一個(gè)不等式的推廣與變式

山東省寧陽市第一中學(xué) 劉才華 (郵編：271400)

一個(gè)不等式的推廣與變式

山東省寧陽市第一中學(xué) 劉才華 (郵編：271400)

這是最近江西南昌大學(xué)附中宋慶先生提出的一個(gè)有趣的最值問題，其結(jié)果如下

①

②

③

觀察①、②、③式，并作進(jìn)一步推廣，得到如下

命題1 若x,y≥0,x+y=1，n≥1,n∈N，則

④

證明 由①式得

等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=1或x=1,y=0時(shí)成立.

⑤

證明 由x,y≥0,x+y=1，得

由(1+x)y2+(1+y)x2=x2+y2+xy(x+y)=(x+y)2-xy=1-xy，得

⑥

觀察⑤、⑥式，并作進(jìn)一步推廣，得到如下

⑦

由⑤、⑥知，要證明命題2成立,只需證明n≥3,n∈N時(shí)，⑦式成立.

證明 由⑤式得(1+x)yn+(1+y)xn≤(1+x)y2+(1+y)x2≤1，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0,y=1或x=1,y=0時(shí)成立.

故命題2成立.

1 秦慶雄、范花妹.精彩源自深入的探索[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(9)：48-49

2015-03-26)