例說衛(wèi)星能量公式的應(yīng)用

朱具德

有關(guān)衛(wèi)星的問題，一直是競賽的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)。特別是其中的計(jì)算大都很繁雜，而如以使之大為簡化。

一、衛(wèi)星的能量公式

如圖1，A、B為衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，半長軸為a.設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，取距地球中心無窮遠(yuǎn)處引力勢能為零。

二、問題分析

例1 （第28屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽11題）宇航員從空間站（繞地球運(yùn)行）上釋放了一顆質(zhì)量m =500 kg的探測衛(wèi)星。該衛(wèi)星通過一條柔軟的細(xì)輕繩與空間站連接，穩(wěn)定時(shí)衛(wèi)星始終在空間站的正下方，到空間站的距離l= 20 km。已知空間站的軌道為圓形，周期T= 92 min。

（1）忽略衛(wèi)星拉力對(duì)空間站軌道的影響，求衛(wèi)星所受輕繩拉力的大小。

（2）假設(shè)某一時(shí)刻衛(wèi)星突然脫離輕繩。試計(jì)算此后衛(wèi)星軌道的近地點(diǎn)到地面的高度、遠(yuǎn)地點(diǎn)到地面的高度和衛(wèi)星運(yùn)行周期。

解析如圖2所示。

（1）設(shè)空間站離地面的高度為H，因?yàn)橥叫l(wèi)星的周期和地球白轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)開普勒第三定律以及題意有