高考中三視圖還原幾何體的常用方法

廣東省雷州市第一中學(xué) 梁艷菊

三視圖在高考中占有重要地位，該知識點著重考察同學(xué)們的想象力和空間幾何能力，然而對于高三有部分空間想象能力比較差的學(xué)生來說短時間內(nèi)很難去培養(yǎng)和提高，作為高三的數(shù)學(xué)老師，如何讓學(xué)生快捷的幾何體的三視圖還原回幾何體呢？因此根據(jù)幾年的高三教學(xué)經(jīng)驗來談?wù)剬θ晥D還原方法的一些個人見解。高效的課堂是非常重要的，把握數(shù)學(xué)知識的解決方法，才有效的啟發(fā)數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)的效率。

三視圖的投影形成：如右圖，將物體放在三面投影體系中，盡可能使物體的各個面平行或垂直于其中的一個投影面，保持物體不動，將物體分別向三個投影面作正投影，就得到物體的三視圖。

第一類題型：棱錐或棱柱

例1：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各棱中，最長的棱的長度為（ ）

解：以長方體為載體：

第一步，先看俯視圖，左下方?jīng)]有角，則在長方體中用"×"去掉兩個角，如圖①所示；

第二步，再從正視圖來看，左下方?jīng)]有角，則在圖①的基礎(chǔ)上，用"×"去掉一個角，同時正視圖中右邊的直角邊中點上有一點，則在長方體上標(biāo)上一個點A，如圖②所示；

第三步，最后到側(cè)視圖，三角形的頂點在視線的右邊上，右上方、右下方?jīng)]有角，則在圖②基礎(chǔ)上，用"×"去掉兩個角，如圖③所示；

第四步，把長方體剩下的頂點和標(biāo)點連起來構(gòu)成一個三棱錐，如圖④所示。

從圖中可知PA為最長邊，可求得PA=6，故選B

此類題型常以長方體或正方體作為載體，根據(jù)三視圖逐一排除頂點,最后把剩下的點連起來構(gòu)成空間幾何體，再檢驗該幾何體三視圖是否符合。第一步：從俯視圖入手；第二步：再到正視圖第三步：最后到側(cè)視圖.

此種方法對于想象力不強的學(xué)生來說比較容易接受，主要多做練習(xí)來熟悉就可以靈活應(yīng)用，但是有一點不足之處是對于一些切割體和組合體的題型就不能解決了。

第二類題型：切割體

例2：某幾何體的三視圖如圖(2)所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A.50 B.56 C.60 D.70

解：第一步，根據(jù)正視圖，在長方體中

切割出四棱柱ADEN-BCFM，如圖（1）

第二步：根據(jù)側(cè)視圖，在長方體中切割出四棱柱CDEFABNG,如圖（2）

第三步：根據(jù)俯視圖，在長方體中切割出ABP-DCE,如圖（3）

第四步：觀察圖(1)(2)(3)的公共點，發(fā)現(xiàn)A、B、C、D、E、N為公共點，則將這些點連起來得到多面體ABCDEN如圖（4），反過來檢驗發(fā)現(xiàn)該多面體的三視圖滿足三視圖的要求，從圖（4）中容易算出該多面體的表面積為60,故選C

主要的方法技巧是找出正視圖，側(cè)視圖，俯視圖還原后的公共點，把這些點連起來可得到切割體，特別也要審視三視圖中的虛線和實線.

第三類題型：組合體

例3：如圖為一個幾何體的三視圖，正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖中曲線部分為半圓，尺寸如圖，則該幾何體的體積為( )

解：將視圖分為兩部分，圖（1）和圖（2）；按“高平齊、長對正、寬相等”的原則把圖（1）和圖（2）分別投影到投影面上，將其還原，可知兩個簡單幾何體分別為三棱柱和半圓柱，再驗證還原所得幾何體的三視圖是否與已知相符，可得如圖（3），計算組合體的體積，可知答案為A。

關(guān)于組合體主要的方法技巧是結(jié)合各個簡單幾何體的三視圖，對每一部分所對應(yīng)的幾何體進行還原，每個幾何體得到充分的確定之后，結(jié)合各部分所對應(yīng)的位置重新組合，形成一個整體。

這里講了三種常用方法將三視圖還原成幾何體，一種是將幾何體放在長方體中排除點法，第二種是切割體，找出公共點再連接起來，最后一種是組合體，分開來還原幾何體?？偟膩碚f，在三視圖還原中掌握好這些還原技巧，可降低難度，提高解題效率。