高頻電壓頻率附加誤差線性回歸修正及其不確定度分析

趙海鷹

(92493信箱89分箱，葫蘆島 125000)

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高頻電壓頻率附加誤差線性回歸修正及其不確定度分析

趙海鷹

(92493信箱89分箱，葫蘆島 125000)

本文針對(duì)高頻電壓表頻率附加誤差檢定中示值定度偏差問題進(jìn)行了探討和分析,提出了修正措施，并對(duì)修正數(shù)據(jù)進(jìn)行不確定度評(píng)定。

電壓；頻率附加誤差；線性回歸；不確定度

0 引言

頻率附加誤差是高頻電壓測(cè)量?jī)x表最基本的計(jì)量檢定項(xiàng)目，通常采用“固定被檢讀標(biāo)準(zhǔn)”的方式進(jìn)行檢定。操作過程發(fā)現(xiàn)，由于高頻信號(hào)源輸出電壓調(diào)節(jié)靈敏度不夠高，或電壓表的分辨力較低，常常會(huì)使被檢表不能準(zhǔn)確地指示于要求的定度電壓指示值上，從而引入測(cè)量誤差。本文針對(duì)檢定過程中存在的被檢儀表定度電壓示值偏差問題進(jìn)行討論與分析。

1 頻率附加誤差的檢定

1.1 頻率附加誤差檢定系統(tǒng)

頻率附加誤差是指在規(guī)定的環(huán)境條件和技術(shù)條件下，電壓表所測(cè)量的電壓值偏離定度頻率時(shí)的測(cè)量值所產(chǎn)生的附加誤差。頻率附加誤差檢定用計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)通常采用交直流替代原理，將高頻電壓轉(zhuǎn)換為直流電壓進(jìn)行測(cè)量，例如ZC-100B高頻電壓標(biāo)準(zhǔn)裝置，用其組建的電壓表頻率附加誤差檢定系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 電壓表頻率附加誤差檢定系統(tǒng)

電壓表頻率附加誤差檢定方法與步驟是:

1)按照檢定規(guī)程的要求，將高頻信號(hào)源的頻率調(diào)整到被檢電壓表的定度頻率點(diǎn)上，調(diào)節(jié)其輸出幅度大小，使被檢表指示于要求的定度電壓值，由ZC-100B讀取定度頻率點(diǎn)的實(shí)際電壓測(cè)量值。

2)將高頻信號(hào)源的頻率調(diào)整到被檢電壓表的檢定頻率點(diǎn)上，調(diào)節(jié)其輸出幅度大小，使被檢表示值保持不變，由ZC-100B讀取各檢定頻率點(diǎn)的電壓測(cè)量值。

根據(jù)式(1)計(jì)算被檢表的頻率附加誤差：

(1)

式中，U0為定度頻率點(diǎn)上電壓實(shí)際值；Uf為檢定頻率點(diǎn)上電壓實(shí)際值。

1.2 頻率附加誤差檢定指示偏差問題

圖1所示系統(tǒng)是由激勵(lì)用高頻信號(hào)源與ZC-100B高頻電壓標(biāo)準(zhǔn)共同構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)源，以檢定R&S公司的URV35高頻數(shù)字電壓表為例介紹說明指示偏差問題，URV35頻率附加誤差的檢定數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 URV35頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)

表1的測(cè)試數(shù)據(jù)是根據(jù)規(guī)程要求，選擇0.8V/100kHz為頻率附加誤差定度檢定點(diǎn)。由于高頻信號(hào)源輸出電壓分辨力的限制，URV35不能準(zhǔn)確地指示為0.8V，只能接近于0.8V；改變信號(hào)頻率，繼續(xù)調(diào)整信號(hào)源輸出幅度進(jìn)行各頻率點(diǎn)的檢定，URV35仍然不能準(zhǔn)確地指示為0.8V，而且也不再指示為定度頻率時(shí)的0.8002V。忽略被檢表URV35的指示偏差，根據(jù)式(1)計(jì)算URV35的頻率附加誤差時(shí)，如果直接引用定度點(diǎn)電壓值0.8002V(U0)去計(jì)算頻率附加誤差是不完善的，這種指示偏差必然會(huì)給檢定結(jié)果帶來誤差。

2 頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)的修約

解決頻率附加誤差檢定指示偏差問題最直接的方法是盡量選用幅度分辨力較高的信號(hào)源，使所有的被檢電壓表能夠準(zhǔn)確地指示在定度電壓值。但對(duì)于高頻甚至微波信號(hào)源，這是比較困難的，即使設(shè)備價(jià)格不是問題，對(duì)于建標(biāo)用配套設(shè)備這種做法的費(fèi)效比也低。采用線性擬合基本原理進(jìn)行線性回歸分析是計(jì)量學(xué)可以使用的最有效的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法。

2.1 一元線性回歸分析

線性回歸是一種有效的處理變量之間相關(guān)關(guān)系的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

一般地，對(duì)于兩個(gè)變量x和y，理論上存在方程y=a+bx，則說x和y成線性關(guān)系或直線關(guān)系，如果通過實(shí)驗(yàn)可獲知反映兩個(gè)變量之間關(guān)系的一系列數(shù)據(jù)來確定方程系數(shù)a和b的值，即尋求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，就稱其為一元線性回歸。

這個(gè)步驟好似選擇一條直線與這些實(shí)驗(yàn)測(cè)試點(diǎn)作最佳配合，故也稱直線擬合。

2.2 頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)的修正

由表1可知，由于高頻信號(hào)源輸出電壓分辨力的限制，URV35不能準(zhǔn)確地指示為定度電壓0.8V，但是在某個(gè)頻率點(diǎn)，可以調(diào)節(jié)信號(hào)源輸出使URV35的顯示值在要求的定度電壓附近，測(cè)得幾組對(duì)應(yīng)的數(shù)值，然后進(jìn)行建模,即進(jìn)行直線擬合，從而預(yù)測(cè)當(dāng)URV35的指示值為0.8V時(shí)的ZC-100B的數(shù)值。測(cè)量數(shù)據(jù)如表2。

表2 URV35頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)

下面以表2的數(shù)據(jù)推導(dǎo)具體的直線擬合方程。x代表URV35的顯示值，y代表ZC-100B的測(cè)量值，x與y一一對(duì)應(yīng)，關(guān)系曲線如下：

y=a+bx

(2)

因?yàn)闇y(cè)量誤差的存在，通過實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)顯然不會(huì)全部通過所尋求的反映兩個(gè)變量間函數(shù)關(guān)系的曲線；但是，由于x的取值盡量靠近定度電壓值0.8V，可以把這一小段x與y的特性曲線以一條直線代替，按照誤差最小的原則，以最小二乘法直線作為擬合曲線的模型，這是求系數(shù)a和b最佳估計(jì)值時(shí)最常用的有效方法。

于是擬合曲線系數(shù)a和b應(yīng)滿足：

(3)

解方程組得：

(4)

(5)

把表2數(shù)據(jù)代入式(4)和式(5)得：

b=0.7769

a=0.1795

所以，表2中數(shù)據(jù)的直線擬合方程可表示為：

y=0.1795+0.7769x

(6)

那么，在100kHz頻率點(diǎn)上，假設(shè)URV35的指示值為0.8V，ZC-100B的修約值為0.8011V。同樣在其它的頻率點(diǎn)上，按照上述方法對(duì)ZC-100B的測(cè)量值進(jìn)行修正，修正后數(shù)據(jù)如表3；然后用修正后的數(shù)據(jù)根據(jù)式(1)計(jì)算被檢表的頻率附加誤差。

表3 URV35頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)修約值

3 檢定數(shù)據(jù)修約值的不確定度分析

3.1 觀測(cè)值的殘余標(biāo)準(zhǔn)差

圖2 直線擬合方程

(7)

式(7)中，Q為殘余平方和，即所有觀測(cè)點(diǎn)到擬合直線的殘余誤差的平方和，則殘余標(biāo)準(zhǔn)差s為(Q的自由度ν=N-2)：

(8)

s用來表征所有隨機(jī)因素對(duì)y的一次性觀測(cè)的平均變差的大小。

3.2 回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差用來描述回歸系數(shù)的分散性。根據(jù)式(4)和式(5)及方差的性質(zhì)有：

(9)

所以回歸系數(shù)b的標(biāo)準(zhǔn)差為：

(10)

同理，根據(jù)式(4)和式(5)及方差的性質(zhì)有：

(11)

回歸系數(shù)a的標(biāo)準(zhǔn)差為：

(12)

回歸系數(shù)a和b的協(xié)方差為：

(13)

a和b的相關(guān)系數(shù)為：

(14)

3.3 回歸方程的穩(wěn)定性及擬合值的不確定度

根據(jù)不確定度傳播公式及式(2)有：

(15)

式(15)中，u(a)、u(b)分別以回歸系數(shù)a和b的標(biāo)準(zhǔn)差表示，即：

u(a)=s(a)，u(b)=s(b)

所以，將式(8)、式(10)、式(12)及式(14)代入式(15)計(jì)算得：

(16)

(17)

3.4 頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)修約值的不確定度

=0.00022

(p=0.95,ν=8)

4 結(jié)束語

本文詳細(xì)介紹了高頻電壓頻率附加誤差檢定數(shù)據(jù)偏差的線性回歸修正方法及其不確定度分析，所舉例中回歸曲線或參數(shù)及相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)差和不確定度的計(jì)算可利用Excel中函數(shù)、Matlab等工具或軟件方便快速求得。對(duì)于計(jì)量校準(zhǔn)實(shí)踐中，由于標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)備分辨率限制使被檢儀表不能準(zhǔn)確地定度到所要求的固定數(shù)值而需要進(jìn)行數(shù)據(jù)修正具有參考意義。

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10.3969/j.issn.1000-0771.2015.4.13