一類二階四點(diǎn)p-Laplacian邊值問題的3個(gè)正解

吳紅萍，周韶林

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

一類二階四點(diǎn)p-Laplacian邊值問題的3個(gè)正解

吳紅萍，周韶林

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

利用不動(dòng)點(diǎn)定理，討論二階四點(diǎn)p-Laplacian非線性邊值問題

其中:α，β＞0，0＜ξ＜η＜1．得到了3個(gè)正解存在的充分條件，并給出了1個(gè)實(shí)例.

多點(diǎn)邊值問題;p-Laplacian算子;正解

考察二階四點(diǎn)p-Laplacian非線性邊值問題

其中:φp(s)=|s|p-2s，p＞1，α，β＞0，0＜ξ＜η＜1．f:［0，1］×［0，∞］×?→［0，∞］連續(xù).

過去的二十多年里，多點(diǎn)邊值問題的研究受到極大的關(guān)注并取得了許多成果［1-7］.這些研究主要集中于以下邊值條件:

其中:α，β＞0，0＜ξ＜η＜1．當(dāng)α，β≠1，ξ=0，η=1，式(2)表示Dirichlet邊值條件，式(3)和(4)表示混合邊值條件，式(5)表示Nuemann邊值條件.

對(duì)于帶以下邊界條件的Sturm-Liouville二階邊值問題

其中:α，γ，β，δ＞0且αγ+αδ+βγ＞0，也取得了許多正解存在結(jié)果［8-9］.然而，現(xiàn)有的文獻(xiàn)考慮以下四點(diǎn)邊值條件的很少，

其中:0＜ξ＜η＜1．

Lian和Ge［10］討論了以下類似于Sturm-Liouville型的二階四點(diǎn)邊值問題

通過使用錐上的不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了以上邊值問題1個(gè)正解和2個(gè)正解的存在性結(jié)果.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文進(jìn)一步討論二階四點(diǎn)p-Laplacian邊值問題(1)，通過使用一個(gè)新的不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了該問題3個(gè)正解存在的新結(jié)果，尚無人涉及.

以下總假定:

1 預(yù)備與引理

引理1［10］假設(shè)e∈L1［0，1］，e(t)≥0，在［0，1］的子區(qū)間上e(t)≠0，則邊值問題

有唯一一個(gè)解:u∈C［0，1］∩C1(0，1)，并且這個(gè)解可表示為

引理2［10］設(shè)e∈C［0，1］滿足引理1的條件，進(jìn)一步假定maxt∈［0，ξ］∪［η，1］e(t)≤Γmint∈［ξ，η］e(t)，則邊值問題(9)的解u必然是非負(fù)凸的，且在［0，ξ］上遞增，［η，1］上遞減，滿足u(t)≥w(t)‖u‖，t∈［0，1］．

考慮Banach空間E=C1［0，1］，定義其范數(shù)為‖u‖=max{max0≤t≤1|u(t)|，max0≤t≤1|u'(t)|}．在E中定義錐P．

P={u∈E，u(t)≥0，u(t)是凸的且在［0，ξ］上遞增，在［η，1］上遞減，t∈［0，1］}．

注記如果u∈P∩C1(0，1)，必然存在σ∈［ξ，η］使得u'(σ)=0，這對(duì)于u(t)的正解存在性非常重要，與此同時(shí)當(dāng)u∈P，t∈［0，1］時(shí)，u(t)≥w(t)‖u‖成立．

引理3［10］T:P→P全連續(xù).

假設(shè)φ，ω:P→［0，∞)是2個(gè)非負(fù)連續(xù)凸泛函，滿足

其中:M＞0是一常數(shù)，令

結(jié)合式(12)和(13)知Ω是P中的1個(gè)有界非空開子集．

定義1設(shè)r＞b＞0，L＞0，φ，ω:P→［0，∞)是2個(gè)非負(fù)連續(xù)凸泛函，滿足式(12)和(13)，ψ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，定義以下有界凸集

引理4［11］設(shè)E是一個(gè)Banach空間，P?E是一個(gè)錐，r2≥d＞b＞r1＞0，L2≥L1＞0，φ，ω是P上的2個(gè)非負(fù)連續(xù)凸泛函，滿足式(12)和(13)，ψ是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函，使得當(dāng)x∈ˉP(φ，r2;ω，L2)時(shí)，ψ(x)≤φ(x)，T:ˉP(φ，r2;ω，L2)→ˉP(φ，r2;ω，L2)是全連續(xù)算子．假設(shè)以下條件滿足:

(A1){x∈ˉP(φ，d;ω，L2;ψ，b)|ψ(x)＞b}≠?，ψ(Tx)＞b，x∈ˉP(φ，d;ω，L2;ψ，b).

(A2)φ(Tx)＜r1，ω(Tx)＜L1，?x∈ˉP(φ，r1，ω，L1)．

(A3)ψ(Tx)＞b，?x∈ˉP(φ，r2;ω，L2;ψ，b)時(shí)φ(Tx)＞d．

則T至少有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，x3∈ˉP(φ，r2;ω，L2)，且x1∈ˉP(φ，r1;ω，L1)，x2∈{ˉP(φ，r2;ω，L2;ψ，b)|ψ(x)＞b}，x3∈ˉP(φ，r2;ω，L2)(ˉP(φ，r2;ω，L2;ψ，b)∪ˉP(φ，r1;ω，L1))．

2 主要結(jié)果

注記w*＜1．

定義函數(shù)

則φ，ω，ψ:P→［0，∞)均為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，取‖u‖=max{φ(u)，ω(u)}，則式(12)，(13)成立;φ(u)，ω(u)是凸的，ψ是凹的且有ψ(u)≤φ(u)，?u∈P．

則邊值問題(1)至少有3個(gè)正解u1，u2，u3，滿足max0≤t≤1u1(t)＜r1，max0≤t≤1|u'1(t)|＜L1，b＜minu2(t)＜maxt∈［0，1］u2(t)≤r2，max0≤t≤1|u'(t)|≤L2，mint∈u(t)＜b，maxu(t)≤，max0≤t≤1|u3(t)|≤L2．

證明以下證明引理4的所有條件均成立．

首先，如果u∈Pˉ(φ，r2;ω，L2)，則φ(u)≤r2，ω(u)≤L2，(B3)隱含f(t，u(t)，u'(t))≤φp(mr2)．因此

?u∈P，有Tu∈P，由于Tu在［0，1］上是凸的，且maxt∈［0，1］|Tu'(t)|=max{|(Tu)'(0)|，|(Tu)'(1)|}．故

其次，同樣的方法，如果u∈Pˉ(φ，r1;ω，L1)，條件(B1)滿足，即f(t，u，v)＜min{φp(mr1，φp(L1)}，0≤t≤1．由此可得T:Pˉ(φ，r1;ω，L1)→Pˉ(φ，r1;ω，L1)，即引理4中的(A2)滿足．

最后，證明引理4的條件(A3)也是滿足的．設(shè)u∈Pˉ(φ，ω，L;ψ，b)，φ(Tx)＞則依據(jù)ψ的定義2及Tu∈P的事實(shí)，我們有

故引理4的條件(A3)也滿足.

運(yùn)用引理4，邊值問題(1)至少存在3個(gè)正解，使得u1∈(φ，r1;ω，L1)，u2∈{Pˉ(φ，r2;ω，L2;ψ，b)| ψ(u)＞b}，u∈Pˉ(φ，r;ω，L)(Pˉ(φ，r;ω，L;ψ，b)∪Pˉ(φ，r;ω，L))．由于u滿足φ(u)≤ψ(u)，故u(t)＜3

3 舉例

以下給出實(shí)例來驗(yàn)證我們的結(jié)果.考慮二階四點(diǎn)邊值問題

故定理1的全部條件滿足，因此邊值問題(14)至少存在3個(gè)正解u，u，u，且有mau(t)≤，

1231|u1'(t)|≤4，2＜2(t)＜ma(t)≤7，ma|u2'(t)|≤100，mau3(t)≤4，|u3'(t)|≤100．

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Three Positive Solutions for a Second-order Four-point Boundary Value Problem with the p-Laplacian

WU Hong-ping，ZHOU Shao-lin
(College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 730070，China)

multi-point boundary value problem;p-Laplacian operator;positive solution

O175.8

A

(責(zé)任編輯 李春梅)

1004-8820(2015)02-0079-05

10.13951/j.cnki.37-1213/n.2015.02.001

2014-09-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11261053);甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1308RJZA125).

吳紅萍(1970-)，女，甘肅慶陽(yáng)人，副教授，碩士，主要研究方向:常微分方程邊值問題.