“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星定軌殘差特征提取與分布檢驗(yàn)

陳略 唐歌實(shí) 崔紅正 陳明 劉薈萃 王美

(1 北京航天飛行控制中心，北京 100094) (2 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星定軌殘差特征提取與分布檢驗(yàn)

陳略1,2唐歌實(shí)1,2崔紅正1,2陳明1,2劉薈萃1,2王美1,2

(1 北京航天飛行控制中心，北京 100094) (2 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094)

針對“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星定軌殘差中非建模系統(tǒng)誤差問題，提出基于總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EEMD)與Hilbert譜分析相結(jié)合的定軌殘差特征提取方法，并對定軌殘差正態(tài)分布特性進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。首先，分析總體經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸庠?，提出濾波輔助的改進(jìn)EEMD方法與Hilbert譜特征提取結(jié)合，建立定軌殘差特征提取模型，并闡述卡方檢驗(yàn)正態(tài)分布原理；然后對北斗導(dǎo)航衛(wèi)星偽距與載波相位數(shù)據(jù)定軌殘差特征進(jìn)行分析；最后將提出的方法應(yīng)用于多測站、多北斗GEO衛(wèi)星的定軌殘差分析中。結(jié)果表明，EEMD與Hilbert譜方法有效提取出了定軌殘差中1天的軌道周期項(xiàng)，且EEMD處理后定軌殘差的卡方統(tǒng)計(jì)量為5.5，其值小于卡方檢驗(yàn)臨界，可視為正態(tài)分布。該方法可為北斗定軌殘差中非建模系統(tǒng)誤差分離、提高定軌內(nèi)符合精度提供有效技術(shù)手段。

定軌殘差；特征提??；分布檢驗(yàn)；偽距；載波相位；總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?；北斗?dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)

1 引言

“北斗”衛(wèi)星的觀測量包括偽距觀測量與載波相位觀測量，利用偽距觀測量、載波相位觀測量可對“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星進(jìn)行高精度定軌。定軌殘差是定軌內(nèi)符合精度表現(xiàn)形式之一，通過檢測定軌殘差可評估定軌精度[1]。提高衛(wèi)星星歷、鐘差及相關(guān)模型參數(shù)的精度，進(jìn)而提高衛(wèi)星精密定軌精度，是提高北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)精密定位服務(wù)能力的關(guān)鍵[2]。影響北斗定軌解算的非建模系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因很多，包括多路徑影響、衛(wèi)星軌道、電離層延遲、對流層延遲及衛(wèi)星鐘差等。通常電離層、對流層、衛(wèi)星鐘差等誤差可通過建模進(jìn)行誤差修正，但對于某些難以模型化的誤差則通常簡單地忽略其影響，這些非建模系統(tǒng)誤差成為高精度北斗定軌的主要誤差源之一，且在定軌殘差中普遍存在。如果能對“北斗”衛(wèi)星的定軌殘差進(jìn)行特征提取，找出其隱藏信息，對于“北斗”定軌殘差中非建模系統(tǒng)誤差分離與建模具有重要意義。

本文研究將總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EEMD)方法引入到定軌殘差分析中，提出濾波輔助的改進(jìn)EEMD方法，用于精確提取“北斗”定軌殘差中的特征量。EEMD方法來源于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?EMD)[3]，已被迅速成功應(yīng)用于雷達(dá)信號處理、遙感數(shù)據(jù)處理、生物信號處理、心電信號處理、故障診斷和表面肌電信號處理等領(lǐng)域[4-5]。

針對“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星定軌殘差分析這一研究問題，本文提出利用EEMD與Hilbert譜的北斗定軌殘差非系統(tǒng)建模誤差特征提取方法，用于精確提取“北斗”定軌殘差中的特征信息，并通過卡方檢驗(yàn)方法來對定軌殘差的分布特性進(jìn)行定量檢驗(yàn)，以期后續(xù)能對“北斗”定軌殘差中非建模系統(tǒng)誤差進(jìn)行準(zhǔn)確分離建模，旨在提高對“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星的精密定軌精度。

2 定軌殘差特征提取

“北斗”定軌殘差是指針對“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星的觀測值減去觀測量的計(jì)算值，定軌殘差直接反應(yīng)了對衛(wèi)星定軌的內(nèi)符合精度。定軌殘差表征是一個(gè)時(shí)間序列，可看成一個(gè)時(shí)間序列的信號，因此可以利用時(shí)間序列分析方法去分析定軌殘差。而卡方檢驗(yàn)是檢驗(yàn)時(shí)間序列是否呈正態(tài)分布的有效方法。下面介紹“北斗”定軌殘差特征提取與殘差分布檢驗(yàn)基本理論。

2.1 EEMD分解

EEMD分解的原理步驟[4]如下：首先，通過對信號多次加入具有均勻尺度、幅值標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的隨機(jī)高斯白噪聲序列后，使原信號具有足夠的極值點(diǎn)。然后，對每次加入高斯白噪聲后的信號進(jìn)行EMD分解得到相應(yīng)基本模式分量(IMF)，利用不相關(guān)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)均值為零的原理，將所有對應(yīng)的IMF做總體平均運(yùn)算，消除了多次加入的高斯白噪聲對真實(shí)IMF的影響。最后將總體平均后的IMF作為EEMD分解的IMF最終結(jié)果，這就是EEMD分解方法[7]。EEMD分解方法有效避免了EMD方法中模式混淆現(xiàn)象。

在EEMD分解方法中，加入的白噪聲(σ)與總體平均次數(shù)(N)是兩個(gè)最重要參數(shù)。加入的高斯白噪聲應(yīng)既不影響信號中的有效高頻成分極值點(diǎn)間隔的分布特性，同時(shí)又能改變信號中低頻成分的極值點(diǎn)間隔的分布特性[5]。文獻(xiàn)[4]提出EEMD方法中加入高斯白噪聲準(zhǔn)則：

(1)

圖1 濾波輔助的改進(jìn)EEMD算法流程Fig.1 Algorithm flow chat of improved EEMD with filter assisting

為更有效地確定σ值，本文提出通過濾波方式來確定σ值，即首先對原始分析信號進(jìn)行高通或帶通濾波，評估指定頻帶內(nèi)的信號分布特性，確定εh值，得到σ值，進(jìn)而確定α值。濾波器通帶頻率選取可根據(jù)分析信號特征確定，例如通帶選擇可采用[3fs/8,fs/2]，即包含分析信號的高頻段成分，fs為采樣頻率。這樣就得到一種濾波輔助的改進(jìn)EEMD方法，其算法流程如圖1所示。

2.2 Hilbert包絡(luò)譜

圖2 “北斗”定軌殘差特征提取方法模型Fig.2 Feature extraction flow chart of COMPASS orbit residuals

Hilbert變換的定義[8]為

(2)

基于以上原理，本文提出了總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀cHilbert譜的北斗定軌殘差非系統(tǒng)建模誤差特征提取方法，其處理流程如圖2所示。

2.3 卡方檢驗(yàn)正態(tài)分布原理

卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為

(3)

式中Ai為i水平的觀測頻數(shù)；Ei為i水平的期望頻數(shù)；n為總頻數(shù)；pi為i水平的期望頻率；k為單元格數(shù)。i水平的期望頻數(shù)Ei等于總頻數(shù)n×i水平的期望概率pi。

由卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式可知，當(dāng)觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)完全一致時(shí)，χ2值為0；觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)越接近，兩者之間的差異越小，χ2值越??；反之，觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)差別越大，兩者之間的差異越大，χ2值越大。在進(jìn)行卡方正態(tài)分布檢驗(yàn)時(shí)，其方法為：將計(jì)算χ2值與理論χ2臨界值進(jìn)行比較，如果計(jì)算χ2值小于理論χ2臨界值，則接受無效假設(shè)H0，反之，拒絕無效假設(shè)H0。理論χ2臨界值可通過查卡方檢驗(yàn)臨界值表所得。

3 定軌殘差特征分析

從以上偽距殘差與載波相位殘差中可以看出，CUT0-CO1偽距殘差波形較為雜亂，含有大量隨機(jī)噪聲，但仔細(xì)分析可以看出較模糊的周期調(diào)制信息，CUT0-CO1載波相位殘差波形雜亂，含有大量隨機(jī)噪聲，未直觀地觀測出明顯特征。GSMD-CO3偽碼定軌殘差中還有大量隨機(jī)噪聲，但波形為均勻分布，GSMD-CO3載波相位定軌殘差較雜亂，但能看見三個(gè)明顯的下降峰值。因此，可以看出在北斗定軌殘差中，包含了豐富的信息，從波形分布可以看出定軌殘差并沒有呈現(xiàn)出理想情況下的隨機(jī)分布，因此可以推斷在北斗的定軌殘差中包含了可以提取的特征信息，如果能提取這些信息，就能對定軌殘差中的非建模系統(tǒng)誤差進(jìn)行提取與分離，有望提高北斗衛(wèi)星定軌的內(nèi)符合精度。

圖3 CUT0-CO1偽距與載波相位定軌殘差Fig.3 Pseudo-range and carrier phase orbit determination residuals of CUT0-CO1

圖4 GSMD-CO3偽距與載波相位定軌殘差Fig.4 Pseudo-range and carrier phase orbit determination residuals of GSMD-CO3

4 實(shí)例分析

下面通過一個(gè)CUT0-C01的載波相位定軌殘差數(shù)據(jù)為例，分析提取定軌殘差中特征信息，然后給出不同接收站針對不同“北斗”GEO衛(wèi)星定軌殘差中的特征提取結(jié)果。

圖5 CUT0-C01載波相位定軌殘差的頻譜分析Fig.5 FFT spectrum of carrier phase orbit determination residuals of CUT0-C01

如第3節(jié)所述，CUT0接收站接收C01“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星的載波相位定軌殘差如圖3所示，對其進(jìn)行最常用的傅里葉頻譜分析，其頻譜如圖5所示。在圖5中，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)主要的峰值頻率，分別為1.543×10-5Hz(顯示時(shí)，四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后3位)與3.472×10-5Hz，對應(yīng)的周期分別為64 809 s與28 802 s?？紤]定軌殘差的物理意義及GEO衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并不能直接得出這兩個(gè)頻率的物理含義。由于傳統(tǒng)頻譜分析是基于傅里葉變換，而傅里葉變換是建立在數(shù)據(jù)平穩(wěn)性假設(shè)條件下的一種頻域全局性變換，對于分析平穩(wěn)與準(zhǔn)平穩(wěn)時(shí)間序列十分有效，但對分析非平穩(wěn)時(shí)間序列的能力有限，不能很好揭示非平穩(wěn)時(shí)間序列的特征[4]，因此需進(jìn)一步進(jìn)行“北斗”定軌殘差數(shù)據(jù)分析。

運(yùn)用本文提出的總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀cHilbert包絡(luò)譜方法對CUT0-C01載波相位殘差進(jìn)行分析。濾波通帶設(shè)置為[3fs/8，fs/2]，濾波器選取為FIR濾波器，期望的信號分解相對誤差最小值e設(shè)置為0.002，因此得到EEMD分解方法中的加入白噪聲大小系數(shù)為0.026 4，總體平均的次數(shù)為174。其中得到8個(gè)IMF，和一個(gè)殘余項(xiàng)。圖6、圖7是對定軌殘差序列進(jìn)行EEMD分解后所得的IMF。其中，“signal”表示原始載波相位殘差，“C1”、“C2”、…、“C8”分別為第1至第8個(gè)IMF，“r”表示剩余項(xiàng)。可以看出，原始載波相位殘差按照頻帶高低被自動(dòng)分解為8個(gè)IMF和1個(gè)剩余項(xiàng)，在此過程中，原始載波相位殘差中的特征信息分別落入8個(gè)IMF中。為進(jìn)一步精確提取這些特征信息，對所得IMF進(jìn)行譜分析。

圖6 CUT0-C01載波相位定軌殘差EEMD分解1Fig.6 1th EEMD results of carrier phase orbit determination residuals of CUT0-C01

圖7 CUT0-C01載波相位定軌殘差EEMD分解2Fig.7 2nd EEMD results of carrier phase orbit determination residuals of CUT0-C01

將EEMD分解后所得的IMF進(jìn)行Hilbert包絡(luò)譜分析，其結(jié)果分別如圖8、圖9所示，分別對應(yīng)第1個(gè)IMF至第8個(gè)IMF的Hilbert包絡(luò)譜。從圖8中明顯可以找出峰值頻率2.315×10-5Hz；6.944×10-5Hz，從圖9中明顯可以找出峰值頻率1.157×10-5Hz，2.315×10-5Hz，3.472×10-5Hz。

圖8 CUT0-C01定軌殘差EEMD分解后的Hilbert譜1Fig.8 1 th Hilbert spectrum of orbit determination of EEMD results in CUT0-C01

圖9 CUT0-C01定軌殘差EEMD分解后的Hilbert譜2Fig.9 2nd Hilbert spectrum of orbit determination of EEMD results in CUT0-C01

表1 特征頻率與周期對照表

在圖8中1.517×10-5Hz在四舍五入前的真實(shí)頻率為1.517 407 407 5×10-5Hz。將特征頻率轉(zhuǎn)換為時(shí)間周期如表1所示。從表1中可以看出，在Hilbert包絡(luò)譜中的峰值頻率1.517×10-5Hz嚴(yán)格對應(yīng)86 400 s，正好是1天的積秒。其余峰值特征頻率是1.157×10-5Hz的2,3,6倍頻。因此，初步判定在CUT0-C01的載波相位定軌殘差中存在一個(gè)與1天相關(guān)的時(shí)間周期項(xiàng)，結(jié)合“北斗”GEO衛(wèi)星的軌道運(yùn)行規(guī)律，推斷定軌殘差中可能包含與軌道運(yùn)動(dòng)周期嚴(yán)格對應(yīng)的特征信息。

為進(jìn)一步驗(yàn)證以上推論，選取CUT0/GSMD/JFNG接收站對多顆“北斗”GEO衛(wèi)星的定軌殘差運(yùn)用本文提出的特征提取方法進(jìn)行分析，找出其中最明顯的兩個(gè)特征頻率，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。C01、C03、C04、C05均為北斗GEO衛(wèi)星。表2中，“/”表示在Hilbert包絡(luò)譜中僅存在1個(gè)最明顯頻率成分，其他頻率成分相對較弱。從表2中可以看出，在CUT0、GSMD、JFNG站針對多顆北斗GEO衛(wèi)星的定軌殘差中，均存在與軌道運(yùn)動(dòng)周期1天相對應(yīng)的時(shí)間項(xiàng)，表現(xiàn)為存在基頻1.157×10-5Hz以及1.157×10-5Hz的倍頻。初步判斷產(chǎn)生此現(xiàn)象可能的原因?yàn)椤氨倍贰睂?dǎo)航衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)受到太陽光壓的影響產(chǎn)生了周期成分，抑或是“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星信號從發(fā)射到接收過程中經(jīng)過了較為復(fù)雜的傳播路徑，如多徑效應(yīng)[8]等影響，在接收機(jī)端接收到的信號相互調(diào)制，產(chǎn)生非線性耦合現(xiàn)象，非線性的主要表現(xiàn)為不同信號頻率成分間的調(diào)制現(xiàn)象，產(chǎn)生了頻率邊帶結(jié)構(gòu)。從以上分析可看出，基于總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀cHilbert譜的定軌殘差特征提取方法比傳統(tǒng)傅里葉變換更能準(zhǔn)確提取淹沒在噪聲中的特征信息。

表2 定軌殘差中最明顯的頻率特征

圖10 CUT0-C01偽距定軌殘差分解為模型信號與剩余項(xiàng)信號Fig.10 Model signal and residuals signal of Pseudo-range orbit determination residuals of CUT0-CO1

為進(jìn)一步說明總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄔ谔幚矶ㄜ墯埐顢?shù)據(jù)中的有效性，利用卡方檢驗(yàn)分析處理前后北斗定軌數(shù)據(jù)的分布特性。以CUT0-C01的偽距定軌殘差數(shù)據(jù)的EEMD分析為例，通過EEMD分解與重構(gòu)后，可將CUT0-C01信號分解為一個(gè)模型信號與剩余項(xiàng)信號，如圖10所示，模型信號由EEMD分解中的中低頻信號組成，剩余項(xiàng)信號由EEMD分解中的高頻信號組成。

分別對CUT0-C01定軌殘差原始信號與剩余項(xiàng)信號進(jìn)行卡方檢驗(yàn)正態(tài)分布分析?？ǚ綑z驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)自由度為7，顯著性水平為0.05。原始信號所得χ2=157.616 5，剩余項(xiàng)信號所得χ2=5.505 6。經(jīng)查卡方檢驗(yàn)臨界值表，對應(yīng)自由度與顯著性水平的χ2臨界值為14.067 1。因此，運(yùn)用卡方檢驗(yàn)方法不難得出，原始信號H0=1，即原始信號不滿足正態(tài)分布；剩余項(xiàng)信號H0=0，即剩余項(xiàng)信號滿足正態(tài)分布。剩余信號成正態(tài)分布，滿足理想定軌殘差的分布特性，推斷定軌殘差中的有效信息主要存在于模型信號中，因此通過卡方檢驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了EEMD方法可有效分離出定軌殘差中包含的特征信息。

5 結(jié)束語

1)本文提出了總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸馀cHilbert譜相結(jié)合的“北斗”定軌殘差特征提取方法，準(zhǔn)確提取“北斗”導(dǎo)航GEO衛(wèi)星的非建模系統(tǒng)誤差的特征信息，相比傳統(tǒng)傅里葉頻譜分析方法，在準(zhǔn)確提取“北斗”定軌殘差特征信息中具有更高的可靠性和靈敏度。

2)在“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星的偽距與載波相位的定軌殘差中，存在與軌道運(yùn)動(dòng)天周期(86 400 s)相關(guān)的特征頻率1.157×10-5Hz及其倍頻。

3)卡方檢驗(yàn)驗(yàn)證了總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄔ诙ㄜ墯埐罘治鲋械挠行浴?/p>

4)后續(xù)需進(jìn)一步開展的工作包括，一是深入研究“北斗”導(dǎo)航衛(wèi)星定軌殘差中產(chǎn)生不同周期項(xiàng)的原因，二是對提取出的特征頻率定量信息在定軌殘差中重新建模，去除此項(xiàng)非建模系統(tǒng)誤差，并通過定軌試驗(yàn)來驗(yàn)證建模的準(zhǔn)確性與可靠性。

致謝

感謝CUT0、GSMD、JFNG等GNSS衛(wèi)星國際接收站提供的北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的偽距與載波相位觀測量數(shù)據(jù)。

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(編輯：車曉玲)

Feature Extraction and Distribution Test for Orbit Residuals in Beidou Navigation Satellite

CHEN Lue1,2TANG Geshi1,2CUI Hongzheng1,2CHEN Ming1,2LIU Huicui1,2WANG Mei1,2

(1 Beijing Aerospace Control Center, Beijing 100094)

(2 National Key Laboratory of Science and Technology on Aerospace Flight Dynamic, Beijing 100094)

To analyze the no-modeling system error of orbit residuals in COMPASS, the orbit residuals feature extraction method with the ensemble empirical mode decomposition (EEMD) and Hilbert spectrum was proposed, and the normal distribution character of the orbit residuals chi-square test was analyzed. Firstly, the feature extraction principle of EEMD and Hilbert spectrum was introduced,the EEMD method assisted by the filter was proposed, and the feature extraction model of orbit residuals was established. Secondly, the feature of Pseudo-range and carrier phase orbit residuals in COMPASS was analyzed. Finally, the EEMD and Hilbert spectrum method was applied to analyze the Beidou GEO satellite orbit residuals. The results show that EEMD and Hilbert method can accurately extract the features of 1 day period, which is related to Beidou orbit running period. The chi-square value of the post orbit residuals obtained by EEMD is 5.5, which is smaller than the critical value of chi-square test. It proves that the post orbit residuals are normal distribution. The proposed method is important for separating the no-modeling system error in Beidou navigation satellite orbit residuals to improve the orbit determination precision.

Orbit residuals；Feature extraction；Distribution test；Pseudo-range；Carrier phase；Ensemble empirical mode decomposition；COMPASS

國家自然科學(xué)基金(41304026)資助項(xiàng)目

2014-07-11。收修改稿日期：2014-11-06

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.02.001

陳 略 1983年生，2009年獲西安交通大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化專業(yè)碩士學(xué)位，工程師。研究方向?yàn)闊o線電測量與科學(xué)應(yīng)用、地球自轉(zhuǎn)參數(shù)解算與預(yù)報(bào)。