從2015年莆田市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)一道題談起

許月珠

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）05-0137-02

一、試題展示

已知函數(shù)f（x）=lnx+■ax2+b（a，b∈R）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅱ）求證：對(duì)任意給定的正數(shù)m，總存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，+∞）上不單調(diào);

（Ⅲ）若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x2>x1>0）是曲線f（x）上的兩點(diǎn)，試探究：當(dāng)a<0時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)x0∈（x1，x2），使直線AB的斜率等于f′（x0）？若存在，給予證明;若不存在，說(shuō)明理由。

本小題在數(shù)學(xué)能力方面考查了運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力;在數(shù)學(xué)思想方面考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想.試題通過(guò)對(duì)函數(shù)的切線、割線及單調(diào)性的研究，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)算及應(yīng)用;試題在推理論證過(guò)程中還巧妙地考查了零點(diǎn)存在性定理;本試題的求解對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平和能力水平均提出較高的要求，完整的解答對(duì)于剛結(jié)束高三第一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生而言具有一定的難度系數(shù)。

答案展示：（Ⅰ）略;（Ⅱ）略;（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)x0∈（x1，x2），使直線AB的斜率等于f′（x0）.證明如下：令g（x）=lnx-x+1（x>0），則g′（x）=■-1，易得g（x）在x=1處取到最大值，且最大值g（1）=0，即g（x）≤0，從而得lnx≤x-1. （？鄢），

由■=f′（x0），得■+■a（x2+x1）=■+ax0.

令p（x）=■a（x2+x1）-ax，q（x）=■-■，則p（x），q（x）在區(qū)間[x1，x2]上單調(diào)遞增.

且p（x1）=■a（x2+x1）-ax1=■a（x2-x1）<0，

p（x2）=■a（x2+x1）-ax2=■a（x1-x2）>0，

結(jié)合（？鄢）式可得，

q（x1）=■-■=■-■<■-■=0，

q（x2）=■-■=■-■>■-■=0.

令h（x）=p（x）+q（x），由以上證明可得，h（x）在區(qū)間[x1，x2]上單調(diào)遞增，且h（x1）<0，h（x2）>0，所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（x1，x2）上存在唯一的零點(diǎn)x0，即■+■a（x2+x1）=■-ax0成立，從而命題成立。

二、題海尋蹤

2009年福建省質(zhì)檢理科 20. 已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值;

（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲線上的點(diǎn)Q （x0，y0），且x1

（ⅰ）求證：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的;

（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有■-伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論; 若不存在 ，說(shuō)明理由。

評(píng)注：此題（Ⅱ）中（?。┑脑O(shè)問(wèn)同上，不同的是其曲線方程較上面簡(jiǎn)單。

2009年福建省高考理科數(shù)學(xué)20.已知函數(shù)f（x）=■x3+ax2+bx，且f′（-1）=0

（1）試用含a的代數(shù)式表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）令a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在x1，x2（x1

（I）若對(duì)任意的m∈（x1，x2），線段MP與曲線f（x）均有異于M，P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論;

（II）若存在點(diǎn)Q（n ，f（n））， x≤ n< m，使得線段PQ與曲線f（x）有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍（不必給出求解過(guò)程）

評(píng)注：此題從題面上雖然與上面不同，但依然是以研究函數(shù)的切線與割線的問(wèn)題。

三、理論依據(jù)

本試題雖然可以利用中學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決，但具有高數(shù)背景，是拉格朗日中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，是“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)試題的編制。近年來(lái)隨著高校教師人數(shù)在高考試題命制比例的增大，這類(lèi)試題常受到命題者的青睞，成為高考中一道亮麗的風(fēng)景。

拉格朗日中值定理的幾何意義：在（a，b）上連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)f（x），函數(shù)上必有一點(diǎn)的切線與f（x）在x=a，x=b處對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)（a，f（a））和（b，f（b））點(diǎn)的連線平行■=f′（？孜），等號(hào)前為x=a，x=b對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的連線斜率，等號(hào)后為f（x）上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的值，也就是f（x）上一點(diǎn)的斜率，兩斜率相等，兩線平行。這是幾何上的理解方式。上題滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，因而結(jié)論是顯然的，可看作是拉格朗日中值定理的特殊化，是高中數(shù)學(xué)背景下的定理的證明。

四、教學(xué)建議

人們常用“題?！边@個(gè)詞來(lái)形容題目的多，因此我們沒(méi)有精力來(lái)關(guān)注“題?！敝械拿恳怀蓡T，但又如何能使我們每個(gè)人在題海中游刃有余、自由翱翔呢？我覺(jué)得只有重視數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，體會(huì)概念的生成，理解概念的外延與內(nèi)含，挖掘其幾何意義才能舉一反三，以不變應(yīng)萬(wàn)變，才是我們學(xué)習(xí)中的“上道”。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳旻玲.高考中的拉格朗日中值定理，工科 201207《中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）》