一道解析幾何高考題的題源探究與拓展應(yīng)用

徐曉宇

數(shù)學(xué)教科書中，很多例題和習(xí)題都有很深的背景，有進(jìn)一步拓展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.教學(xué)中應(yīng)盡力尋找高考題、模擬題在課本中的“影子”，充分挖掘教材中例題和習(xí)題的功能.

本文通過對2013年全國大綱卷數(shù)學(xué)理第8題的解法探究，尋找它在課本中的“影子”，追根溯源，并對題源進(jìn)行簡單的探究與應(yīng)用.

一、考題呈現(xiàn)

（2013全國大綱卷理8）橢圓C：+的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[-2，-1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（ ）

A.[，] B.[，] C.[，1] D.[，1]

筆者在高三二輪復(fù)習(xí)中，將本題給學(xué)生測試，結(jié)果基礎(chǔ)一般的學(xué)生沒有很好的思路，基礎(chǔ)較好的學(xué)生多數(shù)是通過取直線PA2斜率的臨界值，求得此時點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PA1斜率的臨界值得到答案.這種方法雖然能解出此題，但運(yùn)算繁瑣.

由此可見這樣一道高考題對普通學(xué)生的“殺傷力”有多大，同時也反映出我們在高考的復(fù)習(xí)中對教材的挖掘之淺，對課本例題和習(xí)題的研究浮于表面.

二、追根溯源

如圖，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-.求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：由題設(shè)易得點(diǎn)M的軌跡方程為：+=1（x≠±5）.

本題源于人教A版教材選修2-1第41頁例3，在平時教學(xué)中，多數(shù)教師只是告訴學(xué)生解法，而缺少對本題的探究，學(xué)生會很快忘了此題，更不會在考試中應(yīng)用.接下來，筆者將對本題作一些探究.

三、題源探究

由上例結(jié)果發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的軌跡是橢圓（除左右兩個端點(diǎn)），其中點(diǎn)A，B恰是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線AM，BM的斜率乘積kAM·kBM=

-=-=-.由此猜想橢圓上任意一點(diǎn)（除左右頂點(diǎn)）與左右頂點(diǎn)連線的斜率乘積為定值，引出探究1.

探究1：已知點(diǎn)A，B是橢圓+=1（a>b>0）的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn).探究直線AM，BM的斜率之積的特點(diǎn).

探究1：中點(diǎn)A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，若將點(diǎn)A，B換成橢圓的上下頂點(diǎn)引出探究2.

探究2：已知點(diǎn)A，B是橢圓+=1（a>b>0）的上下頂點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn).探究直線AM，BM的斜率之積的特點(diǎn).

由探究1，探究2發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A，B是長軸端點(diǎn)或是短軸的端點(diǎn)，橢圓上任一點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B）與這兩點(diǎn)連線的斜率之積為定值-.若將點(diǎn)A，B一般化引出探究3.

探究3：已知點(diǎn)A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn).探究直線AM，BM的斜率之積的特點(diǎn).

通過上述三個遞進(jìn)的探究，可得出如下結(jié)論.

結(jié)論1：若點(diǎn)A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)M是該橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn).則直線AM，BM的斜率之積為定值，且kAM·kBM=-.

雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程具有相同結(jié)構(gòu)形式，對于雙曲線也有類似的結(jié)論.

結(jié)論2：若點(diǎn)A，B是雙曲線+=1（a，b>0）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn).則直線AM，BM的斜率之積為定值，且kAM·kBM=.

四、拓展應(yīng)用

應(yīng)用結(jié)論1，2013全國大綱卷理第8題就迎刃而解了，大大簡化了運(yùn)算，提高了準(zhǔn)確率和效率.上述結(jié)論有著廣泛的應(yīng)用，能有效地解決與頂點(diǎn)有關(guān)的一類問題.

例1.設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線AP與BP的斜率之積為-，求橢圓的離心率； （2）略.

（2012年天津高考數(shù)學(xué)理19題）

分析：利用結(jié)論1得kAM·kBM=-，從而很快得到橢圓的離心率為.有必要指出的是，作為主觀題，一定要先推導(dǎo)出這個結(jié)論，不能直接應(yīng)用.類似的問題也出現(xiàn)在2011年江西高考理的第20題，只是背景為雙曲線，利用結(jié)論2即可求解，讀者可自行查閱.

例2.已知橢圓C：+y2=1的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動點(diǎn)，直線AS，BS與直線l∶x=分別交于M，N兩點(diǎn).求線段MN的長度的最小值.

分析：此題設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)不易求解，由結(jié)論1可得kAS·kBS=-，不妨設(shè)直線AS的斜率kAS=k（k>0），易得點(diǎn)M（，），N（，），從而得到MN=+≥.

例3.已知橢圓C：+

y2=1，點(diǎn)M1，M2，…，M5為其長軸AB的6等分點(diǎn)，分別過這五點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為（ ）

A.- B.- C. D.-

（浙江省五校2014屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題9）

分析：此題中點(diǎn)A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，聯(lián)想到結(jié)論1，不妨將這10個點(diǎn)與點(diǎn)B聯(lián)結(jié)，不難發(fā)現(xiàn)kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP

所以kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP

=kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kBP·kBP·kBP·kBP·kBP

=（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）

==-.

例4.已知橢圓C：+=1的左右頂點(diǎn)分別為A，B過點(diǎn)D（1，0）的直線MN與橢圓C分別交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），其中y1>0，y2<0，問是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由.

分析：本題直接求解很難得出答案，但考慮到點(diǎn)A，B為橢圓的左右頂點(diǎn)，由結(jié)論1可知kAM·kBM=-，因?yàn)?，且kAM·kBM為定值，所以只需求得kAN·kAM為定值.又因?yàn)橥ㄟ^聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理易得kAN·kAM=-，從而得到==2.

五、解題反思

近幾年的高考試題與教材關(guān)聯(lián)越來越密切，很多試題的背景都來源于課本又高于課本.作為一名高中數(shù)學(xué)教師，對課本例題和習(xí)題要有針對性地進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)，并作相應(yīng)拓展，在師生共同研究的氛圍中提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.讓學(xué)生在探究中感受知識的活力，在感悟中發(fā)展自己的思維與能力，真正做到走出題海，讓學(xué)生感受到課本就是一個巨大的寶庫，最終走向研究性學(xué)習(xí).

編輯 薄躍華