一般狀態(tài)空間馬氏過程隨機泛函的指數(shù)矩

屈 聰，張水利，田 菲

(1.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南平頂山467000；2.空軍預(yù)警學(xué)院黃陂士官學(xué)校基礎(chǔ)部，湖北武漢430019)

一般狀態(tài)空間馬氏過程隨機泛函的指數(shù)矩

屈 聰1，張水利1，田 菲2

(1.平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南平頂山467000；2.空軍預(yù)警學(xué)院黃陂士官學(xué)校基礎(chǔ)部，湖北武漢430019)

研究一般狀態(tài)空間馬氏過程隨機泛函的指數(shù)矩，利用最小非負(fù)解理論，得到隨機泛函的指數(shù)矩是相應(yīng)方程的最小非負(fù)解，并利用此結(jié)論證明矩條件與漂移條件等價.①

馬氏過程；隨機泛函；指數(shù)矩；最小非負(fù)解

0 引言

馬氏過程泛函的矩已有許多學(xué)者進(jìn)行了研究，王梓坤［1］研究了連續(xù)時間可數(shù)狀態(tài)空間馬氏鏈(即Q過程)的隨機積分型泛函的矩；李俊平等［2］研究了Markov骨架過程隨機積分型泛函的分布與矩；來向榮［3］研究了非齊次生滅過程的積分型泛函；陳柳鑫等［4］研究了非齊次(H,Q)過程隨機積分型泛函的分布與矩；唐有榮等［5］研究了半馬氏過程的隨機積分型泛函的矩.而筆者利用文獻(xiàn)［6］中有關(guān)最小非負(fù)解一般理論，研究了一般狀態(tài)空間馬氏過程隨機泛函的指數(shù)矩.

設(shè)(E,ξ)是局部緊可分度量空間，{Xt,t∈R+}是(E,ξ)上軌道右連續(xù)的馬氏過程，轉(zhuǎn)移概率函數(shù)為{P(t,x,A):t∈R+,x∈E,A∈ξ}(相應(yīng)半群是{Pt}).對任意的A∈ξ，常數(shù)δ＞0,記

τA(δ)表示馬氏過程在時間δ后，首次到達(dá)集合A的時刻.

條件C0：存在一個非空集合C，常數(shù)δ＞0,滿足Xt?C,?t∈(δ,2δ].

1 主要結(jié)果

定理1.1設(shè){Xt,t∈R+}是(E,ξ)上滿足條件C0的馬氏過程，常數(shù)λ＞0,函數(shù)f:E→[0,∞)，則隨機泛函的指數(shù)矩dt],x∈E}是方程

的最小非負(fù)解.

的最小非負(fù)解.

定理1.3設(shè){Xt,t∈R+}是(E,ξ)上滿足條件C0的馬氏過程，常數(shù)λ＞0,且(Xt)eλtdt]＜∞,則下列兩個條件等價

(i)漂移條件:存在非負(fù)函數(shù)V，滿足方程

2 定義及引理

令?表示從E到Rˉ+上的映射集合:?包含1，且對非負(fù)線性組合及單調(diào)遞增極限封閉，則?是一個凸錐.稱A是從?到?的一個錐射，若A0=0,

令?:={A:?→?,A是一個錐射，當(dāng)fn∈?,fn↑f?Afn↑Af}.

定義2.1[6]給定A∈?,g∈?,稱f?為方程刊

的最小非負(fù)解，若f?滿足(3)式且對于任何滿足(3)式的f?∈?，都有

引理2.2[6]方程(3)的最小非負(fù)解一定存在并且唯一.進(jìn)一步，最小非負(fù)解可以通過下面遞推方法構(gòu)造:令

則當(dāng)n→∞時，f(n)↑f?.

引理2.3[6](局部化定理)設(shè)U是一個非負(fù)可測核，{f?(x),x∈E}是方程

的最小非負(fù)解，令G?E且{f??(x),x∈G}是方程

的最小非負(fù)解，則我們有

引理2.4[6](比較定理)設(shè)A,A?∈?，g,g?∈?，滿足A?≥A，g?≥g，f?是方程(3)的最小非負(fù)解，則方程

的任意解f?，都有f?≥f?.

令

引理2.5設(shè)條件C0成立，則對任意的x∈E,有

引理2.5的證明當(dāng)n=1時，τ(1)C(δ)=min{τC(δ),δ}=δ，所以

用θ表示通常的漂移算子，注意到，在條件C0成立的條件下，當(dāng)τC(δ)＞δ時，有

3 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明令

下面利用歸納法證明，對任意的n≥1,x∈E,都有

當(dāng)n=1時，由(4)式，有

即n=1時，(6)式成立.

假設(shè)n=k＞1時，(6)式成立，即V(k)(x)=(x,f,δ,λ).由(5)式，有

即n=k+1時，(6)式仍成立.由引理2.2可知，方程(1)的最小非負(fù)解為:

推論1.2的證明由定理1.1及局部化定理(引理2.3)可知結(jié)論成立.

定理1.3的證明(i)?(ii)，令

由推論1.2及引理2.4可知，{V?(x),x∈E}是方程(2)的最小非負(fù)解.由條件(i)成立，有

由(10)-(11)式可知，非負(fù)函數(shù){V?(x),x∈E}滿足方程(2).

［1］王梓坤.生滅過程與馬爾可夫鏈［M］.2版.北京:科學(xué)出版社，2004.

［2］李俊平，侯振挺.Markov骨架過程積分型泛函的分布與矩及其應(yīng)用舉例［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2001，24(2):277-283.

［3］來向榮.非齊次生滅過程的積分型泛函［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，1994，11(2):69-75.

［4］陳柳鑫，李俊平，侯振挺.非齊次(H,Q)過程的積分型泛函的分布與矩［J］.長沙鐵道學(xué)院學(xué)報，2000，18(3):81-85.

［5］唐有榮，劉在明，侯振挺.半馬氏過程的積分型隨機泛函［J］.數(shù)學(xué)年刊，1999，20 A(5):553-558.

［6］Chen Mufa.From markov chains to non-equilibrium particle systems［M］.second edition.Singapore:World Scientific，2004.

（責(zé)任編輯 趙 燕）

The exponential moments of stochastic functional for Markov processes on general state space

QU Cong1，ZHANG Shuili1，TIAN Fei2
(1.School of Mathematics and Information Science，Pingdingshan University，Pingdingshan 467000，China；2.Department of Basics，Huangpi NCO School，Air Force Early Warning Academy，Wuhan 430345，China)

The exponential moments of stochastic functional for Markov processes on general state space was studied，we obtained the minimal nonnegative solutions to the corresponding equation was the exponential moments of stochastic functional，by using the theory of minimal nonnegative solutions.As applications，the equivalent between the moment condition and the drift condition are proved.

Markov processes；stochastic functional；exponential moment；minimal nonnegative solutions

O211.62

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2015.05.007

1000-2375（2015）05-0438-04

2015-02-10

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點項目(14B110038)資助.

屈聰(1981-)，女，碩士，講師；張水利，通信作者，講師，E-mail：zhangshuilicong@126.com