綜合 實(shí)踐 探究

李行達(dá)

摘 要：函數(shù)是在探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)上抽象出的重要數(shù)學(xué)概念，是研究現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)2014年部分省市中考試題的分析，探討了函數(shù)這一部分內(nèi)容在中考命題中呈現(xiàn)出的新動(dòng)向。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；綜合；實(shí)踐

近幾年的中考函數(shù)內(nèi)容試題主要關(guān)注：將函數(shù)視為“變化過(guò)程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù)；通過(guò)不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系；通過(guò)實(shí)際問(wèn)題情境分析確定函數(shù)的表達(dá)式等。現(xiàn)探討二次函數(shù)知識(shí)的考查新動(dòng)向：

一、將函數(shù)與幾何變換相結(jié)合

例：（2014·溫州）如圖1，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合.在邊AB從小于A(yíng)D到大于A(yíng)D的變化過(guò)程中，若矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)A的反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的值的變化情況是（ ）

A.一直增大 B.一直減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

分析：設(shè)矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長(zhǎng)始終保持不變，則a+b為定值.根據(jù)矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)與原點(diǎn)O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知k=AB·AD=ab，再根據(jù)a+b一定時(shí)，當(dāng)a=b時(shí)，ab最大，可知在邊AB從小于A(yíng)D到大于A(yíng)D的變化過(guò)程中，k的值先增大后減小.

把圖形與變換與函數(shù)相結(jié)合，既考查了學(xué)生幾何建模以及探究活動(dòng)的能力，又考查了學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系、多角度、多層次綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題的能力，是近幾年命題的重點(diǎn).

二、突出考查數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最基本的概念。每一個(gè)幾何圖形都蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形予以直觀(guān)的反應(yīng)和描述，所以數(shù)形結(jié)合也就成為研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法。函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)主要體現(xiàn)為更高的抽象性，體現(xiàn)著“數(shù)與式”“圖形”和“圖表”的結(jié)合及轉(zhuǎn)化的關(guān)系，體現(xiàn)著相互依賴(lài)的兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律。

例：（2014·瀘州）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心坐標(biāo)是（3，a）（a>3），半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長(zhǎng)為4，則a的值是（ ）

A.4 B.3+

C.3 D.3+

解：如圖3，作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，如圖，

∵⊙P的圓心坐標(biāo)是（3，a），

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），

∴CD=3，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴△PED也為等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE==1，

∴PD=PE=，

∴a=3+.

故選B.

平面幾何與函數(shù)相結(jié)合，既考查了學(xué)生幾何建模以及探究活動(dòng)的能力，又考查了學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系、多角度、多層次綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題的能力，是近幾年來(lái)全國(guó)各地?cái)?shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)題型，備受命題者的青睞。其基本的命題立意是通過(guò)在平面直角坐標(biāo)系中將函數(shù)與平面幾何中的三角形、四邊形以及圓等知識(shí)結(jié)合起來(lái)。解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題的目的。

三、建立數(shù)學(xué)模型，解決應(yīng)用問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的重要途徑，是數(shù)學(xué)教育改革發(fā)展的方向。在新課標(biāo)高中教材中還將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型、建模方法以及用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看待周?chē)挛锖同F(xiàn)象的習(xí)慣，激勵(lì)學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)建模意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)提高。

例如，（2014年四川資陽(yáng)）某商家計(jì)劃從廠(chǎng)家采購(gòu)空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái)，空調(diào)的采購(gòu)單價(jià)y1（元/臺(tái)）與采購(gòu)數(shù)量x1（臺(tái)）滿(mǎn)足y1=-20x1+1500（0

（1）經(jīng)商家與廠(chǎng)家協(xié)商，采購(gòu)空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購(gòu)單價(jià)不低于1200元，問(wèn)該商家共有幾種進(jìn)貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺(tái)和1700元/臺(tái)的銷(xiāo)售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱，且全部售完.在（1）的條件下，問(wèn)采購(gòu)空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn).

分析：（1）設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20-x）臺(tái)，然后根據(jù)數(shù)量和單價(jià)列出不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺(tái)數(shù)是正整數(shù)確定進(jìn)貨方案；

（2）設(shè)總利潤(rùn)為W元，根據(jù)總利潤(rùn)等于空調(diào)和冰箱的利潤(rùn)之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式并整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)函數(shù)的增減性求出最大值即可.

解答：（1）設(shè)空調(diào)的采購(gòu)數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購(gòu)數(shù)量為（20-x）臺(tái)，

由題意得，x≥（20-x） ①-20x+1500≥1200 ②，不等式組的解集是11≤x≤15，

∵x為正整數(shù)，

∴x可取的值為11、12、13、14、15，所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案.

（2）設(shè)總利潤(rùn)為W元，

y2=-10x2+1300=-10（20-x）+1300=10x+1100，

則W=（1760-y1）x1+（1700-y2）x2，

=1760x-（-20x+1500）x+（1700-10x-1100）（20-x），

=30（x-9）2+9570，

當(dāng)x>9時(shí)，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當(dāng)x=15時(shí)，W最大值=30（15-9）2+9570=10650（元），

答：采購(gòu)空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)值為10650元.

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用：（1）關(guān)鍵在于確定出兩個(gè)不等關(guān)系；（2）難點(diǎn)在于用空調(diào)的臺(tái)數(shù)表示出冰箱的臺(tái)數(shù)并列出利潤(rùn)的表達(dá)式.

四、突出函數(shù)知識(shí)的探究性

近年來(lái)，中考試卷加強(qiáng)了對(duì)探究能力、獲取信息和處理信息能力、空間觀(guān)念操作能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的考查力度，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維過(guò)程和思維方法的考查。課標(biāo)中對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)達(dá)到Ⅲ級(jí)（探究性理解水平）。要求能把握函數(shù)的本質(zhì)及其內(nèi)容、形式的變化；能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出函數(shù)模型或作出歸納假設(shè)進(jìn)行探索，能把具體的現(xiàn)象上升為函數(shù)本質(zhì)聯(lián)系，從而解決問(wèn)題；會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展或?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行延伸，會(huì)對(duì)解決函數(shù)過(guò)程中的合理性、完整性、簡(jiǎn)潔性的評(píng)價(jià)和追求作有效的思考。

例如，（2014·揚(yáng)州）某店因?yàn)榻?jīng)營(yíng)不善欠下38400元的無(wú)息貸款的債務(wù)，想轉(zhuǎn)行經(jīng)營(yíng)服裝專(zhuān)賣(mài)店又缺少資金.“中國(guó)夢(mèng)想秀”欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)償還債務(wù)（所有債務(wù)均不計(jì)利息）.已知該店代理的品牌服裝的進(jìn)價(jià)為每件40元，該品牌服裝日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系可用圖4中的一條折線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)）來(lái)表示.該店應(yīng)支付員工的工資為每人每天82元，每天還應(yīng)支付其他費(fèi)用為106元（不包含債務(wù)）.

（1）求日銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該店暫不考慮償還債務(wù)，當(dāng)某天的銷(xiāo)售價(jià)為48元/件時(shí)，當(dāng)天正好收支平衡（收入=支出），求該店員工的人數(shù)；

（3）若該店只有2名員工，則該店最早需要多少天能還清所有債務(wù)，此時(shí)每件服裝的價(jià)格應(yīng)定為多少元？

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)收入等于支出，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；

（3）分類(lèi)討論40≤x≤58，或58≤x≤71，根據(jù)收入減去支出大于或等于債務(wù)，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案.

從中考探究性試題設(shè)計(jì)的實(shí)踐來(lái)看，此類(lèi)試題的設(shè)計(jì)不應(yīng)孤立地對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行測(cè)試，而應(yīng)放在分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景中去評(píng)價(jià)，應(yīng)體現(xiàn)情境性、探究性、開(kāi)放性和實(shí)踐性的統(tǒng)一，為那些在日常教學(xué)中實(shí)實(shí)在在進(jìn)行過(guò)探究式學(xué)習(xí)的學(xué)生提供施展才能的機(jī)會(huì).

總之，在函數(shù)教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)問(wèn)題變式的研究。數(shù)學(xué)問(wèn)題的演變是從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行變化，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，但仍有一定的方法可循。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的思維水平，把碰到的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變中求解、解中求變。

參考文獻(xiàn)：

王偉.數(shù)學(xué)變式百例精講[M].寧波出版社，2006.

編輯 王團(tuán)蘭