ρ-混合序列完全矩收斂的精確漸進(jìn)性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

ρ-混合序列完全矩收斂的精確漸進(jìn)性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學(xué)理學(xué)院，廣西桂林541004）

設(shè){Xn;n≥1}為正的嚴(yán)平穩(wěn)ρ-混合隨機(jī)變量序列，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，獲得ρ-混合序列完全矩收斂的精確漸進(jìn)性的一般形式.

ρ-混合序列；完全矩收斂；精確漸進(jìn)性

0 引言及主要結(jié)果

定義1設(shè){Xn;n≥1}是概率空間(Ω,F,P)的一列隨機(jī)變量，集合=σ(Xi;1≤i≤n),=σ(Xi;i≥n).定義

如果ρ(n)→0（n→∞），則稱序列{Xn;n≥1}是ρ-混合的.

定理1設(shè){Xn;n≥1}是均值為0的正嚴(yán)平穩(wěn)-ρ混合序列，

存在常量δ,r,q,滿足δ＞-1,r＞0,r(δ+1)＞2和q＞r(δ+1),使得

定理2設(shè){Xn;n≥1}是均值為0的正嚴(yán)平穩(wěn)-ρ混合序列，滿足（1）式和（2）式，當(dāng)EX時(shí)，則有

注1如果常量r,δ滿足r=2和0＜δ≤1，則定理2就是文獻(xiàn)［2］中的定理.

1 引理

先介紹證明中要用到的幾個(gè)引理.

引理1［3-4］設(shè){Xn;n≥1}為嚴(yán)平穩(wěn)的ρ-混合序列，EX1=0，E＜∞,ρ(2n)＜∞,如果=E→∞(n→∞),則有→dN(0,1)，n→∞.而且，若σ＞0,則有Wn(t)?W(t),其中Wn(t)=S0≤t≤1,"?″表示在D[0,1]的弱收斂，利用Skorohod技術(shù)，則有M|W(t)|.

引理2［1］設(shè){Xn;n≥1}為ρ-混合序列，EXn=0,Sn=.則對(duì)任意的q≥2,存在常數(shù)K=K(q,ρ(·))，使得對(duì)任意的x＞0和y＞0滿足2nE|Xi|I(|Xi|≥y)≤x.則有

2 定理1的證明

不失一般性，不妨假設(shè)σ2=1，記Q(r,M,ε)=[exp(exp(M/εr))],其中r＞0,M＞4,0＜ε＜.先證明如下性質(zhì)是成立的.

性質(zhì)1在定理1的條件下，有：

性質(zhì)2在定理1的條件下，有：

性質(zhì)2的證明由文獻(xiàn)［5，性質(zhì)2.4］知式（13）成立.對(duì)式（14），則有

性質(zhì)3在定理1的條件下，有：

性質(zhì)3的證明由文獻(xiàn)［5，性質(zhì)2.6］知式（16）成立.由引理2，則（17）式有

性質(zhì)4的證明由文獻(xiàn)［5，性質(zhì)3.4］知（18）式成立，由引理1和Toeplitz’s引理知（19）式成立.

性質(zhì)5在定理1的條件下，有：

性質(zhì)5的證明由文獻(xiàn)［5，性質(zhì)3.5］知式（20）成立.對(duì)于式（20），則有

類似性質(zhì)2的式（14）和性質(zhì)3的證明知式（21）成立.

定理1的證明由矩運(yùn)算，則式（4）等價(jià)于

由性質(zhì)1～3及三角不等式可證明（1）式成立.同樣地，由矩運(yùn)算、性質(zhì)4和5及三角不等式可證明式（2）.

定理2的證明類似證明定理1的方法，故略.

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（責(zé)任編輯 趙 燕）

Precise asymptotics in the complete moment convergence forρ-mixing sequences

FU Zongkui，WU Qunying
（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

Let{X,Xn;n≥1}be a strictly stationary sequence ofρ-mixing random variables，if some conditions were satisfied，we obtained some general results on complete moment convergence forρ-mixing sequences.

ρ-mixing random variables；complete moment convergence；precise asymptotics

O211.4

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2015.05.006

1000-2375（2015）05-0431-07

2015-03-18

國(guó)家自然科學(xué)基金(11361019)、廣西自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2013GXNSFDA019001)和廣西高校人才小高地建設(shè)創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)資助計(jì)劃（桂教人[2011]47號(hào)）資助

付宗魁（1990-），男，碩士生，E-mail:gut_fuzongkui@163.com