課標理念重在“踐行” 函數(shù)概念旨在“體會”
——以初中階段“三類函數(shù)”的概念解讀為例

安徽省合肥市初中數(shù)學名師工作室 萬志華 劉 鈺 衛(wèi)德彬 (郵編：231200)

課標理念重在“踐行” 函數(shù)概念旨在“體會”
——以初中階段“三類函數(shù)”的概念解讀為例

安徽省合肥市初中數(shù)學名師工作室 萬志華 劉 鈺 衛(wèi)德彬 (郵編：231200)

函數(shù)就是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的數(shù)學模型，它在九年制義務教育第三學段“數(shù)與代數(shù)”部分中占有重要的地位.標志著數(shù)學學習由常量數(shù)學過渡到變量數(shù)學，在數(shù)學思維上是一個飛躍，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和辯證唯物主義觀點具有重要的意義和作用：一方面很多常量數(shù)學不能解決的問題，運用變量數(shù)學就能夠迎刃而解，另一方面變量數(shù)學也是今后學習物理、化學等其它學科的有力工具和載體，同時函數(shù)與方程、不等式又有著密切的聯(lián)系；作為一條主線，它是初中階段“數(shù)與代數(shù)”內容的核心.

函數(shù)來源于生活又服務于生活，緊密聯(lián)系著實際，從實際中抽象出函數(shù)的有關知識，又運用此知識來解決實際問題，這是貫穿于函數(shù)的主線，即通過設置實際問題情境抽象出一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)(以下簡稱“三類函數(shù)”)的概念及其關系式后，經歷列表、描點、作圖等活動，逐步來認識這些函數(shù)的圖象和性質、最后是運用函數(shù)的這些知識來解決相應的實際問題，這其中，對“三類函數(shù)”的概念的理解既是學習函數(shù)的出發(fā)點，又是學習函數(shù)的落腳點，“三類函數(shù)”概念的形成，是從感性認識到理性認識的升華，只有當概念建立后，即已擺脫原型成為教學對象(有經驗支撐的數(shù)學知識)，此時才能轉向其數(shù)學意義的理解，從而再進行更深層次的研究，恰恰這一點被我們很多教師以及部分專家們所忽視了.他們總是把教學的重點放在后面兩點上，特別是第三點即“運用函數(shù)知識來解決相應的實際問題”，殊不知第一點即對“三類函數(shù)”的概念理解、掌握，才是學習“三類函數(shù)”的基石及抓手.所以教師用書總是在學習函數(shù)的相關章節(jié)中，均把“三類函數(shù)”的概念的理解與掌握列為教學重點，同時《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《新標準》)中對“三類函數(shù)”的概念的理解與掌握是這樣要求的：“結合具體情境體會一次函數(shù)的意義”；“結合具體情境體會反比例函數(shù)的意義”；“通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義”.這個“體會”含義極為豐富，我們至少可以從兩個方面去理解和把握，一方面是通過學生自己(或教師的引導)完成預備知識，即從教科書中提供的實際問題情境入手，結合已有的知識經驗，通過他們的觀察、思考、分析和歸納，試著讓學生去把握概念的本質特征，從而實現(xiàn)知識的遷移，這充分體現(xiàn)出“先學后教”的教育思想，當然這也可以看作是《新標準》中提倡的“學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者”這個基本理念的貫徹與實施；另一方面是對概念的理解必須從“兩個維度”去把握，即對概念理解的深度和理解的寬度，這是在教師對概念的拓展解讀中讓學生把握的，所以是以教師講解為主.其中對概念的理解深度是指對概念本質的理解，這種理解必須是超越形式上的、不是簡單的、膚淺的認識；理解的寬度則是指對與概念相關的知識和性質的理解以及和之前學過的有聯(lián)系的知識的理解，從而將概念放在該知識體系的發(fā)展脈絡和整體架構中去理解、去把握，這點又可以看作是《新標準》中提倡的“教師教學……要發(fā)揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系……使學生理解和掌握其基本的數(shù)學知識與技能.”這個基本理念的體現(xiàn).在“三類函數(shù)”的概念實際教學中，我們往往是對第一點還算得上兼顧，但對于第二點即“對概念的理解必須從兩個維度去把握”做得卻是很不夠，下面以初中階段“三類函數(shù)”的概念教學設計為例，來談談在實際教學中我們應如何對“三類函數(shù)”概念從“兩個維度”即對概念理解的“深度”和“寬度”上去詮釋.

對于“三類函數(shù)”的概念引入以及對概念的描述部分在這里就不再贅述了.

二次函數(shù) 可以從以下五個方面去講解：①二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)的結構形式是：等號左邊是函數(shù)y，等號右邊是關于自變量x的二次整式，因此二次項的系數(shù)必須a≠0；②判斷一個函數(shù)是否是二次函數(shù)，要把它化簡為一般形式，即y=ax2+bx+c(a≠0)，不能被它的表面現(xiàn)象所迷惑；③在二次函數(shù)的一般形式中二次項系數(shù)不能為零，而一次項系數(shù)、常數(shù)項都可以為零，當二次項系數(shù)為零時，則函數(shù)就變?yōu)橐淮魏瘮?shù)或常數(shù)函數(shù)了；④二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)中，x、y都是變量，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)(在實際問題中，自變量的取值范圍應使實際問題有意義)；⑤當函數(shù)值y=0時，此時的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a≠0)就變成ax2+bx+c=0的形式，在a、b、c是常數(shù)，a≠0的條件下，也就是一元二次方程的一般形式，這時我們就可以這樣說，當二次函數(shù)的圖象和x軸有交點時，函數(shù)值y=0，此時的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，a≠o)的根，這也是本章要研究的內容，即二次函數(shù)和一元二次方程的關系.

以上是對初中階段“三類函數(shù)”概念的意義的第二方面的“體會”即從兩個“維度”去理解其本質，其中對每類函數(shù)的概念的詮釋的第一、二兩點是對相應的函數(shù)概念的“深度”理解,這是講解的重點，后面幾點則是對相應的函數(shù)概念的“寬度”理解.這幾點雖然不是講解的重點，但講解卻非常有必要，因為一方面可以讓學生知道一次函數(shù)和之前所學的二元一次方程的關系，二次函數(shù)和之前所學的一元二次方程的關系，反比例函數(shù)和之前所學的反比例關系以及和正比例函數(shù)的區(qū)別對照，另一方面還可以讓學生看到一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念對后繼知識的統(tǒng)領作用.

總之，概念是數(shù)學的命根子，它是判斷和推理的依據，我們告訴學生“記死才能用活，”如果概念本身模棱兩可，必然導致判斷不準，推理混亂，所以李邦河院士說：“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也?”.我們一線的教師不能因為某種需要(如為了考試而大講、特講典型例題)而忽視或淡化了數(shù)學概念的教學，不能用習題教學來替代對概念的概括與理解過程，不能淡化概念的深度講解，要注重數(shù)學概念相關知識的生成過程以及學生對新概念知識的內化過程.那些認為“應用概念的過程就是理解概念的過程”是片面的，因為對于學生來說，由于其理解能力的不足，在對于新的數(shù)學概念知識是很難準確認知的，它需要教師的細致講解，唯有這樣，才能讓學生關注其本質，理解其真正含義.

1 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數(shù)學課程標準(2011年版) [M].北京：北京師范大學出版社，2011

2 羅新兵.“二次根式”的概念分析與教學路徑[J].中學數(shù)學教學參考(中旬),2014(1-2)

3 王敏，孫振國.淺談新課程改革的幾個誤區(qū)[J].中小學數(shù)學(中旬),2014(1-2)

2015-03-08)