系中的方向角如圖5所示。

圖5 鋼球瞬時(shí)軸方位角Fig.5 Azimuth of steel ball instantaneous axis

坐標(biāo)系變換的方向余弦矩陣［14］如下：

由式（11）可知，檢測(cè)給定尺寸的鋼球時(shí)，夾角ε增大，球心在Y軸和Z軸的波動(dòng)均增大，考慮穩(wěn)定性，ε宜取小一些。結(jié)合調(diào)查結(jié)果，考慮實(shí)際加工難度，將ε定為固定整數(shù)1°，以此為例進(jìn)行計(jì)算。

表1給出了不同鋼球尺寸條件下，按照式（8）進(jìn)行計(jì)算得到的a值以及相應(yīng)選取的近似值。

表1 不同鋼球?qū)?yīng)的a值的選取Table1 Selection of value a with different steel balls mm

假設(shè)某時(shí)刻剛球的瞬時(shí)軸在空間任意位置，將其分解到面ZO＝0、XO＝0內(nèi)，與YO軸偏角分別為η、ζ，在接觸A點(diǎn)，瞬時(shí)軸水平面上分量與Y軸的角度η滿足如下關(guān)系：

展開輪轉(zhuǎn)動(dòng)周期為2π，前半周與后半周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全相反，因此選取0到π的區(qū)間進(jìn)行計(jì)算。取錐面頂角90°，對(duì)不同半徑鋼球及相應(yīng)a值，經(jīng)式（8）計(jì)算可得到接觸點(diǎn)A、B的ρ和θ值，進(jìn)而得到tan η和展開輪轉(zhuǎn)角Φ的關(guān)系曲線，間隔為5°的密集點(diǎn)保證了曲線結(jié)果更為貼近實(shí)際，曲線結(jié)果如圖6所示。

圖6 tanη?Φ的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve of tanη?Φ

可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)接觸點(diǎn)、原點(diǎn)構(gòu)成的平面和YOZ平面的夾角正切值非常小，可認(rèn)為接觸點(diǎn)在YOZ平面上，瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸只存在一個(gè)分量，這樣就將復(fù)雜空間問題簡(jiǎn)化為平面問題。

簡(jiǎn)化后鋼球和展開輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖7示。

圖7 鋼球和展開輪的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)Fig.7 Relative rotation of steel ball and unwinding wheel

瞬時(shí)軸隨鋼球和展開輪的接觸位置的變化上下擺動(dòng)，接觸點(diǎn)處鋼球和展開輪具有相同的沿X向的分速度，即

表2 ε選取與ZP1值關(guān)系Table2 The relation between ε and ZP1

可知ε值越大，展開輪和鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)同步性越差。當(dāng)ε＜1.5°時(shí)，O'C≈CD，滿足ω≈ω1，認(rèn)為鋼球與展開輪轉(zhuǎn)動(dòng)同步。說明ε為1°的假設(shè)較為合理。

綜上，夾角ε是影響鋼球運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵因素，通過計(jì)算ε為1°可滿足要求。

4 球上點(diǎn)軌跡的數(shù)值仿真

4.1 點(diǎn)軌跡曲線的數(shù)值仿真

由于瞬時(shí)軸位置時(shí)刻變化，很難直接對(duì)瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)速進(jìn)行計(jì)算，故采用迭代法，將一個(gè)周期的連續(xù)運(yùn)動(dòng)分解，步長(zhǎng)Δφ很小時(shí)，計(jì)算結(jié)果較為接近實(shí)際結(jié)果。第k次計(jì)算后，鋼球轉(zhuǎn)過的角度φ為

式中：φ0為瞬時(shí)軸初始轉(zhuǎn)角。

為方便了解球心的位置變化，將機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)等效替換為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的展開輪帶動(dòng)鋼球運(yùn)動(dòng)，軸線水平位置為起點(diǎn)，錐臺(tái)軸線與Y軸夾角在YOZ平面內(nèi)的投影為

鋼球瞬時(shí)軸的方位角滿足關(guān)系：

假設(shè)球面上有一點(diǎn)，由式（13）及瞬時(shí)軸的變化規(guī)律對(duì)該點(diǎn)位置進(jìn)行迭代計(jì)算，每次計(jì)算點(diǎn)起始位置記為Qk-1，Q0為點(diǎn)初始位置，每次計(jì)算后點(diǎn)的新位置為

取r＝10mm的鋼球球面上一點(diǎn)（0，0，10），迭代步長(zhǎng)為Δφ＝1°，φ0＝0為起始位置，對(duì)給定點(diǎn)的新位置進(jìn)行計(jì)算，獲取每步計(jì)算后的坐標(biāo)。計(jì)算結(jié)果儲(chǔ)存在Matlab的rec數(shù)組，繪制獲取坐標(biāo)點(diǎn)的軌跡仿真圖，結(jié)果如圖8。由圖8（a）知，點(diǎn)在鋼球繞瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)過一周之后的軌跡為一段螺旋線，與起始位置產(chǎn)生一個(gè)偏角δ1。轉(zhuǎn)過第2周后同樣會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偏角δ2，如圖8（b）。鋼球每轉(zhuǎn)一周，都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的偏角δn，距起始位置的總偏角為δ。

圖8 轉(zhuǎn)過圈數(shù)與偏角大小的關(guān)系Fig.8 The relationship between circle and angle

4.2 點(diǎn)軌跡曲線特性分析

鋼球轉(zhuǎn)過10周之后，得到點(diǎn)（0，0，10）轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)及偏角δ如表3所示。

表3 轉(zhuǎn)過n周后點(diǎn)的坐標(biāo)值Table3 Change of coordinate values with circle n

從表中可知，x近似認(rèn)為回到Y(jié)OZ平面。偏轉(zhuǎn)角度滿足關(guān)系：

δ＝arctan（y／z）

利用表中數(shù)據(jù)對(duì)δ進(jìn)行計(jì)算，得到相應(yīng)計(jì)算結(jié)果，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，方程如下：

δ＝6.282 7·n+0.000 1

通過對(duì)比關(guān)系圖9可以發(fā)現(xiàn)，離散點(diǎn)與擬合曲線上轉(zhuǎn)過相應(yīng)圈數(shù)的點(diǎn)幾乎完全吻合。

圖9 角度δ的擬合曲線與散點(diǎn)位置對(duì)比Fig.9 Comparison fitted curve with splashes of angle δ

由此可知，鋼球在外力驅(qū)動(dòng)作用下轉(zhuǎn)過一周的過程，由于展開輪的特殊結(jié)構(gòu)使鋼球同時(shí)有一個(gè)繞XO軸的轉(zhuǎn)角，且每周轉(zhuǎn)過的偏角相等，約為6.28ε。這樣，經(jīng)過若干個(gè)周期之后，起始點(diǎn)軌跡呈偏角固定的螺旋線形纏繞滿鋼球表面，如圖10。若檢測(cè)裝置固定于空間一個(gè)位置，球面上任意點(diǎn)的等偏角螺旋線運(yùn)動(dòng)，可確保球面均勻送至檢測(cè)裝置正下方，即實(shí)現(xiàn)了球面的完整展開。

圖10 球面上一點(diǎn)空間軌跡仿真曲線Fig.10 Simulation curve of the point on the sphere

5 結(jié)論

1）本文建立了展開機(jī)構(gòu)的空間接觸模型，對(duì)展開輪和鋼球的空間位置進(jìn)行分析和計(jì)算，明確展開過程的周期性變化，同時(shí)將復(fù)雜空間問題簡(jiǎn)化成平面問題。

2）通過傳動(dòng)過程的理論分析，能找到合適的展開輪設(shè)計(jì)參數(shù)a值大小，使球心基本穩(wěn)定。且給定不同的鋼球直徑，有合理的a值與之相對(duì)應(yīng)，明確了展開輪一個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的選取依據(jù)。

3）在鋼球穩(wěn)定展開的前提下，錐面與回轉(zhuǎn)軸夾角ε為1°時(shí)，可以認(rèn)為滿足鋼球和展開輪的轉(zhuǎn)動(dòng)同步關(guān)系。通過迭代法找到鋼球上點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)律，為偏角固定的螺旋線，偏角約為6.28ε。探頭檢測(cè)區(qū)域大于該范圍時(shí)，這種運(yùn)動(dòng)形式可以保證球面上的點(diǎn)均可通過檢測(cè)區(qū)域。

以上結(jié)論證明，本文所設(shè)計(jì)的中心對(duì)稱回轉(zhuǎn)錐臺(tái)結(jié)構(gòu)的展開輪能夠?qū)崿F(xiàn)球體的穩(wěn)定展開，這為展開機(jī)構(gòu)的加工提供了理論基礎(chǔ)。

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Modeling of the whole surface unfolding mechanism of a steel ball and its motion analysis

ZHAO Yanling，YUN Ziyan，XIANG Jingzhong，CUI Sihai，XIA Chengtao
（College of Mechanical and Power Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

For the whole surface unfolding problem in the defect detection device of a mirror steel ball，the rationali?ty and reliability of the whole surface unfolding mechanism are proven through the contact modeling and motion a?nalysis.First，establish the mathematical model through coordinate transformation，and calculate the contact points in the space of the model based on Matlab，reasonably simplify the movement to get the synchronous relationship of turning between the steel ball and unfolding wheel；second，conduct an equivalent transformation of the relative motion and look for the optimal parameter relationship which can make steel ball unfold steadily during the trans?mission process；at last，conduct numerical simulation on the movement track of the point on the ball by iterative method，deriving the spiral line with fixed deflection angle.The final result proves that this unfolding mechanism can complete full extension of the sphere.

steel ball；whole surface unfolding；contact modeling；synchronous relationship；equivalent transforma?tion；spiral

10.3969／j.issn.1006?7043.201409002

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006?7043.201409002.html

TH122

A

1006?7043（2015）02?0237?06

2014?09?01.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015?01?22.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51275140）.

趙彥玲（1963?），女，教授，碩士生導(dǎo)師.

趙彥玲，E?mail：zhaoyanling＠sina.com.