帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調(diào)和問(wèn)題的多解性

繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調(diào)和問(wèn)題的多解性

繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

研究了一類帶Navier 邊值條件的(p(x),q(x))雙調(diào)和問(wèn)題的存在性和多解性，利用Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理，得到問(wèn)題至少存在3個(gè)弱解.

雙調(diào)和; Ricceri’s臨界點(diǎn)定理; 廣義Lebesgue-Sobolev空間

(1)

(2)

(3)

函數(shù)G(x,t,s),ep(x),eq(x)滿足以下條件：

(G):G:Ω×R×R→R為Ω上的可測(cè)函數(shù)，在R×R上是C1連續(xù)的且滿足

近年來(lái)，雙調(diào)和問(wèn)題的解的存在性和多解性引起了許多學(xué)者的興趣[1-4]. 由于p(x)-雙調(diào)和算子是非齊次的，因此很多適用于p-雙調(diào)和算子的方法則不能直接應(yīng)用于p(x)-雙調(diào)和算子.文獻(xiàn)[1]中，作者利用Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理，推廣了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果，研究了p(x)-雙調(diào)和問(wèn)題多解的存在性.文獻(xiàn)[2]中，作者利用了等價(jià)的Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理，推廣了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果，研究了不同條件下帶Navier邊值條件的(p(x),q(x))-雙調(diào)和問(wèn)題的多解性. 本文主要利用Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理研究問(wèn)題(1)的多解性. 首先給出Ricceri’s三臨界點(diǎn)定理.

定理1[5]令X是自反的Banach空間,Φ:X→R是連續(xù)的Gateaux 微分算子且序列弱下半連續(xù)的C1函數(shù), 在X的任意有界子集上，存在著連續(xù)的逆算子.Ψ:X→R是C1連續(xù)的且具有緊的Gateaux 微分算子. 假設(shè)

(b)Φ(u0)

則存在開區(qū)間Λ?[0,+∞),ρ為正實(shí)數(shù),C1連續(xù)函數(shù)J:X→R是緊的Gateaux 微分算子,使得?λ∈Λ,存在δ>0,?μ∈[0,δ], 在X中問(wèn)題Φ′(x)+λΨ′(x)+μJ′(x)=0至少存在3個(gè)解并且范數(shù)不超過(guò)ρ.

1 p(x)-雙調(diào)和算子在空間 Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω)中的重要性質(zhì)

為了討論問(wèn)題 (1), 需要用到關(guān)于空間Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω)的一些性質(zhì). 記

當(dāng)空間Lp(x)(Ω)空間賦如下范數(shù)時(shí),

由文獻(xiàn)[6]可知Lp(x)(Ω),Wm,p(x)(Ω) 是可分的自反的Banach 空間.

賦予范數(shù)

由文獻(xiàn)[6]定理1.3，有不等式成立：

(4)

(5)

(6)

(7)

2 主要結(jié)果

引理1[2]令Φ:X→X*為

其中u,ν,φ,ψ∈X.

證明 令

則Ψ,J都是Gateaux可微的并且滿足

則Ψ′為緊算子. 接下來(lái)依次驗(yàn)證滿足定理1的3個(gè)條件.

令

因?yàn)棣?x)>0，則有l(wèi)im|(u,ν)|→∞H(x,u,ν)=+∞.選取δ>1,?u,ν>δ使得H(x,u,ν)>0，因而

H(x,u,ν)≥0=H(x,0,0)≥H(x,t1,s1),?u,ν>δ,t1,s1∈(0,1).

因而可得

(8)

由(4)式和(5)式可知

結(jié)合(8)式可得

即定理1的條件(c)成立.

由γ1,γ2滿足定理1條件(b)，函數(shù)J(u,ν)滿足定理1的條件，由定理1可知，問(wèn)題(1)至少存在3個(gè)弱解，定理2得證.

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(責(zé)任編輯 梁志茂)

Multiplicity results of(p(x),q(x))biharmonicoperator with Navier boundary conditions

MIAO Qing

(School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming 650500,China)

This paper proves the existence of at least three solutions to a Navier boundary problem involving the(p(x),q(x))biharmonic operator.The main results are new.The technical approach is mainly based on a three critical points theorem of B.Ricceri.

(p(x),q(x))biharmonic;Ricceri′s critical points theorem;generalized Lebesgue-Sobolev spaces

2014-10-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11461083，11361076)；云南省自然科學(xué)基金(2013FD031).

繆清(1984-)，女，博士，講師. 主要研究方向：偏微分方程及應(yīng)用.

O175.6

A

1672-8513(2015)04-0285-05