基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計*

董天寶，汪海兵，曾芳玲

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計*

董天寶，汪海兵，曾芳玲

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

針對基于l1范數(shù)約束的稀疏表示DOA（Direction Of Arrival）估計算法對初始參數(shù)較為敏感的問題，提出了一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計算法。首先通過信號來波方向的空間采樣構(gòu)造冗余字典，將陣列信號處理中的DOA估計信號模型轉(zhuǎn)化為壓縮感知中的稀疏重構(gòu)信號模型。然后基于經(jīng)驗貝葉斯推理的方法，將待估計的稀疏系數(shù)值用方差未知的聯(lián)合高斯分布描述，而未知的方差值決定了待估計系數(shù)的稀疏性。通過觀測數(shù)據(jù)估計得到未知的方差，進而得到信號的DOA估計值。仿真結(jié)果表明，提出的算法有較高估計精度，并且對非相干信源和相干信源都具有較好的估計性能。

波達方向，稀疏表示，貝葉斯學(xué)習(xí)

0 引言

DOA估計廣泛應(yīng)用于雷達、通信、超聲波、語音和水下探測等眾多領(lǐng)域，一直是信號處理領(lǐng)域的研究熱點。經(jīng)過數(shù)十年研究，到目前為止，針對于高斯噪聲下的DOA估計已經(jīng)存在大量超分辨算法，這些算法大致可以分為3類：第1類以Capon［1］和AE［2］為代表，通過自適應(yīng)設(shè)計與接收數(shù)據(jù)相匹配的空間濾波器，獲得非參數(shù)化的空域譜；第2類是以MUSIC［3］（MUltiple SIgnal Classification）和 ESPRIT［4］（Estimation of Signal Parameters via a Rotational Invariance Technique）為代表的子空間類算法，通過利用信號空間的低秩結(jié)構(gòu)來獲得信號的DOA估計，子空間類算法在信噪比較高、快拍數(shù)較多、信源間相關(guān)性不強時可以獲得較高的估計精度；第3類是最大似然算法［5］，包括確定最大似然和統(tǒng)計最大似然兩種，這類算法具有最佳的統(tǒng)計性能，但是需要適當(dāng)?shù)跏贾祦肀ＷC收斂于全局最小值。

近年來在信息論和信號處理領(lǐng)域中發(fā)展起來的壓縮感知理論［6］表明，當(dāng)信號可以壓縮或稀疏表示時，可以用一個與變換矩陣不相關(guān)的測量矩陣將一個高維信號投影到一個低維空間上，然后將信號的稀疏表示問題轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)化問題，原信號能夠以很高的概率精確重構(gòu)。基于該理論，可以采用低于奈奎斯特頻率的采樣率對信號進行采樣，從而使得該理論具有極大的吸引力。許多學(xué)者對該理論展開了研究，目前該理論已廣泛應(yīng)用于圖像處理、無線通信、盲信號處理等諸多領(lǐng)域。

Malioutov等人［7］于2005年提出的l1-SVD算法可以說是稀疏表示模型應(yīng)用于DOA估計的奠基性算法，該算法首先在方位域進行等間隔采樣，由這些角度對應(yīng)的導(dǎo)向矢量構(gòu)成冗余字典，然后對接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值分解，利用若干個（等于信源個數(shù)）大特征向量組成測量信號，結(jié)合冗余字典建立聯(lián)合稀疏表示模型，并利用二階錐規(guī)劃和內(nèi)點法求解模型，最后根據(jù)估計矩陣中非零行索引獲得信源DOA估計。在信源個數(shù)預(yù)知的前提下，可以獲得精確的估計結(jié)果，但若信源個數(shù)未知，則形成的空間譜中偽峰較多，造成估計偏差。此外，該算法的計算量巨大，表現(xiàn)出與信源個數(shù)和方位域采樣份數(shù)乘積的三次方成比例關(guān)系。隨后，相關(guān)學(xué)者也相繼提出了許多基于稀疏表示的DOA估計算法［8-11］，這些算法在進行稀疏信號重構(gòu)時大多采用的是基于l1范數(shù)約束的最優(yōu)化方法，但這些算法的一個局限性就是在進行優(yōu)化問題求解時涉及到一個正則化參數(shù)的選取問題，大多數(shù)算法都是采用人工設(shè)置的方法，從而限制了該類算法的實際應(yīng)用。針對該問題，本文提出在構(gòu)建好用于DOA估計的信號模型后，采用稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的方法實現(xiàn)DOA估計，該方法采用經(jīng)驗貝葉斯學(xué)習(xí)方法，首先將待估計的稀疏系數(shù)表示成含有未知參數(shù)的先驗分布，而該未知參數(shù)可以通過觀測數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)得到，從而可以實現(xiàn)自適應(yīng)DOA估計。

1 DOA估計信號模型

假設(shè)有M個陣列，K個遠場窄帶信號入射到陣列，陣列接收數(shù)據(jù)x（t）可以表示為：

式（2）說明w（t）中非零元素的位置與信源的真實方位角存在一一對應(yīng)關(guān)系，只要得到w（t）中K個非零元素值的索引即可獲得信源的DOA估計。于是基于稀疏表示的DOA估計信號模型為：

當(dāng)采用矩陣形式表示時，可以寫為：

2 基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計算法

稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)最早是由Tipping［12］提出的，其主要思想是基于經(jīng)驗貝葉斯原理。本節(jié)將該算法擴展到復(fù)數(shù)域，并應(yīng)用于DOA估計問題。在陣列信號處理算法中，通常需要處理的信號都是以解析信號形式表示的，即式（3）和式（4）中的各部分通常都是以復(fù)數(shù)形式表示的，因此，在采用貝葉斯推理方法解決稀疏重構(gòu)問題時，相應(yīng)的先驗假設(shè)及推導(dǎo)過程必須以復(fù)數(shù)形式描述。假設(shè)式（4）中的噪聲是加性復(fù)高斯隨機過程，且與信號不相關(guān)，噪聲方差大小為λ。xi.表示X的第i行，x.j表示X的第j列，wi.表示W(wǎng)的第i行，w.j表示W(wǎng)的第j列，本文中如不做特殊說明，都采用這種表示方式，于是可以得到下面的似然函數(shù)：

該式表示的是一個多維復(fù)高斯分布，其中的范數(shù)‖x‖2=xHx。依據(jù)經(jīng)驗貝葉斯原理，假設(shè)式（4）中W的第i個行向量的先驗分布是一個維數(shù)為T，均值為0，方差為γi的復(fù)高斯分布：

其中γi在貝葉斯推理中稱為超參數(shù)，是一個未知的參數(shù)，該參數(shù)可以通過觀測數(shù)據(jù)估計得到。由W行向量的先驗分布假設(shè)可以得到W的先驗分布為：

其中γ=［γ1，…，γM］T。根據(jù)式（5）表示的似然函數(shù)及W的先驗假設(shè)分布，由貝葉斯公式可以推導(dǎo)得到W的第j個列向量的后驗概率分布：

由該表達式可知，W的第j個列向量滿足復(fù)高斯分布，其中μ.j，∑分別表示均值向量和協(xié)方差矩陣，

由式（8）可知，由于W滿足復(fù)高斯分布，因此，如果能獲得μ.j的估計，也就得到了w.j的估計。對于稀疏重構(gòu)問題，其目的就是要得到W的估計，而對于DOA估計問題，由前一節(jié)所描述的信號模型可知，只需要得到W中非零行向量的索引就可以得到DOA的估計。由式（9）可知，W的先驗分布中的方差γ是信號能量的度量，同時決定了W的稀疏度，即當(dāng)γi趨于零時，對應(yīng)的μ.j中的第i個分量等于零。因此，只要得到了γ的估計，由γ中非零值的索引就可以得到信號的DOA估計。為了得到γ的估計，采用證據(jù)最大化方法，也稱為第二類最大似然法。第二類對數(shù)似然函數(shù)可以由下式得到：

于是，由第二類最大似然法可以得到γ和λ估計的迭代公式：

其中∑ii表示式（11）對應(yīng)的協(xié)方差矩陣對角線上的第i個元素。當(dāng)?shù)諗康玫溅玫墓烙嫼?，由γ中非零值的索引即可得到信號的DOA估計。實際中由于噪聲及各種誤差的影響，通常取γ中較大極值的索引得到信號的DOA估計。

由前面的分析，可以得到基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計算法的步驟：

（1）初始化γ和λ；

（2）進行迭代運算：

①由式（10）、式（11）計算均值和協(xié)方差矩陣；

②由式（13）、式（14）更新γ和λ；

③重復(fù)①、②，直到γ收斂。

（3）由γ中較大極值的索引得到信號的DOA估計。

3 仿真分析

在本節(jié)中，通過計算機仿真驗證本文提出算法的DOA估計性能。仿真中，選擇M=8個陣元的均勻線陣，陣元間距為半個信號波長。假設(shè)有K個等功率遠場窄帶信號入射到該陣列，信號和噪聲均假設(shè)為零均值、獨立同分布復(fù)高斯隨機變量。

對于本文提出的算法和L1-SVD算法，在方位域［0°，180°］范圍內(nèi)1°以為間隔均勻采樣生成冗余字典D。MUSIC算法在方位域［0°，180°］內(nèi)以1°為間隔進行譜峰搜索。角度估計的衡量標(biāo)準(zhǔn)選擇均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE），定義為：

實驗1：獨立信源情況下的實驗

假設(shè)3個相互獨立信號從不同方向入射到陣列上，入射角分別為50°、80°和120°，信噪比均為10 dB。下頁圖1為快拍數(shù)為200時，分別采用不同DOA估計算法得到的空間譜對比。從圖中可以看出，本文算法與MUSIC算法能正確分辨出兩個信號，且DOA估計精度相比于l1-SVD算法都較高，但本文算法峰值更為尖銳。l1-SVD算法可以分辨出兩個信號，但估計誤差相對較大。圖2為快拍數(shù)為1時各算法DOA估計得到的空間譜對比，由該圖可知，當(dāng)快拍數(shù)只有1個時，MUSIC算法已經(jīng)無法實現(xiàn)有效的DOA估計，而本文算法和l1-SVD可以實現(xiàn)對來波信號方位的有效估計，本文提出的DOA估計算法的估計精度更高。圖3是快拍數(shù)為200時在不同信噪比下的角度估計精度比較，由該圖可知，與其他兩種算法相比，本文提出的算法在低信噪比條件下具有更高地估計精度。

圖1 快拍數(shù)為200時3種算法的歸一化空間譜

圖2 快拍數(shù)為1時3種算法的歸一化空間譜

圖3 不同信噪比條件下3種算法的估計精度比較

圖4 相干信源時3種算法的歸一化空間譜

實驗2：相干信源情況下的實驗

假設(shè)有2個完全相干的信號從不同方向入射到接收陣列，信噪比均為10 dB。圖4為快拍數(shù)為200時，分別采用不同DOA估計算法得到的空間譜對比。從圖中可以看出MUSIC算法無法對相干信源的來波方向進行有效估計，而本文算法和l1-SVD算法能估計出兩個相干信源的來波方向，其中本文提出的算法估計精度更高。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的DOA估計方法，將DOA估計問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號重構(gòu)問題，構(gòu)造合適的稀疏表示信號模型，采用經(jīng)驗貝葉斯推理的方法實現(xiàn)了參數(shù)自適應(yīng)的DOA估計，提高了算法的實用性。仿真結(jié)果與傳統(tǒng)的MUSIC算法相比，本文算法在低信噪比條件下具有更高的估計精度，在單快拍條件下也能以較高精度估計出信號的來波方向，并且本文算法對非相干信源和相干信源都有效。與同樣基于稀疏表示的l1-SVD算法相比，本文算法具有更高的估計精度。

［1］Capon J.High-resolution Frequency-wavenumber Spectrum Analysis ［J］. Proceedings of IEEE，1969，57（8）: 1408-1418.

［2］Stoica P，Li P，Li J.A New Derivation of the Apes Filter［J］. IEEE Signal Processing Letters，1999，6（8）:205-206.

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［6］Donoho D L，Compressed S.Technical Report［M］.Stanford University，2004.

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［9］賀亞鵬，李洪濤，王克讓，等.基于壓縮感知的高分辨DOA估計［J］.宇航學(xué)報，2011，32（6）:1344-1349.

［10］郭瑩，孟彩云.基于稀疏表示和約束優(yōu)化的波達方向估計方法［J］.計算機應(yīng)用，2012，32（8）:2106-2108，2127.

［11］馮瑩瑩，程向陽，鄧明.基于稀疏表示的信號DOA估計［J］.計算機應(yīng)用研究，2013，30（2）：537-540.

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DOA Estimation Based on Sparse Bayesian Learning

DONG Tian-bao，WANG Hai-bing，ZENG Fang-ling
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

A Direction-Of-Arrival（DOA）estimation algorithm based on sparse Bayesian learning is proposed，which is less sensitive to initial parameters than other DOA estimation algorithms based on l1-norm.First，a DOA estimation model is transformed to one sparse signal reconstruction model by constructing a redundant dictionary from spatial samples of the interested signals.Then，sparse parameters are represented by a union Gaussian distribution with unknown variances using empirical Bayesian analysis method，and the unknown variances determine the sparsity of the parameters.Finally，the unknown variances are estimated from observation data and the DOAs of the interested signals are estimated. Simulation results show that the proposed algorithm can estimate the DOAs of signals with high accuracy，and it is effective for both coherent signals and noncoherent signals.

DOA，sparse representation，bayesian learning

TN911.6

A

1002-0640（2015）03-0042-04

2014-01-18

2014-03-29

國家自然科學(xué)基金（61272333）；安徽省自然科學(xué)基金資助項目（1208085 MF94）

董天寶（1976- ），男，遼寧鞍山人，講師，博士。研究方向：陣列信號處理。