巧妙建模，搭建理論與實際之間的橋梁

季梅英

摘 要：建模是解決數(shù)學(xué)問題中一個至關(guān)重要的思維步驟，旨在通過在數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)理論之間找到一個合適的數(shù)學(xué)方法進行承接，來實現(xiàn)問題的順利解決。具體至初三數(shù)學(xué)教學(xué)，本文針對幾個較為重點的知識內(nèi)容對學(xué)生進行了專項建模訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞：初中 數(shù)學(xué) 建模

建模是數(shù)學(xué)問題推理解答中的一個必不可少的思維環(huán)節(jié)，它是指學(xué)生在面對實際數(shù)學(xué)問題時，準確分析出該問題中所隱含的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，在頭腦中建立起數(shù)學(xué)模型，以該模型反映出這個問題，從而通過對該模型進行分析解答來實現(xiàn)對于整個數(shù)學(xué)問題的求解。可以看出，建模的過程，在數(shù)學(xué)問題的解答過程中處于一個承上啟下的地位，緊密聯(lián)系著實際問題與抽象理論。因此，對于建模方法技巧的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。

一、建立三角函數(shù)模型

三角函數(shù)是學(xué)生在初三數(shù)學(xué)中剛剛開始接觸的一個知識內(nèi)容，不像其他函數(shù)等內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)有了一些初級內(nèi)容的學(xué)習(xí)鋪墊，接受新知識能夠更加快捷，而三角函數(shù)則不同。學(xué)生對于三角函數(shù)的知識內(nèi)容本身就存在著一些陌生感，想要使學(xué)生在初次接觸時，便能夠熟練運用并應(yīng)用到建模過程中去，難度還是比較大的。因此，教師有必要針對三角函數(shù)的建模過程向?qū)W生開展專項訓(xùn)練。

例如，在解直角三角形的基本知識內(nèi)容教學(xué)完成后，我要求學(xué)生解答這樣一個問題：一條小船由西向東行駛，當(dāng)其行駛至A處時，發(fā)現(xiàn)在其北偏東63.5°的方向有一個標(biāo)志物C，當(dāng)其繼續(xù)向正東方向行駛60海里到達B處，發(fā)現(xiàn)剛剛的標(biāo)志物在小船的北偏東21.3°。請問，要想使得小船距離C最近，小船應(yīng)當(dāng)繼續(xù)向正東方向行駛多遠？這個問題是解直角三角形當(dāng)中非常典型的航行問題。因此，我先帶領(lǐng)學(xué)生依照題干內(nèi)容畫出圖形（如圖1），并且通過作輔助線的方式在理論層面上進行推導(dǎo)與計算。這就是對這類問題進行建模的基本步驟。通過點C作AB的垂線CD，學(xué)生們很輕松地通過Rt△CAD與Rt△CBD，利用基本三角函數(shù)得出了BD的長。

圖1

通過這樣的建模訓(xùn)練，學(xué)生逐漸找到了解決三角函數(shù)問題的切入點。學(xué)生的關(guān)注點，由對于理論知識內(nèi)容的單一研究，轉(zhuǎn)移至對于如何將具體問題的解決向三角函數(shù)模型進行轉(zhuǎn)化的思考上。這可以說是學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的一個質(zhì)的飛躍。建模訓(xùn)練為學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)內(nèi)容開啟了一扇門，掌握了這個方法，學(xué)生在面對有關(guān)三角函數(shù)的各類問題時便有章可循了。

二、建立統(tǒng)計概率模型

統(tǒng)計概率的學(xué)習(xí)內(nèi)容也是在初三數(shù)學(xué)教學(xué)中剛剛出現(xiàn)的。這部分知識內(nèi)容在整個初三數(shù)學(xué)中所占的比重并不算大，知識難度也不是最強的，但卻是各類測驗、考試中的“?？汀薄＿x擇題、填空題等類型的小題中常常會有統(tǒng)計概率內(nèi)容的題目，有的大題中也會出現(xiàn)這類問題。因此，這部分內(nèi)容不得不引起我們的重視。作為一個重要的知識點，教師有必要對其進行有針對性的練習(xí)。

例如，在統(tǒng)計與概率知識內(nèi)容的教學(xué)過程中，曾出現(xiàn)過這樣一道習(xí)題：小明與小紅用撲克牌玩游戲，他們準備在兩種不同規(guī)則的游戲中選擇一種。第一種游戲，將4、3、2三張撲克牌反面朝上放好，隨機抽取一張后放回，再抽取一張。如果兩張之和是偶數(shù)，小明勝，反之則是小紅勝。第二種游戲，使用5、8、6、8四張牌，同樣反面朝上放好，小明先抽取一張，小紅從余下的牌中抽取一張，誰的數(shù)字大誰獲勝。請問，如讓小紅勝率大，應(yīng)該玩哪種游戲呢？采用統(tǒng)計概率的知識解決這個問題并不難，但具體建模操作卻讓學(xué)生感到困惑。這時我提示大家，從理論上分析不清時，依照要求列表思考，既直觀又便捷。通過對兩種規(guī)則下的結(jié)果分別列表（如表1、表2），學(xué)生順利地求出了小紅的獲勝概率，并得出了正確結(jié)論。

其實，統(tǒng)計概率的知識內(nèi)容難度并不大，只是在建模過程中，很多學(xué)生無法準確把握題目所要解決的問題是什么，或是不知道怎樣以數(shù)學(xué)語言及邏輯來反映待解答的問題，造成很多學(xué)生在面對統(tǒng)計概率習(xí)題時存在困擾。通過建摸專項練習(xí)，學(xué)生找到了建立實際問題與理論知識之間聯(lián)系的方法，學(xué)會了如何構(gòu)建有效的數(shù)學(xué)模型。這個橋梁找到了，無論統(tǒng)計概率問題以何種方式呈現(xiàn)，對于學(xué)生來講都不是難題了。

三、建立二次函數(shù)模型

函數(shù)對于初三學(xué)生來講其實并不陌生。函數(shù)的知識內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了“半壁江山”。有了一次函數(shù)的基礎(chǔ)，二次函數(shù)對于學(xué)生來講就不陌生了。但是，談到二次函數(shù)內(nèi)容的難度，不少學(xué)生就望而生畏了。確實，二次函數(shù)與一次函數(shù)等函數(shù)相比，無論從特征、性質(zhì)還是處理技巧來看，都復(fù)雜了很多。因此，我曾針對二次函數(shù)的建模過程，進行了專題教學(xué)。

例如，在二次函數(shù)單元的習(xí)題中，有這樣一道習(xí)題引起了我的注意：如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，其邊長為3a?，F(xiàn)有E、F兩個點，分別從B、C兩點同時出發(fā)沿著BC、CD開始移動，并保證速度相同。由此所形成的△CFB與△EHG始終保持全等。其中，GE=CB，且點B、C、E、G在同一直線上。請問，想要使得△DEH的面積取得最小，點E應(yīng)當(dāng)處于CB邊上的什么位置？△DEH的面積最小值是多少？在這個問題中，向二次函數(shù)方向建模是有效的解決方式。設(shè)BE長度為x，△DEH的面積為y，則可以化簡出y=■x2-■ax+■a2=■（x-■a）2+■a2的結(jié)果，最小值的取得也就輕而易舉了。

通過教師的講解，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來二次函數(shù)的建模過程并不難理解。二次函數(shù)的題目類型雖然靈活多變，但其處理方式卻并不復(fù)雜。只要深入理解并把握好對二次函數(shù)問題建模的幾種基本方法，便能夠以不變應(yīng)萬變地順利解決一系列相關(guān)問題。教師絕不能對二次函數(shù)的建模教學(xué)失去信心，只有教師先摸索出一條思路清晰的解決方式，才能夠帶領(lǐng)學(xué)生透徹理解建摸方法，實現(xiàn)最終的熟練掌握。

四、建立閱讀理解模型

很多初中數(shù)學(xué)教師都會陷入這樣一個教學(xué)思想誤區(qū)：閱讀是文科課程的教學(xué)專利，數(shù)學(xué)學(xué)科則只需要將教學(xué)重點放在對學(xué)生的數(shù)理分析能力以及推理演算能力的培養(yǎng)上即可。殊不知，學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題過程中所出現(xiàn)的很多錯誤，其原因都在于審題不清。我在實際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，審題不清的問題在初三學(xué)生中十分普遍，學(xué)生的思維方向從一開始就出現(xiàn)了偏差，大大降低了解題效率。因此，閱讀問題必須得到數(shù)學(xué)教師們的高度重視。

例如，在一次測驗中，這道習(xí)題的錯誤率非常高：在計算機技術(shù)領(lǐng)域，計算所采用的是二進制計數(shù)法，也就是說，只利用0和1進行計數(shù)，區(qū)別于我們所常用的十進制數(shù)。二者之間可以進行這樣的換算：（101）2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5。（1011）2=1×23+0×22+1×21+1×20=11。那么，將（1001）2換算為十進制數(shù)是多少呢？之所以出現(xiàn)錯誤，主要是由于學(xué)生沒有抓住其中的換算規(guī)律。于是，我在教學(xué)中，針對換算規(guī)律的得出以及分析過程逐個講解，重在思考過程，學(xué)生受益匪淺。

閱讀能力的欠缺，直接影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。無法準確把握文字，分析其中所求，輕則導(dǎo)致學(xué)生在推理分析過程中出現(xiàn)偏差，重則造成學(xué)生由于不懂題中所述，根本無法解題。所以，在課堂教學(xué)過程中，我會在不同內(nèi)容教學(xué)時，選取一些對于閱讀能力要求較高的習(xí)題，以此向?qū)W生展示如何在準確閱讀理解的基礎(chǔ)上順利建立數(shù)學(xué)模型。這對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升幫助很大。

建模環(huán)節(jié)在具體數(shù)學(xué)問題與抽象數(shù)學(xué)理論之間架起了一座橋梁。在實際教學(xué)過程當(dāng)中，我一直十分重視建模教學(xué)。在每個知識點的教學(xué)過程中，我都會有意識地通過處理實際問題來鍛煉學(xué)生的建模能力。尤其在初三階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，知識內(nèi)容豐富、知識難度增加，對于學(xué)生建模思維能力的培養(yǎng)便顯得更重要。

前文所述是以具體知識內(nèi)容為分類標(biāo)準所實踐的幾種建模教學(xué)方式，希望教師們可以以此為鑒，不斷創(chuàng)新出更多巧妙的建模方法，推動初中數(shù)學(xué)教學(xué)邁上一個新臺階。

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