一類旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器的動(dòng)力學(xué)行為分析

劉熙娟，楊淑萍

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅蘭州 730070)

一類旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器的動(dòng)力學(xué)行為分析

劉熙娟，楊淑萍

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅蘭州 730070)

對(duì)一類非線性旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處進(jìn)行分岔分析，利用中心流形理論對(duì)系統(tǒng)在臨界點(diǎn)進(jìn)行降維操作，數(shù)值模擬其分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖，研究其穩(wěn)定性和分岔特性.

中心流形；穩(wěn)定性；分岔；Lyapunov指數(shù)；旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器

對(duì)非線性系統(tǒng)中的混沌和分支現(xiàn)象的研究是當(dāng)前非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)，計(jì)算機(jī)仿真及實(shí)驗(yàn)上都有了一些研究成果，提出了一些方法．但要從理論層面研究一個(gè)非線性動(dòng)力系統(tǒng)，一般比較困難．我們往往希望在保持其動(dòng)力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，將其簡(jiǎn)化．要簡(jiǎn)化一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，有兩條途徑：一是減少系統(tǒng)的維數(shù)，二是消除非線性項(xiàng)．這里有兩個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)工具，它們是中心流形理論和規(guī)范型方法．

離心調(diào)速器在許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械中起著重要作用，這類機(jī)械系統(tǒng)一旦受到外部干擾，其速度就會(huì)發(fā)生很大的變化，若要改變這種動(dòng)力學(xué)行為，就要避免系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，很多學(xué)者已對(duì)其做了大量的研究[1-9]．本文主要研究離心調(diào)速器的混沌現(xiàn)象，用中心流形定理[10]和范式理論[11-12]對(duì)非線性自治系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器進(jìn)行降維操作，通過研究該降維系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，研究原系統(tǒng)的混沌特性．通過計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真Lyapunov指數(shù)圖和龐加萊截面圖等研究了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和分岔特性的影響．

1 一類旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器的數(shù)學(xué)模型

圖1為一類旋轉(zhuǎn)離心調(diào)速器系統(tǒng)的物理模型[13]，其中l(wèi)為桿長(zhǎng)，m為剛性球質(zhì)量，φ為旋轉(zhuǎn)軸與桿的夾角，ω為引擎角速度，η=nω為旋轉(zhuǎn)軸角速度，g為重力加速度，忽略桿和套管的質(zhì)量，并假設(shè)桿頭與剛性球連接處的粘性摩擦系數(shù)為β．則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)器，其輸入轉(zhuǎn)矩與負(fù)載轉(zhuǎn)矩不同，有：

其中J為飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Q為由于蒸汽或燃油作用而產(chǎn)生的力矩，QL為負(fù)載荷作用產(chǎn)生的力矩，t為時(shí)間．當(dāng)φ變化時(shí)，燃油的控制量也相應(yīng)改變，方程（2）可以寫為如下形式：

其中r＞0為比例常數(shù)，P為載荷力矩．

則方程（1）和方程（3）可寫成如下形式：

圖1 一類旋轉(zhuǎn)機(jī)離心調(diào)速系統(tǒng)的物理模型

作時(shí)間尺度變化τ=Ωnt，可以得到系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)方程：

2 平衡點(diǎn)和分岔

方程（6）的平衡點(diǎn)E+可表示為E+=[φ0,0,ω0]，其中：

把方程（7）代入方程（6）中，且對(duì)sinφ,cosφ進(jìn)行Taylor展開，那么系統(tǒng)的方程就變?yōu)椋?/p>

其中，

將式（8）線性化求得系統(tǒng)在原點(diǎn)處的雅可比矩陣如下：

那么矩陣J的特征方程為：

根據(jù)勞斯-赫爾維茨（Routh-Hurwitz）判據(jù)[14]，當(dāng)

滿足時(shí)，特征方程（9）式的所有根的實(shí)部都為負(fù)值，此時(shí)平衡點(diǎn)E+漸進(jìn)穩(wěn)定．

于是可以得到如下結(jié)論：

在改革開放第一階段，城市經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展對(duì)勞動(dòng)力的需求不斷增加，鄉(xiāng)村勞動(dòng)力大規(guī)模涌入城市，居民從村落向集鎮(zhèn)和城鎮(zhèn)轉(zhuǎn)移，傳統(tǒng)的以村落為基礎(chǔ)的基層組織不斷弱化和瓦解。在此過程中，城鄉(xiāng)之間的流動(dòng)處于嚴(yán)重不均衡的狀態(tài)，鄉(xiāng)村空心化隨之出現(xiàn)。

3 中心流形理論的應(yīng)用

將其在原點(diǎn)線性化可得雅克比矩陣J如下：

求得矩陣J的特征值和特征向量，然后構(gòu)造一個(gè)矩陣M，列為矩陣J的特征向量：

將中心流行w的值代入到（11）式中，可得到原系統(tǒng)的降階系統(tǒng)為：

由此可得到如下結(jié)論：當(dāng)μ＞0時(shí)，原點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)μ＜0時(shí)，原點(diǎn)是不穩(wěn)定的，且形成了一個(gè)極限環(huán)．所以，系統(tǒng)在原點(diǎn)處形成了超臨界霍普夫分岔．

4 數(shù)值模擬

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取C=0.7,F=1.942,r =0.25，初值設(shè)為［0.02,0.01,0.03］時(shí)，選取系統(tǒng)參數(shù)k為分岔參數(shù)，利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)（6）進(jìn)行數(shù)值模擬來研究其動(dòng)力學(xué)行為．

圖2和圖3分別是系統(tǒng)取初值［0.02,0.01,0.03］、k=2.603時(shí)的相圖和時(shí)間響應(yīng)圖，圖4和圖5依次是系統(tǒng)的初值為［0.02,0.01,0.031］、k=2.603時(shí)的相圖和時(shí)間響應(yīng)圖．

圖2 初值為[0.02, 0.01, 0.03]的相圖

圖3 初值為[0.02, 0.01, 0.03]的時(shí)間響應(yīng)圖

圖4 初值為[0.02, 0.01, 0.031]時(shí)的相圖

圖5 初值為[0.02, 0.01, 0.031]時(shí)的時(shí)間響應(yīng)圖

圖6 分岔圖

圖7 Lyapunov指數(shù)圖

從相圖和時(shí)間響應(yīng)圖可以看出，系統(tǒng)保持初值x0和y0不變，改變z0為0.031，千分之一的變化會(huì)引起系統(tǒng)行為的顯著改變．這兩幅圖表明了該系統(tǒng)的初值敏感性，體現(xiàn)出該系統(tǒng)的混沌特性．

接下來對(duì)系統(tǒng)參數(shù)k取不同的值來研究其動(dòng)力學(xué)行為特征，k從1.942變化到20，觀察k的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響．圖6和圖7是初值為（0.02, 0.01, 0.03）時(shí)系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)圖．從圖中可以看出隨k的減小，系統(tǒng)開始出現(xiàn)分岔．當(dāng)k=14.947時(shí)系統(tǒng)開始出現(xiàn)Hopf分岔，這與理論分析完全吻合．當(dāng)k=14.18時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)周期窗口，當(dāng)k=13.24時(shí)系統(tǒng)系統(tǒng)又進(jìn)入混沌狀態(tài)，隨后間隔出現(xiàn)周期和混沌行為．由此可知，系統(tǒng)存在復(fù)雜的混沌現(xiàn)象．

圖8為系統(tǒng)當(dāng)k=2.603時(shí)在z=1.0這個(gè)截面上的龐加萊映像，也表現(xiàn)出該系統(tǒng)的混沌特性，這導(dǎo)致了系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為．由此可知，系統(tǒng)存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象．

圖8 龐加萊截面圖

5 結(jié) 論

本文根據(jù)拉格朗日方程建立了離心調(diào)速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，通過理論研究和數(shù)值方法分析了非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，利用中心流形理論對(duì)無法直接用線性化判斷平衡點(diǎn)類型的高維動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行降維操作，接著對(duì)降維系統(tǒng)進(jìn)行范式化，從而研究系統(tǒng)在臨界點(diǎn)的穩(wěn)定性．最后通過仿真軟件MATLAB對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真，通過相平面圖、分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖和龐加萊截面圖分析了自治系統(tǒng)的周期和混沌運(yùn)動(dòng)．

[1] Ge Z M, Yang H S, Chen H H, et al. Regular and chaotic dynamics of a rotational machine with a centrifugal governor [J]. International Journal of Engineering Science, 1999, 37: 921-943.

[2] 常迎香, 褚衍東, 張建剛. 一類離心調(diào)速器的穩(wěn)定性及混沌控制[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 31(2): 144-148.

[3] 周良強(qiáng), 陳予恕, 陳芳啟. 一類自治離心式調(diào)速器系統(tǒng)的Hopf分岔與混沌[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2012, 34(2): 165-169.

[4] 茍向鋒, 羅冠煒. 機(jī)械式離心調(diào)速器系統(tǒng)的混沌及反饋控制[J]. 蘭州鐵道學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 22(3): 86-90.

[5] 茍向鋒, 羅冠煒. 機(jī)械式離心調(diào)速器系統(tǒng)混沌的線形反饋反控制[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì), 2005, 22(4): 30-33.

[6] 彭建奎, 俞建寧, 張建剛. 一類非自治機(jī)械系統(tǒng)的混沌同步控制研究[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2009, 31(5): 719-726.

[7] 張建剛, 褚衍東, 李險(xiǎn)峰. 一類離心調(diào)速器系統(tǒng)的分岔與混沌特性[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2008, 30(3): 362-367.

[8] 王曉斌, 黃劍, 李貴杰. 離心調(diào)速器系統(tǒng)的混沌分岔及控制[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 35(1): 1-6.

[9] Denny M. Watt steam governor stability [J]. Eur J Phys, 2002, 23: 339-351.

[10] Barrera L, Valls C. Center manifold for difference equations smooth parameter dependence [J]. Nonlinear Analysis, 2010, 73(3): 725-749.

[11] Wiggins S. Global Bifurcation and Chaos [M]. New York: Springer Verlag, 1988: 80-91.

[12] Yu P. Simplest normal forms of Hopf and generalized Hopf bifurcation [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1999, 10(9): 1917-1939.

[13] Zhang J G, Li X F, Chu Y D. Hopf bifurcation, Lyapunov exponents and control of chaos for a class of centrifugal flywheel governor system [J]. Chaos, Solution & Fractas, 2009, 39(5): 2150-2168.

[14] Ditto W D, Rauseo S N, Spano M L. Experimental control of chaos [J]. Physical Review Letters, 1990, 65(26): 3211-3212.

Dynamical Behavioural Analysis of a Rotational Centrifugal Governor

LIU Xijuan, YANG Shuping
(College of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

This paper takes the analysis of the bifurcation behavior towards a class of nonlinear rotational centrifugal governor system at the balance point. The system of dimensionality reduction is taken at the balance point by means of the center manifold. The bifurcation diagram and Lyapunov exponent graphs are applied as numerical simulation. Besides, the study also probes into the stability and bifurcation characteristics of such a system.

Center Manifold; Stability; Bifurcation; Lyapunov Exponent; Rotational Centrifugal Governo

O193

A

1674-3563(2015)03-0034-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.03.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-11-18

甘肅省國(guó)際科技合作計(jì)劃項(xiàng)目(1104WCGA195)；甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1208RJZA111)；甘肅省教育廳碩導(dǎo)基金項(xiàng)目(212104)

劉熙娟(1988- )，女，甘肅會(huì)寧人，碩士研究生，研究方向：非線性動(dòng)力學(xué)