基于剩余使用壽命預(yù)測的替換時間和備件訂購時間聯(lián)合決策

蔣云鵬，郭天序，周東華

（1清華大學(xué)自動化系，北京 100084；2中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094）

引 言

按照維修行為發(fā)生在設(shè)備失效之前還是之后，可將維修分為事后維修和預(yù)防性維修，而預(yù)防性維修按照其利用的信息特點，又可分為計劃性維修、視情維修和預(yù)測維修[1]。視情維修[2-3]相比計劃性維修，考慮了設(shè)備當前的實際運行狀況，在一定程度上減少了計劃性維修中維修過度和維修不足的問題；而預(yù)測維修[4-6]相比視情維修，強調(diào)更進一步利用預(yù)測信息來制定相應(yīng)的維修計劃，如剩余使用壽命（remaining useful life，RUL）[7-8]，從而及早對設(shè)備失效開展應(yīng)對措施。預(yù)測維修正在受到大家的重視，但目前的工作主要考慮如何基于預(yù)測信息對維修時間進行決策[9-13]，而忽略了備件供給和維修之間的影響關(guān)系[14]。Elwany等[15]將預(yù)測維修和備件訂購結(jié)合起來考慮，首先利用 Gebraeel等[16]提出的方法來預(yù)測RUL分布函數(shù)，再用預(yù)測結(jié)果來代替文獻[17]所提模型中的失效時間分布，對替換時間和備件訂購時間依次進行決策；Wang等[18]使用了不同的 RUL預(yù)測方法開展了類似的工作。

文獻[15，18]都只考慮了序貫決策，即先利用預(yù)測得到的 RUL分布函數(shù)進行替換時間決策，再依據(jù)替換時間決策結(jié)果對訂購時間進行決策。這種序貫決策不能做到對維修和備件供給的全局考量，只是一種局部最優(yōu)；同時，如果序貫決策所得到的最優(yōu)替換時間小于備件訂購的交付時間，那么將面臨著決策結(jié)果無法實施的風(fēng)險。為了解決這些問題，本文基于 RUL分布函數(shù)的預(yù)測結(jié)果，考慮替換時間和備件訂購時間的聯(lián)合決策，并通過實際的軸承加速壽命實驗來驗證聯(lián)合決策的效果。

1 問題描述及優(yōu)化模型

考慮帶有狀態(tài)監(jiān)測的單部件系統(tǒng)，策略采用Armstrong等[17]所提出的經(jīng)典聯(lián)合策略：系統(tǒng)從 0時刻投入運行，在到達訂購年齡to時訂購備件，經(jīng)過恒定交付時間L后備件到達，其后在替換年齡tr(≥to+L)對部件進行預(yù)防性替換；在這期間，如果部件在to之前失效，則立即訂購備件并在到達后立即對其替換；如果在to和to+L之間失效，則等待備件到達后立即替換；如果部件在to+L和tr之間失效，此時備件已經(jīng)到達，因此立即進行替換。

本文通過狀態(tài)監(jiān)測量預(yù)測部件的 RUL分布函數(shù)，并依此得到替換時間和備件訂購時間的序貫決策和聯(lián)合決策優(yōu)化模型。

1.1 RUL預(yù)測方法

Si等[19]提出了一種具有參數(shù)自適應(yīng)估計能力的RUL預(yù)測方法，且得到了RUL分布函數(shù)的解析表達式，從而提高了預(yù)測的實時性和準確性。本節(jié)對文獻[19]所提的方法進行簡單介紹。

利用漂移布朗運動對部件的退化過程{X(t),t≥0}進行描述

式中，X(t)為t時刻的退化信號；?為初始退化量，θ和σ分別為漂移系數(shù)和擴散系數(shù)，B(t)為標準布朗運動。?和σ是固定量，表征某一批對象的共性部分，且認為?已知而σ未知；而θ是隨機量，其概率分布p(θ)服從均值為μ0方差為σ20的正態(tài)分布，用來表征不同個體之間的差異性，且θ和B(t)相互獨立。通常令?=0，即在每個監(jiān)測時刻將監(jiān)測量減去初始退化量X(0)。

用xt表示X(t)在時刻t的監(jiān)測值，則部件從開始時刻t1(t1=0)到tk時刻的監(jiān)測序列可表示為X1:k={x1,x2,…,xk}。在X1:k={x1,x2,…,xk}時刻部件的剩余使用壽命Lk定義為退化過程從當前時刻開始首達失效閾值w的時間，即

且令Lk的概率密度函數(shù)（PDF）和分布函數(shù)（CDF）分別記為fLk∣X1:k(lk∣X1:k)和FLk∣X1:k(lk∣X1:k)。因為θ是隨機量，則Lk的PDF為

可見，為了得到fLk∣X1:k(lk∣X1:k)，需要知道fLk∣θ,X1:k(lk∣θ,X1:k)、p(θ∣X1:k)，以及未知參數(shù)σ。文獻[12]中給出的具體計算步驟如下。

（1）確定X1:k={x1,x2,…,xk}的先驗分布

（2）確定θ的后驗分布

其中

這里θ的后驗分布仍然為正態(tài)分布，均值和方差分別為μθ,k和。

（4）根據(jù)步驟（3）估計的參數(shù)，利用式（11）、式（12）計算RUL的PDF和CDF

式中，lk表示自變量，而σ、μθ,k和分別為步驟（3）中估計得到的結(jié)果。

1.2 序貫優(yōu)化模型

序貫決策采用文獻[15，18]的序貫優(yōu)化模型。在時刻tk，首先以最小化長期平均維修費用率為目標對替換時間進行決策，相應(yīng)的目標函數(shù)為

式中，cp為單次預(yù)防性替換費用，cf為單次失效替換費用。

然后，根據(jù)所確定的最優(yōu)替換時間，再以最小化長期平均備件管理費用率為目標對訂購時間進行決策，相應(yīng)的目標函數(shù)為

1.3 聯(lián)合優(yōu)化模型

在進行聯(lián)合決策時，用t0和t0+L+t1來代替之前序貫策略中的訂購時間to和替換時間tr。

在時刻tk，以最小化長期平均總體費用率為目標，對訂購時間(≥0)和替換時間(≥0)進行決策，相應(yīng)的目標函數(shù)為

2 實驗驗證

2.1 實驗環(huán)境

圖1 BPS軸承故障預(yù)測模擬實驗臺Fig.1 BPS bearing failure prediction simulation testbed

實驗在清華大學(xué)故障診斷與可靠性技術(shù)實驗室完成，所用的實驗平臺為BPS軸承故障預(yù)測模擬實驗臺，如圖1所示；實驗對象選用美國REXNORD ER16K-E1型軸承。

該實驗臺由美國SpectraQuest公司開發(fā)，可模擬滾動軸承在不同轉(zhuǎn)速和軸向/徑向負載情況下的疲勞磨損過程，進行滾動軸承的故障診斷實驗和全加速壽命實驗。在動力方面，該實驗臺配有一臺PC可編程變頻交流異步電動機用于驅(qū)動實驗臺轉(zhuǎn)動，并可提供高達6000 r·min?1的轉(zhuǎn)速；動力通過聯(lián)軸器、傳動軸和兩組支撐軸承傳送到實驗端；在實驗端，被測軸承安裝于軸承座內(nèi)，軸向負載和徑向負載可通過軸承座傳遞給被測軸承；實驗臺提供了 2個液壓加載系統(tǒng)，可以分別實現(xiàn)軸向和徑向加載，且每個加載系統(tǒng)能夠提供最大約27 kN的負載；在數(shù)據(jù)采集方面，可提供1個速度傳感器和3個加速度傳感器，并通過一個4通道USB數(shù)據(jù)采集器將傳感器數(shù)據(jù)傳送到上位機；在上位機，通過SpectraQuest公司所提供的VQPro軟件，對數(shù)據(jù)進行存儲和輸出。

2.2 實驗數(shù)據(jù)

在實驗中，轉(zhuǎn)速設(shè)定為 2400 r·min?1（40 Hz），徑向負載設(shè)定為300 Pa，軸向負載為0 Pa。采樣頻率設(shè)為51200 Hz，采樣時間設(shè)為10.2 s，采樣間隔為2 min。通道4對應(yīng)的加速度傳感器直接安裝在軸承座上，最靠近被測軸承，因此選用其信號作為監(jiān)測信號。在本次實驗中，共做了3組軸承加速壽命實驗，分別記為Rexnord No4，Rexnord No6和Rexnord No7，相應(yīng)的原始信號分別如圖2～圖4中所示。

圖2 Rexnord No4的原始信號Fig.2 Original signal of Rexnord No4

圖3 Rexnord No6的原始信號Fig.3 Original signal of Rexnord No6

圖4 Rexnord No7的原始信號Fig.4 Original signal of Rexnord No7

圖5 Rexnord No4的RMS值Fig.5 RMS value of Rexnord No4

圖6 Rexnord No6的RMS值Fig.6 RMS value of Rexnord No6

圖7 Rexnord No7的RMS值Fig.7 RMS value of Rexnord No7

均方根值（RMS）反映了振動信號的能量，是常用的時域特征指標，3組原始數(shù)據(jù)對應(yīng)的RMS值隨著時間的變化關(guān)系如圖5～圖7所示。可以看到，RMS信號的退化趨勢明顯，因此選取RMS值作為反映軸承退化過程的退化信號X(t)。

將Rexnord No6和Rexnord No7作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，而將Rexnord No4作為測試數(shù)據(jù)。通過觀察訓(xùn)練數(shù)據(jù)，將失效閾值定為w=0.06，3組數(shù)據(jù)對應(yīng)此失效閾值的失效時間見表1，其中失效時間單位為2 min（采樣間隔）。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters

關(guān)于閾值的選擇需要說明的是：①實際使用過程中很少將系統(tǒng)跑到完全失效，實驗時在原始信號最大振幅超過0.3后就認為系統(tǒng)處于不正常狀態(tài)而停止；因此，失效閾值通常指軟失效閾值[20]，依據(jù)相應(yīng)工業(yè)標準或者工程經(jīng)驗來確定；②閾值的選擇不是本文考慮的主要問題，選擇0.06是因為此時原始信號的最大振幅接近0.3，同時也為了照顧每組數(shù)據(jù)都跑到了失效閾值。

2.3 RUL預(yù)測

圖8 剩余使用壽命的PDF預(yù)測結(jié)果Fig.8 Prediction PDF results of RUL

圖9 退化路徑估計結(jié)果Fig.9 Estimation results of degradation path

2.4 序貫決策和聯(lián)合決策結(jié)果

選擇文獻[15]所使用的仿真參數(shù)：cp=25，cf=100，cs=350，ch=0.1，L=4。按照2.2節(jié)所給的序貫優(yōu)化模型進行序貫決策。首先，對替換時間進行決策：在不同監(jiān)測時刻，費用率與替換時間的關(guān)系見圖10，可以看到隨著監(jiān)測時刻越接近失效時刻，最優(yōu)的替換時間逐漸減?。浑S后，根據(jù)決策得到的最優(yōu)替換時間，對訂購時間進行決策：在不同監(jiān)測時刻，費用率與替換時間的關(guān)系見圖11，可以看到隨著監(jiān)測時刻越接近失效時刻，最優(yōu)的訂購時間也是逐漸減小。

圖10 不同監(jiān)測時刻的替換時間序貫決策結(jié)果Fig.10 Sequential decision results of replacement time at different monitoring time

圖11 不同監(jiān)測時刻的訂購時間序貫決策結(jié)果Fig.11 Sequential decision results of ordering time at different monitoring time

同樣，按照2.3節(jié)所給的聯(lián)合優(yōu)化模型同時對訂購時間和替換時間進行決策：在不同監(jiān)測時刻所得的最優(yōu)解和對應(yīng)費用率見表 2，為了能夠與序貫決策的結(jié)果進行比較，將聯(lián)合決策的結(jié)果和轉(zhuǎn)換為序貫決策對應(yīng)的時間量和

表2 序貫優(yōu)化和聯(lián)合優(yōu)化結(jié)果及比較Table 2 Comparison between sequential and joint optimization

在表2中的最后一列，統(tǒng)計了序貫決策比聯(lián)合決策在最優(yōu)費用率上高出的比例，可以發(fā)現(xiàn)：①聯(lián)合決策的結(jié)果比序貫決策的結(jié)果要好，在幾個監(jiān)測時刻中，最多能夠減少費用率10.21%，這是因為聯(lián)合決策是同時對訂購時間和替換時間進行決策，相比序貫決策來說是全局的最優(yōu)結(jié)果；②序貫決策產(chǎn)生了最優(yōu)的替換時間無法實現(xiàn)的問題，如表中監(jiān)測時刻tk=603時，最優(yōu)替換時刻是0，而系統(tǒng)存在交付周期L=4，此時最優(yōu)替換時間小于交付周期而無法實現(xiàn)，但是聯(lián)合決策對訂購時間和替換時間同時進行決策，有效避開了這個問題。

3 結(jié) 論

本文基于預(yù)測的 RUL分布函數(shù)，考慮了替換時間和備件訂購時間的聯(lián)合決策，并利用軸承加速壽命實驗對序貫決策和聯(lián)合決策的結(jié)果進行了比較。所得結(jié)果表明，聯(lián)合決策相比序貫決策能產(chǎn)生更小的費用率，驗證了研究聯(lián)合決策的效果；同時，通過聯(lián)合決策還可以避免序貫決策中決策結(jié)果無法實現(xiàn)的問題。

符 號 說 明

B(t)——標準布朗運動

cp,cf,cs,ch——分別為單次預(yù)防性替換費用、單次失效替換費用、單位時間內(nèi)的備件短缺損失、單位時間內(nèi)的備件存儲費用

L——備件交付時間

tk——第k個監(jiān)測時刻

to, tr——分別為序貫決策的訂購時間、替換時間

t0,t1——分別為聯(lián)合決策的訂購時間、替換時間

,——分別為監(jiān)測時刻tk時，序貫決策的替換時間、訂購時間

——分別為監(jiān)測時刻tk時，聯(lián)合決策的訂購時間、替換時間

w——失效閾值

X(t),xt——分別為退化信號、t時刻退化信號的監(jiān)測值

?,θ,σ——分別為X(t)的初始退化量、漂移系數(shù)和擴散系數(shù)

μ0,——分別為θ的均值和方差

μθ,k,——分別為θ均值和方差在監(jiān)測時刻tk時的估計值

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