大中見小 小中見微 微中見效

趙立新

[摘 要] 江蘇中考連云港卷第27題源于教材又異于教材，依據教材又高于教材，從學生熟悉、簡單的數(shù)學模型、問題出發(fā)，低起點、循序漸進地給考生信心，通過問題串逐步變式，對問題的研究進行縱向深化和橫向推廣，同時也給考生指引了解題方向，使研究方向不斷向前發(fā)展，從而得到更深刻或更普遍的新結論，向問題的本質特征不斷靠攏.

[關鍵詞] 大中見小；小中見微；微中見效；數(shù)學模型；問題串

某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8.

問題思考？搖 如圖1所示，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP，BP為邊在同側作正方形APDC和正方形BPEF.

（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值.

（2）分別連結AD，DF，AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK，△ADK，△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.

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問題拓展？搖 （3）如圖2所示，以AB為邊作正方形ABCD，動點P，Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8. 若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路向點D運動，求點P從點A到點D的運動過程中，PQ的中點O所經過的路徑的長.

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（4）如圖3所示，在“問題思考”中，若點M，N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G，H分別是CD，EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值.

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作為中考數(shù)學壓軸題，所涉及的知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜，其主要功能是對學生的學習水平進行區(qū)分，考查學生對初中數(shù)學核心知識和重要思想方法的理解和掌握水平，為高中學校的招生提供依據. 所以，作為一道壓軸題，如何能“壓”到“軸”上，才是關鍵.

特色1：大中見小，似曾相識

作為一道大題，從中可以找到學生們熟悉的基本圖形或模型.

模型1：面積最值問題

在教材中我們常見的是把一段鐵絲折成兩段，圍成兩個正方形，如何折才能使它們的面積之和最大，考查的是二次函數(shù)的基本性質（最值問題）. 本題的問題（1）是求以折成的兩段為邊長的兩個正方形的面積之和的最值，很多考生知道這個結論，再借助數(shù)形結合，給出嚴謹?shù)难堇[推理，便能證明判斷的正確性.

模型2：面積相等問題

在平時的練習中，對于正方形我們常見的面積相等問題是轉化為同底等高或等底等高或等底同高，如圖4所示，有三個正方形ABCD，BEFG，RKPF，點G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為多少？該題只要連結三條對角線DB，GE，F(xiàn)K（如圖5），分別把陰影部分△GDE，△GKE的面積轉化為△GBE，△GFE的面積，它們的和即為正方形BEFG的面積16. 而問題（2）中尋找面積相等的兩個三角形，我們同樣可以連結對角線PF（如圖6），得△APF，△DPF的面積相等，從而得到△APK，△DKF的面積始終相等，或者從梯形APFD的角度易得△AKP與△DKF的面積相等.

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模型3：距離最短問題

在距離之和最短問題中，常見的是這樣一個題：如圖7所示，直線m表示一條河，M，N表示兩個村莊，欲在m上的某處修建一個送水站，向兩個村莊供水，選在何處使得到兩個村莊鋪設的管道最短？我們只需作點M關于直線m的對稱點P，再連結NP，交直線m于點O，點O即為所求（如圖8）. 而本題的問題（4）中求OM+OB的最小值，和它如出一轍.

依據教材，推陳出新，源自“相似”又高于“相似”，似曾相識又有所不同，把學生常見的數(shù)學模型有機地整合到一起，梯度設置合理，使得該題構思精巧、不落俗套，學生在熟悉的背景中解題，有一種自然地親切感，也培養(yǎng)了學生的數(shù)學素養(yǎng)與圖形感知.

特色2：小中見微，拓展能力

動點問題一直是數(shù)學教學的難點，如何理清“動”與“靜”的辯證關系，是解決其運動軌跡的關鍵. 本題的問題（3）是求PQ的中點O所經過的路徑的長，任何運動中或多或少存在著“數(shù)”或“形”的關系和不變性，學生首先會從形上感受其特點，但很難有所收獲，進而學生會從“數(shù)”上尋求突破. 當點P在AB上運動時，抓住PQ是定長8的特點，運動的中點O因為是斜邊PQ的中點，所以可以得到AO=■PQ=4，也就是說，當點P在AB上運動的過程中，AO的長度始終保持不變，實際上就形成了一段?。ㄈ鐖D9），以此類推，當點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路向點D運動時，點O的軌跡應該是三段一樣的?。ㄈ鐖D10），所以路徑總長為6π.

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運動是相對的，運動又是有關聯(lián)的，形動可由點觀，點動可由形察，本題既考查學生的觀察能力，又考查學生的分類思想，以及平時積累的數(shù)學探究經驗等，還滲透了對轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想的考查. 解答本題，要求學生具有較好的空間與圖形素質、基本運算能力，以及綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，試題突出了能力立意的特點.

特色3：微中見效，提升思維

如果說問題（3）是考查學生的能力，那么問題（4）的出現(xiàn)對學生數(shù)學思維的考查已經遠遠超出知識本身. 首先，學生在問題（3）的探究中初步具備了尋求動點軌跡的基本方法和一般步驟，而問題（4）與問題（3）具有相同的地方是AB為8，不同的是當點P在線段MN上運動時，左、右兩個正方形是變化的，那么它們的邊CD，EF的中點G，H也是變化的，所以GH的中點O所經過的路徑是什么就變得撲朔迷離. 此時對學生數(shù)學素養(yǎng)的要求就更高了，既要從多點的變化中尋找點O的軌跡，又要轉化為與已知數(shù)量有關聯(lián)的結論，所以要求學生有較高的數(shù)學思維能力. 可抓住點O是GH的中點這個條件，構造梯形的中位線或全等三角形. 如圖11所示，過點G，O，H分別作AB的垂線G G′，OO′，HH′，垂足分別為G′，O′，H′，則可得到OO′=■（GG′+ HH′）=■（PA+ PB）=■×8=4，說明點O到AB的距離始終為4，進而得到點O運動的軌跡為平行于直線AB且到它的距離為4的一條直線. 當點P從點M到點N運動的過程中，點O運動的軌跡即為一條線段. 由問題（3）的曲線（圓?。┑絾栴}（4）的直線（線段），要依靠學生具有的較強遷移能力和構造、創(chuàng)新能力. 當點P與點M重合時，如圖12所示，易得G′H′=4，則G′O′=2，所以AO′=2.5. 依據對稱性可得，當點P與點N重合時，過點O作直線AB的垂線OO′，點B到垂線OO′的距離同樣也是2.5，所以GH的中點O所經過的路徑的長為8-2.5×2=3. 當然，為了尋求更一般的情況，我們可以借助全等三角形等知識證明點O所經過的軌跡實際上就是△JMN的中位線（如圖13，由于篇幅限制，不再贅述），易求得中點O所經過的路徑的長為■MN=3.

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本題源于教材又異于教材，依據教材又高于教材，從學生熟悉、簡單的數(shù)學模型、問題出發(fā)，低起點、循序漸進地給考生信心，通過問題串逐步變式，對問題的研究進行縱向深化和橫向推廣，同時也給考生指引了解題方向，使研究方向不斷向前發(fā)展，從而得到更深刻或更普遍的新結論，向問題的本質特征不斷靠攏. 所以該題依據學情，有針對性，有目的性，具有較強的診斷、反饋、選拔功能，有利于改進教學，提高效果.endprint