基于多階FDTD雷電感應(yīng)過(guò)電壓計(jì)算新方法

樊亞?wèn)| 于建立, 詹清華 王建國(guó) 周 蜜 蔡 力 戚 為

（1.武漢大學(xué)電氣工程學(xué)院 武漢 430072 2.東北電力大學(xué)輸變電技術(shù)學(xué)院 吉林 132012 3.廣東電網(wǎng)公司 佛山 528000 4.國(guó)網(wǎng)寧波鄞州供電局 寧波 315100 ）

1 引言

雷電是造成架空電力線路故障和事故最主要的外部因素[1]，長(zhǎng)期以來(lái)線路防雷的工作重點(diǎn)集中在直擊雷防護(hù)，對(duì)雷電感應(yīng)過(guò)電壓的研究相對(duì)較少[2]。隨著配電線路雷擊故障率在電網(wǎng)故障率中的比重越來(lái)越大，后者危害逐漸凸顯。配電線路走廊密度大且絕緣水平低，對(duì)雷電感應(yīng)過(guò)電壓敏感程度高，其故障率占雷擊總故障率的90%以上[2,3]。

傳統(tǒng)的雷電感應(yīng)過(guò)電壓常用解析法計(jì)算：國(guó)內(nèi)武漢高壓研究院在上世紀(jì) 80年代分析擬合出峰值的近似計(jì)算式[4]；日本和西方一些國(guó)家的學(xué)者研究并提出相應(yīng)計(jì)算公式，部分計(jì)算結(jié)果比觀測(cè)值小很多[4]；Chowdhuri[5]于 1966年提出較為詳細(xì)的解析計(jì)算式；Darveniza[5]于1971年提出考慮避雷線作用的近似計(jì)算公式。上述方法采用較多近似計(jì)算并不同程度忽略了部分影響因素（如大地電參數(shù)、回?fù)綦娏鞑ㄐ蔚龋?jì)算精度無(wú)法保證。另外解析法計(jì)算對(duì)象多為線路感應(yīng)電壓峰值，無(wú)法得到波形，不能滿足越來(lái)越復(fù)雜的防雷工作。數(shù)值方法既能更多的還原物理原型又能充分考慮各影響因素，是計(jì)算雷電感應(yīng)過(guò)電壓的有力工具。而雷電電磁脈沖（LEMP）的計(jì)算是數(shù)值方法中不可或缺的環(huán)節(jié)，關(guān)于 LEMP的理論計(jì)算除回?fù)裟Ｐ蜕杏胁蛔阃猓瑐鹘y(tǒng)的近似計(jì)算方法也存在一些凾待解決的問(wèn)題，如：未考慮大地電導(dǎo)率[6]（將大地作為良導(dǎo)體）；局限于大地電導(dǎo)率較高情況[7]；局限于距回?fù)敉ǖ垒^遠(yuǎn)（如大于100m）的場(chǎng)[8,9]；需要對(duì)近地面水平電場(chǎng)進(jìn)行修正[10]等。Yee[11]提出的時(shí)域有限差分（FDTD）法在計(jì)算LEMP方面不僅能考慮大地電參數(shù)的影響，而且在粗糙、不均勻反射面的計(jì)算環(huán)境中有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文采用數(shù)值方法模擬架空線雷電感應(yīng)過(guò)電壓，完善其從產(chǎn)生到發(fā)展的理論研究。重新推導(dǎo)了文獻(xiàn)[12]計(jì)算架空線雷電感應(yīng)過(guò)電壓的Agrawal耦合模型，提出一種基于多階 FDTD的數(shù)值計(jì)算方法。該方法采用一階FDTD計(jì)算LEMP，采用二階 FDTD[13]求解耦合電路方程，通過(guò)合理設(shè)置線路差分點(diǎn)實(shí)現(xiàn)兩過(guò)程有效結(jié)合。所編軟件適用于各種工況下架空線雷電感應(yīng)過(guò)電壓的計(jì)算。通過(guò)與火箭引雷試驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)比較，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。

2 物理模型

計(jì)算雷電回?fù)敉ǖ乐車腖EMP及其在架空線上激勵(lì)產(chǎn)生的過(guò)電壓，需要建立回?fù)敉ǖ?、大地和架空線路之間的整體化模型，如圖1。在該模型中，將雷電回?fù)敉ǖ雷鳛閆坐標(biāo)軸，X-Y平面表示為地面，地面落雷點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)。對(duì)模型做如下設(shè)置：

圖1 模型結(jié)構(gòu)Fig.1 Scheme of model structure model

3 架空線雷電感應(yīng)過(guò)電壓計(jì)算方法

3.1 雷電回?fù)敉ǖ离娏?/h3>

回?fù)敉ǖ纼?nèi)雷電流的計(jì)算包括兩個(gè)主要過(guò)程：1）、通道基電流i(0,t)的確定；2）、通道內(nèi)回?fù)裟Ｐ偷拇_定。目前業(yè)內(nèi)應(yīng)用最廣泛的基電流函數(shù)有雙指數(shù)函數(shù)[14]：

和 Heidler函數(shù)[15]：

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)雷電回?fù)裟Ｐ瓦M(jìn)行了大量的研究和討論，本文采用了應(yīng)用最多的工程模型[16]：

其中，I(z’,t)為任意高度z’和任意時(shí)間t的通道電流；u(t)是單位函數(shù)，t≥z’/vf時(shí)取 1 否則取 0；I(0,t)是通道基電流函數(shù)；p(z’)是電流衰減因子；v’是電流波傳輸速度；vf是回?fù)羲俣取?/p>

3.2 多階FDTD法計(jì)算雷電感應(yīng)過(guò)電壓

目前，解決外部電磁場(chǎng)激勵(lì)下傳輸線感應(yīng)電壓的問(wèn)題主要包括 Taylor法[17]、Agrawal法[18]和Rachidi法[19]等，三種模型所采用的激勵(lì)場(chǎng)源不同。本文針對(duì)模型需求選擇Agrawal法，提出基于多階FDTD法計(jì)算線路感應(yīng)電壓。

該方法基本步驟如下：

1）選擇回?fù)裟Ｐ筒⑤斎牖負(fù)綦娏鲄?shù)（基電流、通道高度和回?fù)羲俣鹊龋?、架空線路參數(shù)（導(dǎo)線數(shù)、線徑和空間距離等參數(shù)）以及時(shí)間步長(zhǎng)和總時(shí)間長(zhǎng)度等基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2）在計(jì)算空間內(nèi)選取合適的單位長(zhǎng)度劃分空間網(wǎng)格，采用一階FDTD法求解Maxwell方程計(jì)算回?fù)敉ǖ乐車臻g的LEMP。

3）采用二階FDTD法處理Agrawal耦合方程，得到圖2所示電路模型的離散式，將步驟2）求得的空間水平電場(chǎng)和垂直電場(chǎng)代入電路方程的離散式中，迭代求解線路差分點(diǎn)的電壓和電流。

圖2 Agrawal 耦合模型電路圖Fig.2 Circuit of Agrawal coupling model

4）輸出每個(gè)時(shí)間步線路上“觀測(cè)點(diǎn)”的電壓和電流值，得到該點(diǎn)在LEMP激勵(lì)下的時(shí)域響應(yīng)。

3.2.1 FDTD法計(jì)算空間LEMP

雷電回?fù)敉ǖ揽梢暈檩S對(duì)稱的天線模型，產(chǎn)生的LEMP也具有軸對(duì)稱性。因而三維場(chǎng)可簡(jiǎn)化為二維場(chǎng)，即含對(duì)稱軸在內(nèi)的半個(gè)剖面，模型如圖1。軸對(duì)稱情況下的電磁場(chǎng)具有TE模和 TM模兩組獨(dú)立的解，分別包括 Eφ、Hr、Hz分量和 Hφ、Er、Ez分量。天線輻射模型采用TM模，對(duì)應(yīng)柱坐標(biāo)系下的 Maxwell方程為[20]：

采用柱坐標(biāo)Yee網(wǎng)格的方程差分格式為[20]：

式中，Er、Ez和Hφ分別表示LEMP中的水平電場(chǎng)、垂直電場(chǎng)和水平磁場(chǎng)。ε、σ和μ0分別為傳播介質(zhì)的電容率、電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。n、Δt、Δz和Δr分別為時(shí)間步、單位時(shí)間步長(zhǎng)、垂直和水平方向空間網(wǎng)格步長(zhǎng)。本文旨在實(shí)現(xiàn)有限區(qū)域內(nèi)模擬無(wú)限空間的LEMP分布，須在計(jì)算區(qū)域邊界設(shè)置吸收邊界條件。工程上應(yīng)用性能較好的吸收邊界主要有Berenger提出的完全匹配層（PML）[20]、Chen提出的修正的完全匹配層（MPML）[20]以及Mur提出的單行波吸收條件[20]。本文對(duì)軸線和另外三個(gè)空間吸收邊界分別采用安培環(huán)路定理和Mur吸收條件處理Maxwell方程，一階FDTD法較為成熟不做重點(diǎn)介紹，故邊界上具體離散格式不再贅述。

3.2.2 場(chǎng)線耦合方程的二階FDTD離散方法

單導(dǎo)線 Agrawal模型等值電路耦合電路方程為[18]：

Vs為導(dǎo)線散射電壓；ξg為大地阻抗的瞬態(tài)值，表示大地?fù)p耗的影響；符號(hào)?表示卷積積分；Ex(x,h,t)為差分點(diǎn)處沿導(dǎo)線方向水平電場(chǎng)值；L和C分別為導(dǎo)線單位長(zhǎng)電感電容。對(duì)上式進(jìn)行向量擴(kuò)展，可得多導(dǎo)線模型的耦合矩陣方程[18]：

可見，耦合方程從單導(dǎo)線模型擴(kuò)展到多導(dǎo)線模型將各變量擴(kuò)展為變量矩陣。導(dǎo)線上總感應(yīng)電壓Vi(x,t)理解為散射電壓和入射電壓之和[18]：，其中入射電壓，h為第 i根導(dǎo)線對(duì)地i高度，Ez(x,z,t)為差分點(diǎn)處垂直電場(chǎng)。為便于理解將模型簡(jiǎn)化處理，在兩端設(shè)置邊界條件如下：

R0和RL分別為線路始端和末端接地電阻。文獻(xiàn)[12,13]采用一階FDTD對(duì)式（10-11）離散處理，本文從提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度的角度對(duì)式（10-11）采用二階FDTD法處理。分別在空間域x和時(shí)間域 t內(nèi)作變形處理，式（10）和式（11）可改寫為：

o(Δt3)為展開式余項(xiàng)。為方便使用FDTD處理方程，將待求變量和激勵(lì)源變量寫成空間步x和時(shí)間步t上更加直觀的離散格式：

其中，Δx指線路差分點(diǎn)間單位長(zhǎng)度，k表示沿線空間步數(shù)。將式（18-19）中散射電壓、電流和水平電場(chǎng)對(duì)空間步長(zhǎng)x和時(shí)間步長(zhǎng)t的偏微分分別做一階、二階差分替換，即得式（18-19）的二階FDTD離散形式:

圖3 一階FDTD離散差分圖Fig.3 Scheme of first order FDTD discrete difference

對(duì)于一階 FDTD差分和二階 FDTD差分的區(qū)別，可通過(guò)圖3和圖4得到清晰直觀的理解：

圖4 二階FDTD離散差分圖Fig.4 Scheme of second order FDTD discrete difference

由圖3可見一階FDTD法電壓計(jì)算與電流計(jì)算非同步進(jìn)行，差分格式中散射電壓節(jié)點(diǎn)和電流節(jié)點(diǎn)交替分布（理解為取節(jié)點(diǎn)電壓和兩節(jié)點(diǎn)之間電流為求解變量），若離散電壓節(jié)點(diǎn)共有kmax個(gè)，則離散電流節(jié)點(diǎn)共有kmax-1個(gè)；圖4的二階FDTD差分格式中離散電壓節(jié)點(diǎn)和電流節(jié)點(diǎn)重合為同一點(diǎn)，該離散格式的數(shù)值穩(wěn)定性更高且能很好的簡(jiǎn)化線路不連續(xù)點(diǎn)（如避雷線接地點(diǎn)）的處理。按照上述過(guò)程對(duì)式（12-13）進(jìn)行相同方法的推導(dǎo)和差分代換，得到考慮大地?fù)p耗的多導(dǎo)線模型二階FDTD離散方程：

3.2.3 不連續(xù)點(diǎn)處理

線路中每級(jí)桿塔的接地位置和有裝設(shè)避雷器的位置在計(jì)算中作為不連續(xù)點(diǎn)對(duì)待，該節(jié)點(diǎn)電壓可采用圖5模型單獨(dú)計(jì)算：節(jié)點(diǎn)k的相鄰兩節(jié)點(diǎn)（k-2、k-1、k+1、k+2）在第 n+1時(shí)間步的散射電壓和電流以及阻抗函數(shù)Γ和該處垂直電場(chǎng) Ez為已知量。節(jié)點(diǎn)k的散射電壓表達(dá)式為：其中，為接地點(diǎn)處分路阻抗中的電流，計(jì)算式為：；Γ為的函數(shù)表示該阻抗上的壓降，分路阻抗若為線性電阻，則Γ =RgIg，可得：。對(duì)多導(dǎo)線情況可參照上文對(duì)單導(dǎo)線的擴(kuò)展方法：

圖5 線路不連續(xù)點(diǎn)模型圖Fig.5 Scheme of discontinuity point model

若導(dǎo)線數(shù)為N，則矩陣[Γ]為：

4 計(jì)算方法驗(yàn)證

4.1 LEMP的計(jì)算與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

LEMP的準(zhǔn)確計(jì)算是研究線路雷電感應(yīng)過(guò)電壓的基礎(chǔ)。為檢驗(yàn)本文FDTD法計(jì)算LEMP，對(duì)以下火箭引雷試驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算對(duì)比。

佛羅里達(dá)州國(guó)際雷電研究測(cè)試中心（ICLRT）在2000年7月11日人工引雷方法測(cè)得Flash S0022,stroke 1[21]。實(shí)測(cè)15m處地面垂直電場(chǎng)如圖6a。按照實(shí)測(cè)雷電流波形采用一個(gè) Heidler函數(shù)與一個(gè)雙指數(shù)函數(shù)疊加擬合基電流，F(xiàn)DTD法計(jì)算電場(chǎng)如圖6b。

圖6 實(shí)測(cè)電場(chǎng)與計(jì)算電場(chǎng)對(duì)比Fig.6 The measured electric field and calculation

由以上算例可見，本文FDTD法計(jì)算電場(chǎng)結(jié)果與實(shí)測(cè)電場(chǎng)基本吻合，證明LEMP算法正確性。

4.2 雷電感應(yīng)過(guò)電壓的計(jì)算與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比

1 數(shù)值計(jì)算與火箭引雷試驗(yàn)對(duì)比

2008年8月12日在廣東火箭引雷試驗(yàn)中對(duì)220V架空民用線感應(yīng)電壓進(jìn)行了觀測(cè)。試驗(yàn)布置如下：兩根水平架空導(dǎo)線長(zhǎng) 1 500m，高 3m，引流桿距導(dǎo)線垂直距離約 40m且距導(dǎo)線一端（A端）約為1 250m，觀測(cè)點(diǎn)距 A端約 1 300m。本文采用兩個(gè)Heidler函數(shù)疊加擬合首次回?fù)艋娏?，如圖7。采用本文方法對(duì)觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)電壓進(jìn)行仿真計(jì)算,圖8為本文仿真計(jì)算感應(yīng)電壓與實(shí)測(cè)結(jié)果相對(duì)比。

圖7 回?fù)敉ǖ赖撞侩娏鱂ig.7 Base current waveform of the return channel

圖8 觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)過(guò)電壓Fig.8 Induced over-voltage of observation point

2 數(shù)值計(jì)算與自然閃電觀測(cè)結(jié)果對(duì)比

2008年7月31日在上述觀測(cè)系統(tǒng)中測(cè)得了由自然閃電引起的感應(yīng)電壓。在記錄的1秒鐘內(nèi)共有7次回?fù)暨^(guò)程，本文對(duì)第三次回?fù)舻挠^測(cè)點(diǎn)電壓波形進(jìn)行數(shù)值模擬，圖9為實(shí)測(cè)電壓波形和數(shù)值計(jì)算電壓波形對(duì)比結(jié)果。

圖9 觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)過(guò)電壓Fig.9 Induced over-voltage of observation point

由以上兩算例可見，本文多階FDTD法計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)雷電感應(yīng)過(guò)電壓結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好，證明該計(jì)算方法的正確性。

5 計(jì)算方法應(yīng)用

本文多階FDTD法可計(jì)算不同導(dǎo)線數(shù)在多工況下的雷電感應(yīng)過(guò)電壓。為檢驗(yàn)該方法的計(jì)算性能，對(duì)雷電流部分參數(shù)和兩種導(dǎo)線排布方式的影響進(jìn)行計(jì)算分析。

5.1 雷電流幅值Im的影響

以圖1所示簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)為計(jì)算基礎(chǔ)。模型參數(shù)設(shè)置為：?jiǎn)渭芸站€長(zhǎng)600m高3m，雷擊點(diǎn)距線路垂直距離 50m且與線路兩端距離相等，觀測(cè)點(diǎn)距一端400m。采用 Heidler函數(shù)擬合基電流，采用 MTLL回?fù)裟Ｐ?，大地電?dǎo)率σ取5×10-3S/m。

基電流波形及回?fù)魠?shù)相同，基電流幅值Im取值分別為11kA、16kA和21kA，所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)點(diǎn)電壓Um1、Um2和Um3的波形如圖10所示。

圖10 基電流幅值的影響Fig.10 The influence of base current amplitude

由圖10可知，雷電流幅值 Im對(duì)線路感應(yīng)電壓的影響主要體現(xiàn)在幅值變化，Im從 11kA增大到16kA和21kA，提高比例分別為45%和91%，對(duì)應(yīng)觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)電壓幅值從20kV提高到32kV和45kV，提高比例分別為60%和125%?？梢奍m的提高明顯引起了感應(yīng)電壓幅值提高，該過(guò)程對(duì)電壓波形影響很小。

5.2 雷電流波頭陡度的影響

基電流幅值及回?fù)魠?shù)相同，其他輸入設(shè)置同5.1，波頭時(shí)間分別為 0.1μs、0.4μs和 1μs，所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)電壓如圖11。

圖11 基電流波頭陡度的影響Fig.11 The influence of base current wave steepness

由圖11可知，雷電流波頭陡度降低，波頭時(shí)間從0.1μs增大到0.4μs和1μs，對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電壓幅值從 39kV降低到38kV和 35kV，降低比例為 3%和10%，波頭時(shí)間從 1.8μs增大到 2.0μs和 2.5μs，分別增大11%和39%?？梢娎纂娏鞑^陡度降低，引起了感應(yīng)電壓波頭時(shí)間較明顯增大，陡度降低，而幅值則降低很小。

5.3 導(dǎo)線排布方式影響

基電流和回?fù)魠?shù)相同，三根架空導(dǎo)線水平布置(與雷擊點(diǎn)距離分別為 50m、51m 和 52m，高度3m)和垂直布置（與雷擊點(diǎn)距離 50m，高度分別為3m、4m和5m）時(shí)各導(dǎo)線觀測(cè)點(diǎn)電壓波形如圖12。

由圖12可知，水平排布的導(dǎo)線觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)電壓幅值均為30kV左右，相差不足3%；而垂直排布的導(dǎo)線觀測(cè)點(diǎn)感應(yīng)電壓則相差明顯，由下而上分別約為30kV、45kV和60kV，中間和最高導(dǎo)線比最低導(dǎo)線分別提高了 50%和 100%?？梢妰煞N排布方式的“屏蔽效應(yīng)”差異大，垂直排布的導(dǎo)線感應(yīng)電壓幅值差明顯高于水平排布。兩種排布方式對(duì)感應(yīng)電壓波形影響不大。

圖12 導(dǎo)線排布方式的影響Fig.12 The influence of conductor configuration

6 結(jié)論

提出一種多階FDTD的架空線雷電感應(yīng)過(guò)電壓計(jì)算方法，該方法采用一階FDTD計(jì)算LEMP，采用二階 FDTD推導(dǎo)場(chǎng)線耦合方程，比單純的一階FDTD法數(shù)值穩(wěn)定性更高，得到結(jié)論如下：

1）與火箭引雷試驗(yàn)和自然閃電觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證了所提方法的正確性和實(shí)用性。該方法可實(shí)現(xiàn)不同導(dǎo)線數(shù)在各種工況下雷電感應(yīng)過(guò)電壓的準(zhǔn)確計(jì)算，且能更簡(jiǎn)捷的處理線路上的不連續(xù)點(diǎn)。

2）通過(guò)計(jì)算得到：雷電流幅值對(duì)線路感應(yīng)電壓幅值影響明顯，對(duì)電壓波形影響?。焕纂娏鞑^陡度對(duì)感應(yīng)電壓幅值影響較小，但對(duì)波形有較大影響。多導(dǎo)線之間有“屏蔽效應(yīng)”，該效應(yīng)受導(dǎo)線排布方式影響明顯，垂直排布的導(dǎo)線感應(yīng)電壓差較水平排布明顯要大。

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