一種提高傅立葉算法分辨率和精度的方法研究*

陳 釗，符 嬈，雷 利

(中國飛行試驗研究院，陜西西安 710089)

0 引言

在傳統的傅立葉變換算法中，選取的分析數據長度和頻率分辨率有直接關系，而在實際工程應用中，如果選取的分析數據長度過短，則頻率分辨率過低，而且可能導致計算的幅值小于真實值，產生較大的誤差，如果選取分析數據長度較長，會提高分辨率，但會引發(fā)新的問題，在該段數據內，信號的頻率不一定是穩(wěn)定的，依然會導致計算結果誤差過大［1］，提高分辨率還有一種常用的做法是補零，該方法也可以有效的提高頻率分辨率，但是該方法不能提高計算精度［2］。

筆者針對這個問題，提出了一種改良的傅立葉算法，在不增加分析數據長度的同時，提高算法的分辨率和精度。

1 算法原理

對于任何一個函數f(t)，展開成三角形式的傅立葉級數為:

根據三角函數的正交性，公式(1)中的個性系數如下［3］:

筆者對公式(1)進行改良，增加一個新的參數m，新的傅立葉算法公式為:

根據三角函數的正交性，公式(2)中的個性系數如下:

2 仿真計算

現產生一組仿真振動信號為:

如果分析數據點數 N和采樣率 fs一樣，均取8192，那么分辨率即為1 Hz，采用傳統的傅立葉方法進行分析，得到頻譜圖如圖1所示。

圖1 傳統傅立葉算法對仿真數據分析結果

信號存在160.5 Hz和360 Hz兩個頻率，傅立葉分析時，由于160.5 Hz處在分辨率所在的160 Hz和161 Hz之間，其分析結果與實際值產生了非常大的誤差，信號實際幅值為10，而分析結果僅為6.356，只有實際值的63.56%，誤差高達36.44%，這個誤差已經超出了大部分工程分析的可接受范圍，而360 Hz恰好在分辨率所在頻率上，計算結果與實際幅值非常接近，誤差僅為0.44%。

而在實際工程中，振動信號的頻率很難恰好出現在分辨率所在頻率上，因此必須提高分析精度，才可以得到更加準確的振動幅值。傳統的分析方法中，提高分辨率的方法是增加分析數據長度，而增加數據長度則可能帶來很多新的問題。

現采用改良后的傅立葉分析方法對仿真信號進行分析，取m=0.1，即將分辨率提高10倍，由原來的1 Hz提高到0.1 Hz，分析結果如圖2所示。

從圖2的分析結果可以看出，改良后的傅立葉算法在360 Hz頻率的分析結果與傳統的傅立葉分析結果一致，而在160.5 Hz的頻率，改良后的傅立葉算法分析結果幅值為 10.01，與真實結果 10只誤差了0.1%，精度得到了很大的提升。

圖2 改良傅立葉算法對仿真數據分析結果

3 對航空發(fā)動機實際振動數據進行分析

在某型發(fā)動機試飛過程中，曾經發(fā)生發(fā)動機空中停車故障，現提取該發(fā)動機空中停車期間的振動數據，分別采用傳統傅立葉法分析和改良后的傅立葉算法對該數據進行分析，如圖3、4所示。

圖3 傳統傅立葉法分析結果

圖4 改良后傅立葉法分析結果

該數據采樣率為12 500，每次分析數據長度為8192，即分辨率為1.35 Hz，改良后的傅立葉法分析分辨率為0.1 Hz。兩種方法分析結果對比可以發(fā)現，不管采用傳統的方法還是改良后的傅立葉法，計算出來的燃發(fā)器振動幅值和動力渦輪振幅幅值的變化規(guī)律都是一致的，但是兩種方法計算出來的幅值大小有一定的區(qū)別，具體差別如表1所列。

表1 兩種分析方法對比結果

從表2的對比結果可以看出，兩種方法的計算結果存在很大的差別，改良后的傅立葉法分析結果都比傳統的傅立葉法分析結果大，根據仿真計算的經驗，傳統傅立葉法的分析結果在很多時候都可能降低振動的幅值，使處理結果小于真實振動幅值，因此認為改良后的傅立葉法分析結果更為可信，在整個發(fā)動機空中停車的過程中，燃發(fā)器最大振動幅值應為4.07 g，動力渦輪的最大振幅為2.94 g。

4 改進后的傅立葉法存在問題和解決方法

改進后的傅立葉法可以很大程度上提高數據處理精度，但是會產生很大的運算量，如果取m=0.1，運算量會是傳統傅立葉算法的10倍，在工程上會存在很多問題，筆者提出一個解決方法，具體流程如圖5所示。

如對仿真信號的分析，可首先采用傳統的傅立葉算法進行分析，根據傳統的傅立葉算法結果，可以確定振動信號的頻率在160 Hz和360 Hz左右，而后可選取158 ～162 Hz，358 ～362 Hz，這兩個區(qū)間段采用改良后的傅立葉法進行分析，分別取0.1 Hz。采用這種方法，既可以準確的得到振幅幅值，又不產生較大的運算量。

圖5 流程圖

5 結論

采用改良后的傅立葉算法對仿真數據和發(fā)動機振動數據進行分析，可得出如下結論。

(1)采用改良后的傅立葉算法可以更為準確的得到振動信號的幅值，如果采用傳統的傅立葉法分析振動數據，分析結果有可能小于實際振動幅值，如果在發(fā)動機振動監(jiān)控中，則可能錯過發(fā)動機振動超限的故障。

(2)采用改良后的傅立葉算法會在一定程度上增加運算量，但是如果采用傳統傅立葉算法和改良后傅立葉算法相結合的方法，既可以準確的得到振幅幅值，又可以不大幅度增加運算量。

［1］ 陳 釗，任瑞冬，張 強.振動數據處理中分辨率的確定方法及應用［J］.現代機械，2010(2):28－30.

［2］ 趙志軍.補零對有限長DFT序列頻譜及的影響［J］.北京廣播學院學報(自然科學版)，2004，11(1):73－76.

［3］ 靳 希，楊爾濱，趙 玲.信號處理原理與應用［M］.第2版.北京:清華大學出版社，2008.