圓的切線證明技巧

張挺雄

圓的切線是九年級(jí)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，是在中考中?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)。而相當(dāng)一部分學(xué)生在證明一條直線是圓的切線時(shí)，有的無從下手，有的證明過程不完整。下面就圓的切線證明歸納總結(jié)如下：

一、掌握切線的判定方法，理解切線的概念與特征

1.根據(jù)定義，即和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。

2.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。

3.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

理解上面的概念，必須抓住兩點(diǎn)：①直線經(jīng)過半徑的外端；②直線垂直于這條半徑。這兩個(gè)條件缺一不可。

二、如何證明一條直線是圓的切線，一般會(huì)出現(xiàn)以下幾種情況

1.要證明是圓的切線的直線與圓有公共點(diǎn)，且存在連接公共點(diǎn)的半徑，此時(shí)可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明，口訣是“見半徑，證垂直”。

例1：如圖1，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°，求證：AE是⊙O的切線。

證明：∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB=90°

∵∠B=60°，∴∠BAC=30°

∴∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

∵BA⊥AE垂足為A

∴AE是⊙O的切線

2.給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過這點(diǎn)的半徑，則要連接公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”這個(gè)定理進(jìn)行證明，口訣是“連半徑，證垂直”。

例2：如圖2，已知AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)B作⊙O的切線BC，連OC，弦AD//OC，求證CD是⊙O的切線。

證明：連OD

∵OC//AD，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COB=∠DOC

又∵OB=OD，OC=OC

∴△OBC≌△ODC，

∴∠OBC=∠ODC

∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°

∵∠ODC=90°，∴DC是⊙O的切線。

3.當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，過圓心作該直線的垂線，然后根據(jù)“直線與圓相切的定義”去證明，口訣是“作垂直，證相等”。

例3：如圖3，已知OC平分∠AOB，點(diǎn)D是OC上任意一點(diǎn)，⊙D與OA相切于點(diǎn)E，求證：OB與⊙D相切。

證明：連DE，作DF⊥OB，垂足為F。

∵⊙D與OA相切于點(diǎn)E

∴DE是⊙D的半徑，且DE⊥OA

∵OC平分∠AOB，DO在OC上，且DF⊥OB，DE⊥OA

∴DF=DE

∵DF是⊙D的半徑

∴OB與⊙D相切

編輯 謝尾合