基于最小二乘法的電機轉速測量

華強，顏鋼鋒

（浙江大學電氣工程學院，浙江 杭州310027）

現(xiàn)代伺服控制系統(tǒng)中主要采用永磁同步電機作為執(zhí)行機構，并普遍采用基于矢量控制的電流、速度和位置三閉環(huán)控制［1］。為實現(xiàn)高性能伺服系統(tǒng)，轉速檢測的精確性和快速性非常關鍵。

光電編碼器是一種常用的轉速傳感器，測速方法主要有：1）M 法：通過測量一段時間內(nèi)的脈沖個數(shù)來計算轉速，適用于高速場合；2）T 法：通過測量編碼器相鄰兩個脈沖的時間間隔來計算轉速，適用于低速場合；3）M/T法：是上述兩種方法的綜合，在各個速度段都有不錯的精度，但實現(xiàn)起來需要硬件資源多，軟件也復雜［2］。

在伺服控制系統(tǒng)中，主要采用的是M 法測速，這是因為：1）永磁同步電機需要獲取準確的轉子位置信號來進行運算，因此編碼器分辨率一般較高；而且系統(tǒng)本來就實時測量編碼器脈沖數(shù)，因此適合采用M 法；2）控制系統(tǒng)中往往希望控制時間固定［3］。M 法測速時間是一定的，故控制時間可保證固定；而T 法測速時間跟電機轉速有關。

由于編碼器脈沖計數(shù)存在量化誤差，在低速場所下M法得到的脈沖數(shù)將很小，從而導致測量精度低。編碼器精度一定時，為提高測量精度，需要增長測量窗口時間，這又會導致測量延遲，影響系統(tǒng)動態(tài)性能。為提高編碼器的測速性能，很多方法被相繼提出［4-7］。文獻［4-5］講述了變M法測速方法，但該方法低速測量延遲長，影響低速測量的實時性。文獻［6］將觀測器理論應用于轉速估計，測量精度高且補償了測量的延遲。但該法測量精度受系統(tǒng)轉動慣量影響很大，實用性較差。文獻［7］提出了多種根據(jù)離散數(shù)據(jù)估計瞬時速度的方法，有利用泰勒展開式、后向差分推導以及擬合法，一定程度可提高測量精度。

本文在文獻［7］數(shù)學理論基礎上，將最小二乘法曲線擬合應用于電機轉速測量，推導了最小二乘法測速原理。之后比較了兩種不同階次最小二乘法的測速特性，得出不同階次最小二乘法適用于不同電機運行狀態(tài)，最終提出了一種綜合最小二乘法來提高測速性能。通過Simulink 仿真和在永磁同步電機控制平臺上實驗，結果證明了該綜合最小二乘法測速精度高，動態(tài)延遲小。

1 最小二乘法測速原理

1.1 最小二乘法測速理論

在永磁同步電機矢量控制系統(tǒng)中，通過處理器的定時器的編碼器計數(shù)功能實時獲取編碼器脈沖計數(shù)，可作為電機的轉子位置信號。若每隔一定間隔時間T 讀取位置信號，則可以得到最近的m組轉子位置反饋數(shù)據(jù)(ti,yi)，其中i=1,2,…,m，ti表示時間，且ti=T· i，yi表示ti時刻位置。這些位置反饋數(shù)據(jù)一般都帶有誤差，將這些數(shù)據(jù)通過曲線擬合法得到位置函數(shù)，一定程度上減小誤差的影響，對位置函數(shù)進行求導等運算便可得轉速。

最小二乘法是根據(jù)擬合曲線和數(shù)據(jù)的偏差平方和最小原則來求擬合曲線，是一種常用的曲線擬合方法。轉子位置信號可采用代數(shù)多項式擬合，擬合表達式為

式中：t 為時間；ci為系數(shù)，i= 1,2,…,n；n 為擬合多項式階次，n=1,2,3,…，且滿足n+1＜m。將ti=T· i 代入式（1）得ti時刻擬合位置值：

式中：A為m·（n+1）矩陣；M為n+1方陣。利用最小二乘法原理，待測系數(shù)C計算公式為［7］

其中 Y=[y1,y2???,ym]T

式中：Y為各時刻實際測得位置數(shù)據(jù)。假設伺服控制系統(tǒng)中每轉編碼器脈沖數(shù)為P，由式（1）～式（4）求得電機當前時刻tm轉速ωm為

其中轉速單位為r/min，B 計算公式為

只要確定數(shù)據(jù)個數(shù)m 和最小二乘法階次n，則矩陣A 便確定了，利用式（5）、式（6）便可以求出電機當前時刻的電機轉速。該方法計算量主要體現(xiàn)在B 的求取，B 可通過Matlab 等工具計算得出。算法實現(xiàn)時，只需編寫簡單的代數(shù)浮點數(shù)運算，因此最小二乘法測量轉速容易數(shù)字化實現(xiàn)。

1.2 最小二乘法測速比較

最小二乘法測速的準確性取決于擬合的轉子位置信號曲線是否與實際接近，這就依賴于最小二乘法中階次n 和數(shù)據(jù)個數(shù)m 的選取。最小二乘法中的階次n 決定了擬合曲線的特性，需要根據(jù)實際應用情況選取，例如當擬合的位置信號成一條直線時，n 適合取1。最小二乘法中的數(shù)據(jù)個數(shù)m 也需要折中選取，m 過小會使曲線擬合效果變差；而m 越大，一定程度上可減小量化誤差的影響，但也會影響測量實時性以及算法的計算量。

下面采用6個數(shù)據(jù)分別擬合1階最小二乘法（LSF1/6法）、2階最小二乘法（LSF 2/6法），即m=6，n=1，2。根據(jù)式（5）得測速公式如下。

LSF1/6法：

式中：y6為當前位置信號；y5,y4,y3,y2,y1分別為前T，2T，…時位置；P為電機1圈編碼器脈沖數(shù)；T為測量周期。

為對比LSF1/6 和LSF2/6 法的測速性能，進行仿真實驗。仿真基于永磁同步電機控制系統(tǒng)，給定速度為200 r/min，采樣周期為1 ms。仿真結果如圖1所示，可知LSF1/6法在轉速穩(wěn)定后具有很高的測量精度，但轉速動態(tài)變化時滯后于實際轉速，實時性較差；LSF2/6 法在轉速動態(tài)變化時延遲小，但在轉速穩(wěn)定后測量精度不如LSF1/6法。

圖1 LSF1/6和LSF2/6法測速仿真結果Fig.1 Simulation results of LSF1/6 and LSF2/6

1.3 綜合最小二乘法

從前面的分析可知，當電機轉速快速變化時，選取LSF2/6 法測速可減小測速延遲，提高動態(tài)測量精度；而當轉速穩(wěn)定后，選取LSF1/6 法測速可獲得更高測量精度。伺服系統(tǒng)運行過程中，電機將頻繁處于啟動、穩(wěn)定轉速、制動的交替運行狀態(tài)［10］，為提高測速精度和實時性，需綜合使用LSF1/6和LSF2/6法來測速。

分析電機的啟動和制動過程［10］，電機啟動、穩(wěn)定、制動和停止狀態(tài)下的轉速和轉速誤差曲線如圖2 所示，圖2 中0—t2時間段，給定轉速為n*，t2—t4時間段，給定轉速為0?？芍?，電機運行穩(wěn)定和停止狀態(tài)時，轉速誤差e 和轉速誤差的變化率˙接近為0，而電機運行啟動和制動狀態(tài)下時，e 和不同時接近0。因此可將e 和˙大小作為轉速是否穩(wěn)定的判斷依據(jù)，即可作為測速方法選取依據(jù)。

圖2 不同電機狀態(tài)下轉速和轉速誤差曲線圖Fig.2 Speeds and speed errors of different motor running state

2 仿真和實驗

2.1 仿真

為驗證綜合最小二乘法的測速性能，采用Simulink 對M 法和綜合最小二乘法進行仿真對比。永磁同步電機控制系統(tǒng)仿真模型見圖3，給定轉速為200 r/min。編碼器500 線，采用4 倍 頻技術。M 法采用1 ms 和6 ms 的間隔時間（簡稱M1法和M6法），綜合最小二乘法（簡稱綜合LSF 法）綜合了LSF1/6 和LSF2/6 法，采樣周期取為1 ms，e 閾值設為5 r/min，˙的閾值設為2 r/min。

圖3 永磁同步電機控制系統(tǒng)仿真模型Fig.3 Simulation model of permanent magnet synchronous motor control system

圖4 各測速方法的仿真結果Fig.4 Simulation results of different speed measurement methods

1）測速精度對比。測速結果如圖4所示，可知M1法測速誤差較大；M6法由于增大了間隔時間，雖然在轉速穩(wěn)定時誤差小，但是在轉速變化過程中誤差大，且一直滯后于參考轉速；而綜合LSF法在全過程的誤差都較小。

2）測速動態(tài)性能對比。圖5為轉速快速變化時間段各測速方法仿真結果，由圖5可得：綜合最小二乘法測速動態(tài)響應最快，而M6法滯后最大。

圖5 轉速動態(tài)變化時各測速方法的仿真結果Fig.5 Simulation results of different methods at speed changing

為定量分析測量方法的動態(tài)測量性能，定義測量延遲為測速方法測的轉速與參考轉速相同時的時間差。三者的測量延遲如表1 所示，對比M1法和M6法，可知M 法測速隨著間隔時間的增大，動態(tài)延遲變大；而綜合最小二乘法動態(tài)延遲最小，動態(tài)性能最好。

表1 各測速方法的測量延遲Tab.1 Measurement delay of different methods

2.2 實驗

為進一步驗證綜合最小二乘法測速性能，在永磁同步電機控制平臺上實驗。電機接有500線和2 500 線的增量式編碼器，其中500 線編碼器用于測速方法對比，2 500 線的編碼器測得轉速用于參考；控制器處理芯片采用帶有浮點數(shù)運算能力的STM32F407VGT6，它帶有編碼器接口，并對編碼器信號進行4 倍頻。兩種方法采樣周期都為1 ms，綜合LSF 法e 閾值設為10 r/min，e˙通過最近2 次的轉速誤差e 之差得到，閾值設為5 r/min。

電機給定轉速400 r/min，從靜止啟動電機。兩種方法測速結果如圖6 所示，由圖6 可知不論是在電機轉速動態(tài)變化時還是在轉速穩(wěn)定時，綜合LSF 法測速誤差都比M1法小。實驗表明了綜合最小二乘法在提高穩(wěn)態(tài)測速精度的同時，也保證了測速的動態(tài)性能。

圖6 M1法和綜合LSF法的實驗結果Fig.6 Experiment results of M1 method and multiple least square method

3 結論

本文應用了一種基于最小二乘法曲線擬合的測速方法，對比到不同階次最小二乘法的測速性能，得出不同階次最小二乘法適用于電機不同運行狀態(tài)，故最終提出了一種方便可行的綜合最小二乘法來提高測速性能。將此綜合法應用于永磁同步電機控制系統(tǒng)中，仿真和實驗表明了該法穩(wěn)態(tài)測速誤差小，動態(tài)實時性好，相比傳統(tǒng)M法具有優(yōu)越的性能。

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