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    用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題

    2015-06-11 15:21:57宋青
    新課程學(xué)習(xí)·中 2015年4期
    關(guān)鍵詞:被除數(shù)除數(shù)位數(shù)

    宋青

    近日讀張景中院士《數(shù)學(xué)家的眼光》一書(shū),頗有收獲。張?jiān)菏窟@本書(shū)從一些中學(xué)生熟悉的問(wèn)題入手,用通俗生動(dòng)的語(yǔ)言和簡(jiǎn)明易懂的方法,清楚地介紹了數(shù)學(xué)家是如何從簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā),發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,思考問(wèn)題,進(jìn)而解決問(wèn)題,并最終提出許多簡(jiǎn)潔又深刻的結(jié)論。此書(shū)讓筆者清楚地感受到數(shù)學(xué)家看問(wèn)題的思路和方法,進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)學(xué)的深刻性和透徹性,一些問(wèn)題看似簡(jiǎn)單,平時(shí)學(xué)習(xí)往往缺乏深究,但如果能去尋根究底地問(wèn)一問(wèn),也許會(huì)有新的收獲,在讀“定位的奧妙”這一部分的時(shí)候,對(duì)此感觸深刻。

    “定位的奧妙”這部分主要圍繞“兩數(shù)相乘,積的位數(shù)是什么樣子?”問(wèn)題展開(kāi),首先從我們熟悉的帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)的乘法來(lái)引入問(wèn)題,例如,3.7×4.3=?這種筆算有特定的定位方法,同時(shí)像珠算,用對(duì)數(shù)表計(jì)算、用計(jì)算尺計(jì)算等都有不同的定位方法,而數(shù)學(xué)家看問(wèn)題,總會(huì)想找一般規(guī)律,于是文章便進(jìn)行了一系列的為了弄清定位問(wèn)題的嘗試和探究,該問(wèn)題看似很小但在真正深入挖掘的過(guò)程中,卻反映了學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一般方法,主要包含以下幾個(gè)過(guò)程:

    1.提出問(wèn)題:為發(fā)現(xiàn)定位的一般規(guī)律,首先明確提出了“兩數(shù)相乘,積的位數(shù)是什么子?”這一問(wèn)題。

    2.試驗(yàn)特例:找規(guī)律,先從簡(jiǎn)單例子開(kāi)始。觀察兩個(gè)式子3×4=12,3×2=6前一個(gè)式子里,右端的最高數(shù)位1比3小,比4也小,結(jié)果是2位,后一個(gè)式子,6比3比2都大,結(jié)果是1位,這便啟發(fā)我們得出以下猜想。

    3.形成猜想:如果積是1位數(shù),積的數(shù)字比乘數(shù)大;如果積是2位數(shù),積的最高位上的數(shù)字比乘數(shù)小。

    4.約定表達(dá)方式:為了用準(zhǔn)確的語(yǔ)言把規(guī)律表達(dá)清楚,并且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)丶右宰C明,約定了“位數(shù)”和“數(shù)字大小比較法”的表達(dá)方式。

    5.建立概念:通過(guò)約定表達(dá)式便可以清晰嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟⒏拍睢?/p>

    乘法定位一般規(guī)則:若A×B=C,當(dāng)C的數(shù)字比A(或B)的數(shù)字小時(shí),C的位數(shù)是A、B的位數(shù)之和。否則,C的位數(shù)是A、B的位數(shù)之和減1。

    除法定位一般規(guī)則:若被除數(shù)的數(shù)字比除數(shù)?。粍t商的位數(shù)=被除數(shù)的位數(shù)-除數(shù)的位數(shù);否則,商的位數(shù)=被除數(shù)的位數(shù) -除數(shù)的位數(shù)+1。

    6.證明結(jié)論:

    對(duì)乘法定位的一般規(guī)則這一結(jié)論進(jìn)行詳細(xì)的證明,有了乘法定位法,自然

    可以建立除法定位規(guī)則,因?yàn)槌ㄊ浅朔ǖ哪孢\(yùn)算,只要把乘式中的積叫做被除數(shù),商和除數(shù)都叫做相乘數(shù)就可以了??梢詫⒁陨弦?guī)則概括為:“乘積大,和減1;除數(shù)小,差加1”(通過(guò)后面的更一般問(wèn)題的拓展,筆者發(fā)現(xiàn),為了使這句概括更準(zhǔn)確,還需要包含“等于”的情況。即改為“乘積大或等,和減1;除數(shù)小或等,差加1”。)

    7.進(jìn)一步提出更一般的問(wèn)題:

    進(jìn)一步討論,如果解比例式=,知道了A、B、C和x的有效數(shù)字,又知道A、B、C的位數(shù),怎樣確定位數(shù)呢?文章對(duì)不同情況進(jìn)行了分類(lèi)并給出證明。

    定位是個(gè)小問(wèn)題,但若不仔細(xì)去想,不尋根究底去問(wèn),很難弄清楚,也就發(fā)現(xiàn)不了其中深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律。同樣在學(xué)習(xí)中也要善于發(fā)現(xiàn)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題,做到“好讀書(shū),求甚解”。

    那究竟什么是好的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢?在本書(shū)“珍珠與種子”這一部分也有涉及。不同人對(duì)“何為好的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的回答不盡相同,對(duì)此,數(shù)學(xué)大師陳省身有獨(dú)到的見(jiàn)解,他說(shuō):“讓青年人知道有‘好數(shù)學(xué)和‘不好的數(shù)學(xué)之分?!边@里所說(shuō)的“好”,簡(jiǎn)而言之,就是意義深遠(yuǎn),可以不斷深入、影響許多學(xué)科的課題;“不好”則是僅限于把他人的工作推演一番、缺乏生命力的題目。我的愿望是讓年輕人盡早懂得欣賞“好的數(shù)學(xué)”。這讓自己對(duì)何為好的數(shù)學(xué)問(wèn)題有了更多的認(rèn)識(shí)和思考,在以后解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候能有所取舍。

    對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考有一個(gè)開(kāi)闊的思路和全方位的角度,是非常重要的,書(shū)中“三角形的內(nèi)角和”這一部分陳省身教授對(duì)“三角形的內(nèi)角和等于180°”的精辟理解,陳教授說(shuō)“三角形的內(nèi)角和等于180°”是不對(duì)的,說(shuō)它不對(duì),不是說(shuō)這個(gè)事實(shí)不對(duì),而是說(shuō)這種看問(wèn)題的方法不對(duì),應(yīng)該說(shuō)“三角形的內(nèi)角和是360°”!把眼光只盯住內(nèi)角,就只能看到,n邊形內(nèi)角和是:(n-2)×180°,如果看外角呢?任意邊形外角和都是360°。

    這就把多種情形用一個(gè)十分簡(jiǎn)單的結(jié)論概括起來(lái)了,用一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)代替了與有關(guān)的公式,找到了更一般的規(guī)律。陳教授的話啟發(fā)讀者思考全方位看問(wèn)題的重要性,突破慣性的思維方式,尋找更為全面和普遍的規(guī)律,這本身也是一種數(shù)學(xué)能力。

    細(xì)細(xì)研讀,這的確是一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)科普類(lèi)讀物,它比一般的數(shù)學(xué)書(shū)籍多了許多生動(dòng)和對(duì)生活的貼近,同時(shí)又不失問(wèn)題的代表性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,愿與更多熱愛(ài)數(shù)學(xué)的人分享。

    編輯 謝尾合

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