軸對(duì)稱(chēng)二次非球面鏡面幾何參數(shù)的算法

杜建祥,宗肖穎

(北京空間機(jī)電研究所,北京 100190)

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軸對(duì)稱(chēng)二次非球面鏡面幾何參數(shù)的算法

杜建祥,宗肖穎

(北京空間機(jī)電研究所,北京 100190)

在現(xiàn)代的空間光學(xué)遙感器中，越來(lái)越多地使用二次非球面光學(xué)元件代替以往的球面光學(xué)元件，消除球面鏡不能消除的像差。二次非球面的幾何參數(shù)包括其頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)，它們對(duì)相機(jī)的性能有著重要的影響。三座標(biāo)儀的使用使得二次非球面幾何參數(shù)的測(cè)量變得方便快捷。在三坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，給出了一種新型的二次非球面幾何參數(shù)計(jì)算方法，通過(guò)采集座標(biāo)點(diǎn)、尋找旋轉(zhuǎn)軸、計(jì)算法線(xiàn)像差等步驟求解出頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)。通過(guò)仿真分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，頂點(diǎn)曲率半徑的計(jì)算精度可達(dá)0.01%，非球面系數(shù)的精度可達(dá)0.0002。

光學(xué)測(cè)試；幾何參數(shù)；非球面系數(shù)；頂點(diǎn)曲率半徑；二次曲面

引言

隨著現(xiàn)代光學(xué)遙感器的發(fā)展，大口徑、長(zhǎng)焦距、高像質(zhì)成為了發(fā)展趨勢(shì)，這使得光學(xué)元件的光學(xué)面從原來(lái)的球面向二次非球面轉(zhuǎn)變。使用二次非球面的光學(xué)元件表面能夠有效地防止軸外像差的產(chǎn)生，對(duì)提高光學(xué)鏡頭的像質(zhì)有著重要的作用?，F(xiàn)在二次非球面的加工技術(shù)已經(jīng)非常成熟，其使用已經(jīng)非常廣泛。二次非球面的幾何參數(shù)檢測(cè)主要包括頂點(diǎn)曲率半徑的檢測(cè)和二次非球面系數(shù)的檢測(cè)，幾何參數(shù)對(duì)光學(xué)鏡頭的焦距、像質(zhì)有著重要的影響。現(xiàn)在國(guó)內(nèi)對(duì)此最常用的方法是無(wú)像差法，就是在無(wú)像差法面形測(cè)試光路中使用標(biāo)準(zhǔn)的量桿加刀口的方法實(shí)現(xiàn)二次非球面2個(gè)焦點(diǎn)距離及長(zhǎng)軸或者短軸的測(cè)試，這種方法有較高的精度，但是對(duì)操作人員的要求較高，對(duì)刀口的定位、對(duì)量桿操作的把握會(huì)引起測(cè)量誤差，如果測(cè)試環(huán)境有較大的氣流，會(huì)影響無(wú)像差法面形測(cè)試光路的調(diào)整，這也會(huì)帶來(lái)測(cè)試誤差。使用三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)試二次非球面鏡面的點(diǎn)座標(biāo)，根據(jù)這些座標(biāo)計(jì)算其頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)，這樣在實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的高精度測(cè)試的同時(shí)，對(duì)人員要求及操作環(huán)境的要求也降低了，提高了測(cè)試效率。本文介紹了基于三座標(biāo)測(cè)試數(shù)據(jù)的計(jì)算頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)的算法。包括采集座標(biāo)點(diǎn)、擬合曲面、尋找旋轉(zhuǎn)軸、求解頂點(diǎn)曲率半徑和非球面系數(shù)e2的步驟。根據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本算法能夠滿(mǎn)足多數(shù)情況下的測(cè)試精度要求。

1 算法介紹

1.1 最小二乘曲面擬合

根據(jù)三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，適用最小二乘曲面擬合算法計(jì)算出二次非球面一般方程的系數(shù)，二次非球面的一般三維曲面方程為

F(x,y,z)=x2+a2y2+a3z2+a4xy+

a5xz+a6yz+a7x+a8y+a9z+a10=0

(1)

由此可得到誤差函數(shù)：

(2)

為了使得E達(dá)到最小，它應(yīng)滿(mǎn)足下列極值的必要條件：

(3)

由這個(gè)必要條件得到了關(guān)于aj(j=2,3,4,5,6,7,8,9,10)的一組包含9個(gè)方程的線(xiàn)性方程組，由此就能解出各個(gè)aj的值。

1.2 頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)的計(jì)算

在二維情形中，關(guān)于二次曲線(xiàn)有一個(gè)重要的性質(zhì)[1]：

圖1 二次曲線(xiàn)示意圖Fig.1 Conic curve

圖1中，P(x,y)是二次曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，C為P點(diǎn)法線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)，C0是曲線(xiàn)頂點(diǎn)的曲率中心，R0為曲線(xiàn)的頂點(diǎn)曲率半徑，φ為P點(diǎn)法線(xiàn)和x軸的夾角,有：

(4)

再回到三維情形中，圖1中的x軸就是二次曲面的頂點(diǎn)法線(xiàn)，也是曲面的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸。φ就是二次曲面上一點(diǎn)P(x,y,z)的法線(xiàn)和其旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸的夾角，由(4)式可知，只要知道二次曲面上任意2個(gè)點(diǎn)的φ值，就能夠求出R0和e2。由此可進(jìn)行以下步驟：

1) 獲得曲面F(x,y,z)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸

在曲面F(x,y,z)的包含其頂點(diǎn)的有限區(qū)間里任意取一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)，其法向量為

(5)

此法向量的直線(xiàn)方程為

(6)

在曲面上取一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)，可求得P1關(guān)于P0點(diǎn)法線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2(x2,y2,z2)。

假設(shè)：

(7)

則有：

x2=2(x0+nαt)-x1

y2=2(y0+nβt)-y1

z2=2(z0+nγt)-z1

(8)

再將P2(x2,y2,z2)帶入曲面方程F(x,y,z)=0，可得到

ε=|F(x2,y2,z2)|>0

(9)

可設(shè)定一個(gè)允許的ε值，如果|F(x2,y2,z2)|小于這個(gè)允許值，就可以認(rèn)為P2(x2,y2,z2)在曲面上，此時(shí)應(yīng)該再選擇一點(diǎn)P3(x3,y3,z3)，過(guò)P1點(diǎn)做P0點(diǎn)法線(xiàn)的垂線(xiàn)L1，過(guò)P3點(diǎn)做P0點(diǎn)法線(xiàn)的垂線(xiàn)L2，L1和L2垂直，因?yàn)榇藭r(shí)的ε值對(duì)是否旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)最為敏感，同理求得P3的關(guān)于P0點(diǎn)法線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P4，得到|F(x4,y4,z4)|，如果|F(x2,y2,z2)|和|F(x4,y4,z4)|有一個(gè)大于最大允許的ε值，那就繼續(xù)計(jì)算下一個(gè)P0點(diǎn)。如果|F(x2,y2,z2)|和|F(x4,y4,z4)|同時(shí)小于最大允許的ε值，那么P0就為此曲面的頂點(diǎn)，其法線(xiàn)就是曲面的頂點(diǎn)法線(xiàn)，也是曲面的旋轉(zhuǎn)軸。

2) 計(jì)算頂點(diǎn)曲率半徑和二次非球面系數(shù)e2

確定了曲面頂點(diǎn)P0(x0,y0,z0)和頂點(diǎn)法線(xiàn)n=(nα,nβ,nγ)后，在曲面上再取兩點(diǎn)A(xa,ya,za)和B(xb,yb,zb)，可得到A、B兩點(diǎn)的法線(xiàn)向量分別為

(10)

得到na、nb和n的夾角正切值為

(11)

(12)

計(jì)算A、B兩點(diǎn)在P0法線(xiàn)上的垂足，設(shè)

(13)

則兩垂足分別為

(14)

得到A、B兩點(diǎn)關(guān)于P0的軸向和徑向距離分別為

軸向：

(15)

徑向：

(16)

最后可得此二次曲面的頂點(diǎn)曲率半徑e2和R0分別為

(17)

(18)

2 算法仿真結(jié)果

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)二次非球面無(wú)平移和傾斜量時(shí)的三維方程為

x2+y2=2R0z-(1-e2)z2

(19)

將其延x和y方向分別平移3 mm和2 mm，并且繞x軸旋轉(zhuǎn)0.1°，參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 二次非球面參數(shù)設(shè)置

用matlab進(jìn)行采樣取點(diǎn)，采樣數(shù)為1 600個(gè)。使用第2節(jié)中的算法進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果如表2所示。

表2 通過(guò)采樣點(diǎn)計(jì)算得到的二次非球面參數(shù)

Table 2 Conic aspheric surface parameters calculated with sample points

參數(shù)計(jì)算值頂點(diǎn)曲率半徑R0/mm1000．199999e20．499996x向平移量/mm3y向平移量/mm2

計(jì)算得到的參數(shù)值和實(shí)際值相差很小，在使用過(guò)程中已經(jīng)完全可以忽略，驗(yàn)證了此算法的可行性。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

使用本算法對(duì)下列5塊凹非球面鏡S1-S5進(jìn)行驗(yàn)證測(cè)試。其參數(shù)如表3所示。

表3 被測(cè)凹二次非球面鏡參數(shù)

Table 3 Parameters of concave conic aspheric surface under test

參數(shù)S1S2S3S4S5R0/mm1385．2685．71132．5423．3850．0e20．968750．524790．984271．634590．99998

首先使用三座標(biāo)儀進(jìn)行這些鏡面進(jìn)行采點(diǎn)，采點(diǎn)范圍為口徑100 mm的鏡面點(diǎn)，采點(diǎn)數(shù)500個(gè)。根據(jù)這些座標(biāo)點(diǎn)，通過(guò)本算法計(jì)算得到非球面頂點(diǎn)曲率半徑R0和非球面系數(shù)e2分別如表4所示。

表4 通過(guò)本算法計(jì)算得到的被測(cè)凹二次非球面鏡參數(shù)

Table 4 Parameters of concave conic aspheric surface calculated with our algorithm

參數(shù)S1S2S3S4S5R0/mm11385．10685．731132．45423．32850．0321385．13685．751132．47423．31850．0231385．15685．711132．51423．31850．02e210．968960．524940．984451．634451．0000820．968930．524910．984401．634490．9999030．968950．524850．984351．634401．00005

表5 凹二次非球面鏡參數(shù)測(cè)試誤差

Table 5 Test errors of parameters of concave conic aspheric surface

參數(shù)S1S2S3S4S5ΔR0/mm1-0．10．03-0．050．020．032-0．070．05-0．030．010．023-0．050．010．010．010．02Δe210．000210．000150．00018-0．000140．0001020．000180．000120．00013-0．00010-0．0000830．000200．000060．00008-0．000190．00005

從表5中可看出頂點(diǎn)曲率半徑R0和二次曲面系數(shù)e2的測(cè)試精度已經(jīng)很高，測(cè)試誤差主要包含了三座標(biāo)儀測(cè)試誤差和本算法中的一些近似處理帶來(lái)的誤差。二次曲面系數(shù)e2對(duì)鏡面點(diǎn)座標(biāo)的測(cè)試誤差比較敏感，需要多次測(cè)量才能夠達(dá)到比較好的重復(fù)性。綜合來(lái)說(shuō)，頂點(diǎn)曲率半徑R0測(cè)試精度可達(dá)到0.01%，非球面系數(shù)測(cè)試精度可達(dá)到0.000 2。

4 結(jié)論

為了提高二次非球面幾何參數(shù)的測(cè)試效率，本文提出了基于三座標(biāo)測(cè)試數(shù)據(jù)的幾何參數(shù)計(jì)算算法，并詳細(xì)給出了算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程，再通過(guò)仿真及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，表明了算法的可行性。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，頂點(diǎn)曲率半徑測(cè)試精度為0.01%，非球面系數(shù)測(cè)試精度為0.000 2，該測(cè)試精度已經(jīng)能夠滿(mǎn)足使用要求。

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Algorithm for calculating geometric parameter of axial symmetry conic surface

Du Jianxiang，Zong Xiaoying

(Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity,Beijing 100190,China)

Modern space telescopes use conic surfaces rather than sphere surfaces in optical systems to avoid the unnecessary aberration brought by sphere surfaces. Geometric parameters of conic surfaces include the vertex radius and aspheric coefficient (e2), they are significant to the performance of the telescopes. As the coordinate measuring machine (CMM) is widely used, the measurement for the geometric parameters of conic surface is much more convenient. We introduced a new algorithm for calculating vertex radius ande2based on the data measured by the CMM through a few steps: measuring the coordinates, finding the axis and calculating the normal aberration theory. According to the simulation and experiment, the error of vertex radius is less than 0.01%, the error ofe2is less than 0.0002,which can meet the demands for most measurements.

optical test; geometric parameters; aspheric coefficient; vertex radius; conic surface

1002-2082(2015)06-0900-05

2015-05-12；

2015-09-17

杜建祥(1984-)，男，浙江嵊州人，碩士，工程師，主要從事光學(xué)裝調(diào)測(cè)試工作。E-mail：13911017584@163.com

TQ171

A

10.5768/JAO201536.0602004