一種頻域譜均衡自調(diào)整迭代優(yōu)化算法*

羅中良，藍 燕，陳治明

(惠州學院電子科學系，廣東 惠州 516007)

?

一種頻域譜均衡自調(diào)整迭代優(yōu)化算法*

羅中良，藍 燕，陳治明

(惠州學院電子科學系，廣東 惠州 516007)

傳統(tǒng)的頻域自調(diào)整算法直接對頻譜進行運算，不利于對信號的噪聲分離。該文在頻域采用對數(shù)功率譜表示保證了功率譜的正值特性且易于實現(xiàn)帶遺忘因子平滑算法，并針對算法的收斂速度與收斂精度之間的矛盾，提出一種變遺忘因子的自調(diào)整算法，推導(dǎo)了算法的收斂條件，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了遺忘因子按響應(yīng)譜取指數(shù)平均的自調(diào)整方法及相應(yīng)的迭代算法。仿真驗證了文中設(shè)計的優(yōu)化譜均衡算法較傳統(tǒng)的均衡算法時間上降低了近50%，穩(wěn)態(tài)誤差減小了約90%。

譜均衡；參數(shù)自調(diào)整；迭代優(yōu)化算法

隨機振動譜均衡的控制目的是使試件承受的振動功率譜與設(shè)定的參考功率譜一致，通過對功率譜的估計，利用均衡控制算法與參考譜進行比較迭代，最終使控制譜收斂到參考譜[1]。在隨機振動中，由于不同控制對象的特性參數(shù)存在較大差別且系統(tǒng)參數(shù)不穩(wěn)定的影響導(dǎo)致整個系統(tǒng)的動態(tài)特性發(fā)生改變。為了滿足控制系統(tǒng)的大動態(tài)范圍、高精度、均衡時間小等參數(shù)的要求，對譜估計及均衡算法提出了很高的要求[2-3]，業(yè)界也進行了相關(guān)的研究，如采用加權(quán)噪聲功率譜估計算法，較好的分離后平滑了噪聲[4-5]；引入分頻率與變步長策略，提高迭代控制效率、降低迭代運算量[6]；采用并行化數(shù)據(jù)處理和振動環(huán)境譜編制方法，提高機載設(shè)備振動環(huán)境實測數(shù)據(jù)處理效率[7]；采用Kalman自適應(yīng)濾波器實時跟蹤控制對象阻抗特性，對系統(tǒng)的輸入信號進行濾波修正，再實現(xiàn)參考譜復(fù)現(xiàn)方法等[8]，以及小波域的譜均衡算法[9-12]。這些算法改善了譜估計、譜均衡控制的精度，但算法的收斂性普遍缺乏定量的理論性分析，而是采用仿真加以驗證。本文從譜均衡基本原理及傳統(tǒng)自調(diào)整迭代算法出發(fā)，在頻域?qū)?shù)功率譜形式上分析了遺忘因子對收斂速度和精度的影響，推導(dǎo)了算法收斂的依據(jù)，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計了遺忘因子按響應(yīng)譜取指數(shù)平均的自調(diào)整方法及相應(yīng)的迭代算法，滿足收斂條件下得到了最速下降的遺忘因子，有效地解決了收斂速度與收斂精度的矛盾，為譜均衡的頻域自調(diào)整迭代算法提供優(yōu)化途徑。

1 譜均衡自調(diào)整迭代算法

1.1 譜均衡控制原理

隨機振動頻譜均衡控制是相對于時域自適應(yīng)控制器的頻域?qū)崿F(xiàn)，包括系統(tǒng)辨識和控制綜合模塊，其目的就是使振動系統(tǒng)在不同的負載及干擾下精確地重現(xiàn)設(shè)定的振動譜。對于傳遞函數(shù)為H(f)的振動系統(tǒng)，其激勵X(f)與響應(yīng)Y(f)的關(guān)系可表示為：

(1)

在隨機振動控制中，只關(guān)心頻域的幅值特性，故將上式變換為輸入輸出信號自功率譜函數(shù)的關(guān)系式，即

(2)

要使系統(tǒng)重現(xiàn)參考譜Prr(f)，即Pyy(f)=Prr(f)，則必須使激勵信號的自功率譜Pxx(f)滿足：

(3)

圖1 振動譜均衡原理Fig.1 Principle of vibration spectrum equalization

1.2 頻率響應(yīng)功率譜估計方法

(4)

求得頻率響應(yīng)函數(shù)：

或

(5)

(6)

因此：

或

(7)

1.3 譜均衡迭代算法

(8)

(9)

對式(1)以歸一化頻率變換到離散域，并考慮系統(tǒng)噪聲及測量誤差n(t)時

(10)

式中Pnn,i(fk)是噪聲n(t)的自譜密度的第i次計算值，由文獻[10]可以得到：

(11)

(12)

(13)

式(11)-(13)的自調(diào)整迭代算法很難定量地分析其收斂性能，且無法直接利用2.1進行小波變換后的平滑算法。因此，下面研究頻域自調(diào)整算法在對數(shù)坐標中的實現(xiàn)，并定量分析其收斂性能。

2 變遺忘因子的譜均衡優(yōu)化迭代算法

2.1 對數(shù)域頻域自調(diào)整算法及其收斂性

傳統(tǒng)的頻域自調(diào)整算法直接對頻譜進行運算，不利于對信號的噪聲分離，在頻域采用對數(shù)功率譜一方面能保證功率譜的正值特性，另一方面更利于采用先進的算法對其平滑。令

相應(yīng)地響應(yīng)譜的指數(shù)平均變?yōu)?/p>

(14)

其對數(shù)坐標形式為

(15)

基于對數(shù)變換的頻域自調(diào)整迭代算法表示為:

(16)

(17)

(18)

其中ei表示與xi、yi不相關(guān)的零均值噪聲。綜合式(16)-(18)可得

由于yi-1=(1-ρ)yi-2+ρpi-1，從上式可得：

(19)

其特征根為(1-ρ)±j[ρ(1-ρ)]1/2，幅值為(1-ρ)1/2，因此當0<ρ<1時式(16)-(18)表示的頻域自調(diào)整迭代算法收斂于r。當系統(tǒng)收斂后

(20)

2.2 變遺忘因子的譜均衡優(yōu)化迭代算法

從上分析知，ρ值的大小需要在算法的收斂速度與收斂精度之間折衷，設(shè)想當算法的運行初期時取較大的ρ值，以提高收斂速度；之后，減小ρ值以提高收斂精度。下面來研究ρi的變化規(guī)律，從而得到最優(yōu)的系統(tǒng)性能。

以遺忘因子為對響應(yīng)譜取指數(shù)平均得

(21)

其中ρi∈[0,1]，它隨迭代次數(shù)的增加而減小。將

pi=xi+hi+ei

代入上式得

(22)

其中

(23)

在不考慮系統(tǒng)噪聲時，使控制譜與參考譜相等并取hi的估計值，這樣得到自調(diào)整算法迭代公式為

(24)

其中系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)由卡爾曼濾波器進行估計，其為

(25)

通過對費用函數(shù)E{(hi-h)2}最小化，其中h是系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的真值，得到的αi應(yīng)滿足:

(26)

此時有

(27)

上式說明了優(yōu)化的頻域自調(diào)整迭代算法非常好的一個特性，即當αi以式(26)規(guī)則選擇時，系統(tǒng)響應(yīng)譜的波動隨遺忘因子ρi的減小而趨向于零。可得

(28)

如此不斷的迭代，控制功率譜將收斂于參考功率譜。

2.3 迭代算法仿真

仿真取系統(tǒng)激勵初值與系統(tǒng)響應(yīng)初值為零，系統(tǒng)噪聲取均值為零、方差為1的高斯噪聲，設(shè)定參考譜r為10，系統(tǒng)的頻率頻響函數(shù)h取1，系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)初值h0取0。圖2是沒有加入噪聲時的基于對數(shù)變換頻域自調(diào)整迭代算法仿真結(jié)果。

圖2 基于對數(shù)變換的頻域自調(diào)整算法仿真(未加入噪聲) Fig.2 Simulation of adaptive regulation algorithm based on logarithmic transformation(un-noised)

圖2較明顯的表明隨著ρ的減小暫態(tài)時間增長，系統(tǒng)的響應(yīng)的調(diào)整速度變慢；而當系統(tǒng)加入噪聲時，如圖3所示。小的ρ值確提高了消除系統(tǒng)噪聲的能力，但這是以系統(tǒng)的響應(yīng)速度為代價的，兩者是一個不可調(diào)和的矛盾；而對于優(yōu)化的頻域自調(diào)整迭代算法，有效地解決了這一對矛盾，其仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看到系統(tǒng)不僅具有快速的響應(yīng)性能，而且具有較強的消除系統(tǒng)噪聲的能力。比較圖4(a)、(b)，可以看出當ρi的下降速率增大時，收斂速度和抗干擾能力均有提高，然而如果的下降速率大于1/i時，依據(jù)式(26)αi的取值必將發(fā)散，即隨i值的增大而增大，這樣將造成計算上的溢出，因此在保證算法可靠性的前提下的下降速率不應(yīng)大于。上述結(jié)果可以表明優(yōu)化的頻譜均衡算法較傳統(tǒng)的均衡算法的均衡時間降低了近50%，穩(wěn)態(tài)誤差減低了約90%，均衡結(jié)果較理想。

圖3 基于對數(shù)變換的頻域自調(diào)整算法仿真(加入噪聲)Fig.3 Simulation of adaptive regulation algorithm based on logarithmic transformation(noised)

圖4 優(yōu)化的頻域自調(diào)整算法仿真(加入噪聲)Fig.4 Simulation of optimized adaptive regulation algorithm (noised)

3 結(jié) 論

采用對數(shù)功率譜保證了功率譜的正值特性，分析了遺忘因子ρ值對算法收斂速度與精度之間影響，提出均衡算法迭代初期應(yīng)取較大值以提高收斂速度，后期應(yīng)取較小值以提高算法的收斂精度。并基于此思想，設(shè)計了遺忘因子按響應(yīng)譜取指數(shù)平均的自調(diào)整方法及相應(yīng)的迭代算法，在算法的收斂速度與收斂精度之間取得較好的平衡。仿真結(jié)果表明優(yōu)化的頻譜均衡算法較傳統(tǒng)的均衡算法的均衡時間降低了近50%，穩(wěn)態(tài)誤差減低了約90%。

[1] 劉小勇，羅中良，羅明珠.基于自適應(yīng)逆控制的沖擊振動控制方法[J]. 中山大學學報：自然科學版,2008，47(5):49-53．

[2] 許伯強,孫麗玲,李和明. 基于高頻率分辨力譜估計技術(shù)與優(yōu)化算法的異步電動機轉(zhuǎn)子故障檢測新方法[J]. 中國電機工程學報,2013,33(3):140-147.

[3] 陳家焱, 陳章位,賀惠農(nóng)，等.非高斯隨機振動試驗并行控制策略研究[J]. 機械工程學報,2012,48(4):193-198.

[4] 馮炎,安寶坤.改進型加權(quán)噪聲功率譜估計算法[J]. 重慶科技學院學報,2014,16(4):147-149.

[5] 馮炎,尼瑪扎西. 基于頻帶間相關(guān)性的加權(quán)噪聲功率譜估計[J]. 信息與電子工程,2010,8(4):431-435.

[6] 張芃，蔡萍，武博. 基于自適應(yīng)逆控制的隨機振動控制算法研究[J]. 振動與沖擊，2013,32(22):163-167.

[7] 劉力宏,李五一,杜曉坤,張書明. 機載設(shè)備振動環(huán)境實測數(shù)據(jù)處理并行算法[J]. 科學技術(shù)與工程, 2015,15(20):72-77.

[8] 關(guān)廣豐，王海濤，熊偉. 隨機振動功率譜再現(xiàn)自適應(yīng)控制算法研究[J]. 振動與沖擊,2011,30(3):1-4.

[9] 趙淑紅,朱光明.用小波變換譜均衡法提高地震資料的分辨率[J]. 西安科技大學學報,2007,27(2):255-259.

[10] 羅中良,汪華斌,陳治明，等. 面向隨機振動功率譜估計的小波變換去噪算法理論分析[J]. 中山大學學報：自然科學版,2012,51(2):12-16.

[11] 曲蕾,王京,楊斌虎. X濾波自適應(yīng)逆控制算法及在液壓位置控制系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 北京科技大學學報， 2008(3):163-166.

[12] 陳傳仁,周熙襄. 小波譜白化方法提高地震資料的分辨率[J]. 石油地球物理勘探， 2000(6):54-59.

[13] 孟新宇,寧輝,王道波，等.頻域響應(yīng)函數(shù)估計的非參數(shù)辨識法[J]. 振動與沖擊, 2013,32(14):174-179.

A Frequency Spectrum Equalization Self-Adjusting Iteration Algorithm

LUOZhongliang,LANYan,CHENZhiming

(Department of Electronic Science,Huizhou University, Huizhou 516007， China)

Traditional frequency self-adjusting algorithm calculates the frequency spectrum directly, which will affect the noise extraction of the signal.Logarithm power spectrum is used to guarantee the positive-value characteristic of the power spectrum, and make the smoothing algorithm with forgetting factor easier to implement.To solve the contradiction between convergence speed and convergence precision of the fixed forgetting factor, a self-adjusting method with varied forgetting factor is proposed. The convergence condition is also deduced. The iteration algorithm whose forgetting factor is the exponential mean value of the response spectrum is designed.Simulation results show that the proposed spectrum equalization algorithm reduces the calculation time by 50%, the steady-state error by 90%, comparing to un-optimized algorithm.

spectrum equalization; parameter self-adjusting; iterative optimization algorithm

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.007

2014-10-18

廣東省科技計劃資助項目(2012B010100038)；廣東省高等學校教學質(zhì)量與改革工程本科類資助項目(粵高教函【2013】113號-113)

羅中良(1968年生 )，男；研究方向：智能控制;通訊作者：陳治明;E-mail:1276106@qq.com

TP273.3

A

0529-6579(2015)05-0028-05