具有多元馬氏需求的多產(chǎn)品多階段庫存優(yōu)化模型

陳 杰，陳志祥

(1.中山大學(xué)管理學(xué)院,廣東 廣州 510275; 2.瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南 三亞 572022)

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具有多元馬氏需求的多產(chǎn)品多階段庫存優(yōu)化模型

陳 杰1,2，陳志祥1

(1.中山大學(xué)管理學(xué)院,廣東 廣州 510275; 2.瓊州學(xué)院理工學(xué)院，海南 三亞 572022)

本文研究一類新的多產(chǎn)品庫存控制策略，即具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品多階段的訂貨點(diǎn)訂貨量(Q, R, SS)策略,該策略考慮市場需求在不同產(chǎn)品之間具有多元馬氏轉(zhuǎn)移特征,并考慮缺貨因素設(shè)置安全庫存。論文首先建立了多產(chǎn)品多階段的多元馬氏需求預(yù)測模型，并通過該模型確定了各種產(chǎn)品需求之間的關(guān)系。同時，在該模型的理論基礎(chǔ)上，提出了多產(chǎn)品多階段的總期望成本模型及其最優(yōu)(Q, R, SS)策略，進(jìn)而結(jié)合算例給出模型的最優(yōu)策略的數(shù)值解。

多產(chǎn)品多階段庫存；多元馬爾可夫模型；最優(yōu)(Q, R, SS)策略

1 引言

多產(chǎn)品多階段庫存控制問題是一個具有實踐意義的理論問題。目前理論界對多產(chǎn)品庫存的聯(lián)合決策的研究雖有所涉及，但是現(xiàn)有文獻(xiàn)中對多產(chǎn)品庫存控制策略的研究僅考慮獨(dú)立同分布的隨機(jī)需求,缺乏對多產(chǎn)品需求間具有相互轉(zhuǎn)移特征的多周期庫存控制策略的研究。本文研究多元馬氏需求的多產(chǎn)品(Q, R, SS)策略，構(gòu)造相應(yīng)的理論分析模型并進(jìn)行數(shù)值分析。

國內(nèi)外學(xué)者對多產(chǎn)品具有隨機(jī)需求的庫存問題有不少文獻(xiàn)。Dvoretzky等[1]在假定多產(chǎn)品的需求向量為隨機(jī)的條件下研究了多產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型,得出模型的最優(yōu)解，而Shao Zhen和Ji Xiaoyu[2]則在模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)上建立了多產(chǎn)品報童問題的數(shù)學(xué)模型。通過設(shè)定模型的多個約束條件和折扣因子，Haksever和Moussourakis[3]提出了混合整數(shù)規(guī)劃的多產(chǎn)品庫存優(yōu)化模型，并利用分段線性近似法對需求函數(shù)進(jìn)行逼近，從而得出模型的優(yōu)解。在模糊隨機(jī)補(bǔ)給和多個約束條件下，Taleizadeh等[4]研究了多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化控制模型，并以帕累托混合法，理想點(diǎn)格法和遺傳算法給出了模型的最優(yōu)解，而Cárdenas-Barrón等[5]則基于非線性整數(shù)規(guī)劃理論方法研究了多產(chǎn)品EOQ模型的最優(yōu)化解。綜合考慮生產(chǎn)、運(yùn)輸、分銷等因素，Yang Xu等[6]提出了一體化的多產(chǎn)品優(yōu)化模型，Choi和Ruszczyński[7]則建立了多產(chǎn)品的風(fēng)險厭惡多產(chǎn)品報童模型，并指出風(fēng)險厭惡的增加并不一定導(dǎo)致訂購量的降低。在資源約束條件下，Murray等[8]研究了多產(chǎn)品定價和庫存的問題。De-Schrijver和Aghezzaf[9]研究了需求滿足獨(dú)立性的多產(chǎn)品庫存的綜合約束模型，并給出模型的最優(yōu)(s, S)和(R, Q)策略解。Zhou Weiqi和Chen Long[10]聯(lián)合補(bǔ)給策略建立了相應(yīng)的模型，并通過基因遺傳算法對模型進(jìn)行求解和仿真。近年來，國內(nèi)學(xué)者在模型不同的假設(shè)條件下，對供應(yīng)鏈中多產(chǎn)品的庫存優(yōu)化問題進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。秦進(jìn)等[11]研究了隨機(jī)需求和庫存決策的多商品物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計的優(yōu)化模型與算法，胡玉梅等[12]則針對模糊隨機(jī)需求下單制造商多零售商的分布控制型多產(chǎn)品報童問題，建立了含資金約束的期望利潤最大化兩層規(guī)劃模型，黃松等[13]則基于戰(zhàn)略顧客行為研究了帶預(yù)算約束的多產(chǎn)品報童問題。周欣和霍佳震[14]針對循環(huán)取貨過程中提前期波動較大及其對企業(yè)成本的直接影響，視總提前期方差增加為決策變量，建立了基于隨機(jī)提前期波動壓縮且含車載量約束的多供應(yīng)商多產(chǎn)品庫存模型。李季等[15]引入產(chǎn)品的促銷時間因素，構(gòu)建了多產(chǎn)品協(xié)同促銷模式下的促銷時間決策模型，研究的結(jié)果表明零售商對多個產(chǎn)品所進(jìn)行的價格促銷能夠顯著地影響其整體利潤。

以上文獻(xiàn)雖然研究需求是隨機(jī)的多產(chǎn)品庫存問題，但是都假定需求為固定的隨機(jī)分布(比如正態(tài)分布)，缺乏對需求具有多元馬氏隨機(jī)轉(zhuǎn)移過程的庫存問題研究。而在假定產(chǎn)品的需求具有馬氏性的前提條件下，國外學(xué)者對庫存優(yōu)化的問題也進(jìn)行了研究。Karlin[16]建立了時間離散型的馬氏庫存模型，并給出模型的最優(yōu)(s, S)策略，而在基于時間為連續(xù)的以及庫存成本函數(shù)為線性的條件下，Song Jingsheng和Zipkin[17]提出了時間連續(xù)型的馬氏調(diào)制泊松過程模型，研究的結(jié)果表明模型的最優(yōu)(s, S)策略是狀態(tài)依賴的。Chen Fangruo和Song Jingsheng[18]則進(jìn)一步發(fā)展了馬氏庫存模型，即建立了多級庫存模型。Raftery[19]在傳統(tǒng)馬氏理論基礎(chǔ)上提出更一般化的高階馬氏模型，而Ching等[20]則進(jìn)一步推廣該模型，提出了多元馬爾可夫模型，并建立了多產(chǎn)品的需求預(yù)測模型。雖然基于上述的各種條件取得的研究成果日趨完善，但是對多產(chǎn)品需求間的關(guān)聯(lián)性問題的研究還處于初步階段，缺乏基于多元馬爾可夫模型對多產(chǎn)品多階段的庫存優(yōu)化控制問題的深入研究。

總之，從國內(nèi)外文獻(xiàn)看，就作者所知，目前文獻(xiàn)尚沒有基于多元馬氏需求特征對多產(chǎn)品多階段庫存控制策略的研究。本文主要利用多元馬爾可夫模型作為理論工具，構(gòu)建多產(chǎn)品多階段庫存的最優(yōu)(Q, R, SS)策略。研究結(jié)果表明，當(dāng)多產(chǎn)品多階段的需求狀態(tài)滿足相關(guān)性時，即可根據(jù)其歷史的狀態(tài)軌跡，來確定各種產(chǎn)品在未來各階段需求間的相關(guān)性并對對它們未來的需求做出合理的預(yù)測，并給出最優(yōu)(Q, R, SS)策略，進(jìn)而達(dá)到優(yōu)化庫存的目的。

2 模型構(gòu)建

2.1 模型描述、符號說明和假設(shè)

在競爭激烈的市場環(huán)境中,供應(yīng)商往往會基于消費(fèi)者的個人消費(fèi)能力、偏好和實際需要等眾多因素，而趨向于推出多樣化產(chǎn)品，以滿足顧客的多樣性的需求。當(dāng)顧客面臨著多種選擇時，他們可能因為選擇了A系列產(chǎn)品，而不會再選擇其它系列的產(chǎn)品，或者在某個時期內(nèi)選擇A產(chǎn)品，而在下個階段選擇消費(fèi)B產(chǎn)品。顯然，在這樣的需求環(huán)境下，不同產(chǎn)品的需求量之間具有一定的相關(guān)性。當(dāng)管理者對企業(yè)的庫存進(jìn)優(yōu)化控制時，若僅單一考慮產(chǎn)品自身的需求，而忽略同類產(chǎn)品間需求的關(guān)聯(lián)性，則必然會導(dǎo)致決策缺合理性和科學(xué)性。由此可見，廠商在對需求具有相關(guān)性的多產(chǎn)品制定優(yōu)化庫存的策略時，應(yīng)研究多產(chǎn)品的需求量的關(guān)系性。

為了方便問題的闡述，進(jìn)行以下符號說明：

接下來我們對本文的模型做出一些基本假設(shè)：(1)各種需求的Dnk(n=1,…,N)服從正態(tài)分布，且具有馬爾可夫性和時齊性；(2)交貨提前期固定；(3)產(chǎn)品的價格固定；(4)存儲成本是存儲變量的線性函數(shù)。

2.2 高階多元馬氏模型

為了構(gòu)建基于高階多元馬氏需求的多產(chǎn)品總成本模型TC(m)(Qr+1,…,Qr-m+1;Rr+1,…,Rr-m+1)及其最優(yōu)(Q,R,SS)策略，首先介紹多元高階馬氏理論，并提出多產(chǎn)品的需求預(yù)測模型。

(1)

2.3 高階多元馬氏需求預(yù)測模型

(2)

定義1的結(jié)論只表明了不同產(chǎn)品間的需求狀態(tài)的概率分布的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，而推論1的結(jié)論不但確定了它們的需求狀態(tài)的關(guān)系，并且進(jìn)一步對未來庫存系統(tǒng)中的需求狀態(tài)做出理論上的預(yù)測。然而，需求狀態(tài)不等于需求量，兩者為不同的概念，還不可以直接利用(2)式對需求量進(jìn)行預(yù)測。因此，需要一些理論工具將兩者相互轉(zhuǎn)化。

(3)

(4)

命題1的結(jié)論確定了變量dnk和Dnk之間的關(guān)系，并給出由dnk轉(zhuǎn)化為Dnk的具體方法。該結(jié)論在研究馬氏理論在庫存中的應(yīng)用是至關(guān)重要的，因為馬氏理論是根據(jù)需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)的未來所處的需求狀態(tài)作出科學(xué)的預(yù)測，所以得到的預(yù)測結(jié)果是需求狀態(tài)而非需求量。有了命題1的理論基礎(chǔ)，接下來即可建立多產(chǎn)品的多元馬氏需求預(yù)測模型。

E(Dr+1)=Xr+1ηr+1=QXrηr+1

(5)

這里Q和Xr如定義1所示，而Dr+1=(D1(r+1),D2(r+1),…,DN(r+1))T，并稱(5)式為高階多元馬氏需求預(yù)測模型。

由該預(yù)測模型，若系統(tǒng)從初始時刻t0出發(fā)，則易知第n種產(chǎn)品歷經(jīng)m個階段后的的期望需求量為：

(6)

E(Dn(r+1))的表達(dá)式，進(jìn)一步表明了單個產(chǎn)品在系統(tǒng)中于未來的第r+1階段期望需求量不但與前各階段的相關(guān)，而且還與其它產(chǎn)品的需求量有著密切的關(guān)聯(lián)。

2.4 多產(chǎn)品總期望成本模型

因為本文考慮的是庫存系統(tǒng)歷經(jīng)m個階段后的控制優(yōu)化問題，所以若t0=r-m+1為系統(tǒng)的初始時刻，則系統(tǒng)歷經(jīng)m個階段后到達(dá)的時刻為t=r+1。設(shè)φ(Dnk)為第n種產(chǎn)品于第k階段需求量Dnk的概率密度，Φ(Dnk)為其相應(yīng)的分布函數(shù)。因為提前期內(nèi)的缺貨概率為P(DLnk>Rnk)，故我們可以確定一個安全庫存量，即：

(7)

(8)

安全庫存的費(fèi)用為保管費(fèi)用加上缺貨費(fèi)用，即：

(9)

有了上述預(yù)備性的工作，若系統(tǒng)的初始時刻t0=r-m+1，則在模型的各個假設(shè)條件下并結(jié)合(6)和(9)式，即可得庫存系統(tǒng)歷經(jīng)m個階段后到達(dá)第r+1階段基于高階多元馬氏需求的多產(chǎn)品總期望成本模型，即：

(10)

3 多產(chǎn)品多階段的最優(yōu)(Q, R, SS)策略

3.1 最優(yōu)訂購批量

由模型E[TC(m)(Qr+1,Qr,…,Qr-m+1;Rr+1,Rr,…,Rr-m+1)]的表達(dá)式，我們不難證明其為凸函數(shù)。事實上，記：

(11)

因此，第n產(chǎn)品在未來m個階段的總最優(yōu)訂購批量為：

(12)

由于缺貨成本比較小，同時從總成本與批量的敏感性分析可知，批量誤差對總成本的影響不大，所以有時候在實際應(yīng)用過程中通常采用：

(13)

3.2 最優(yōu)訂購點(diǎn)

證明 設(shè)f(DLnk)為DLnk的概率密度,由在提前期Lnk內(nèi)的期望缺貨值為：

4 數(shù)值算例分析

圖1 不同產(chǎn)品間需求狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖示

再由Chapman-Kolmogorov方程，得各種產(chǎn)品于未來第14、15周的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣：

根據(jù)A、B和C產(chǎn)品的需求狀態(tài)的歷史數(shù)據(jù)，易得它們的需求狀態(tài)的平穩(wěn)分布：

將以上的相關(guān)數(shù)據(jù)代入Ching等[21]文獻(xiàn)中的(10)式，得：

故當(dāng)m=3時，再由(1)式可得未來的第15周與其前面各周的關(guān)系模型：

(15)

從上述的關(guān)系模型可確定各種產(chǎn)品于第15周需求狀態(tài)間的關(guān)系權(quán)數(shù)，如A產(chǎn)品于未來的第15周需求狀態(tài)，與B、C產(chǎn)品于未來第13周需求狀態(tài)的關(guān)系權(quán)數(shù)分別為0.3002和0.6998。由(15)式可知，A產(chǎn)品的需求受C產(chǎn)品的影響大一些，B產(chǎn)品的需求受C產(chǎn)品的影響比較敏感，而C產(chǎn)品的需求受A產(chǎn)品的影響更為顯著。

設(shè)供應(yīng)商對各種產(chǎn)品的供應(yīng)提前期都為2周(并以1天作為需求的單位時間)，一次訂貨費(fèi)用為3000元，而A、B和C產(chǎn)品的單位存儲費(fèi)用分別為4,8.5和9元。接下來研究在庫存滿足率為95%的條件下，多產(chǎn)品于未來的第3階段(即第15周)的最優(yōu)庫存信息矩陣(Q,R,SS)的值。

數(shù)值算例表明通過各產(chǎn)品需求狀態(tài)的歷史數(shù)據(jù)，利用多元馬氏需求預(yù)測模型就可以對多產(chǎn)品的未來需求進(jìn)行預(yù)測，并且可以度量它們的需求量之間的關(guān)系。同時，在多產(chǎn)品總期望成本模型條件下，可以得出各產(chǎn)品在未來各階段的最優(yōu)庫存信息矩陣(Q,R,SS)，即最優(yōu)訂購量，最優(yōu)訂購點(diǎn)和安全庫存，進(jìn)而在經(jīng)營管理過程中獲取最大的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，從而達(dá)到庫存優(yōu)化管理的目的。

5 結(jié)語

當(dāng)多產(chǎn)品在市場中產(chǎn)生相互競爭時，其需求之間就會發(fā)生相互關(guān)系。在隨機(jī)需求的條件下，這種關(guān)系是如何產(chǎn)生的，如何科學(xué)地確定和度量它們之間的關(guān)系并預(yù)測它們的需求，直接影響到庫存系統(tǒng)決策者對制定庫存策略的合理性和科學(xué)性。本文在理論上研究了多產(chǎn)品多階段的最優(yōu)庫存控制策略(Q,R,SS)問題，利用高階多元馬氏理論提出了多產(chǎn)品的預(yù)測模型，對各產(chǎn)品在未來各階段的需求進(jìn)行預(yù)測，并通過該模型確定了各產(chǎn)品需求間的關(guān)系。同時在多產(chǎn)品預(yù)測模型的理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了基于高階多元馬氏需求的多產(chǎn)品總期望成本模型，并研究了該模型的最優(yōu)訂購量和最優(yōu)訂購點(diǎn)以及安全庫存的設(shè)定，進(jìn)而確定了其最優(yōu)(Q,R,SS)策略。模型的結(jié)論表明，最優(yōu)(Q,R,SS)策略受期望需求E(Dk)的取值影響，而產(chǎn)品需求間關(guān)系權(quán)數(shù)的大小對E(Dk)的取值起著干涉作用。決策者可以通過需求間的關(guān)系權(quán)數(shù)，深入了解所銷售產(chǎn)品的需求發(fā)生轉(zhuǎn)移的情況，并根據(jù)最優(yōu)(Q,R,SS)策略獲取有關(guān)的庫存信息以制定優(yōu)化管理的決策。最后，通過算例分析了該理論的應(yīng)用并論證了本文提出的新庫存控制策略的有效性。

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Optimal Policy for Multi-product Multi-stage Inventory Model with Multivariate Markov Demand

CHEN Jie1,2, CHEN Zhi-xiang1

(1.School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China;2.School of Science and Engineering,Qiongzhou University,Sanya 572022,China)

The demands of muti-product would be correlated to each other in competitive market; therefore a better model for exploring these relationships and a better prediction rule for market’s demand should be developed. Based on multivariate Markov theory, a new model is proposed to research these relationships and forecast the demand of muti-product. An expected total cost of muti-product model with high order multivariate Markov demand is constructed by the new model. Under these model conditions, a new type of multiple product inventory control policy is presented, which is multi-product and multi-stage inventory control (Q,R,SS) policy with multivariate Markov demand. This policy considers the optimal ordering quantity, optimal ordering point and safety stock setting in the multi-product and multi-stage inventory system. The conclusion shows that the optimality of (Q,R,SS) policy is correlation to the relationships of the demand among all kinds of products. Further, a numerical solution of optimal policy is provided to the model through a numerical example and it indicate that one can determine the optimal ordering quantity, optimal ordering point and safety stock from the new model by using the historical data of demand state.

multi-product and multi-stage inventory; multivariate Markov model; optimal (Q,R,SS) policy

1003-207(2015)05-0151-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.05.019

2013-05-02；

2014-02-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(71372154)；海南省自然科學(xué)基金資助項目(20151008)；海南省高等學(xué)?？茖W(xué)研究基金項目(HJKJ2012-42)

陳杰(1979-),男(漢族),海南臨高人,瓊州學(xué)院理工學(xué)院副教授,中山大學(xué)管理學(xué)院博士研究生,研究方向:馬氏決策優(yōu)化、管理系統(tǒng)仿真與優(yōu)化.

O211.62；F253.4

A