基于Maple環(huán)境的測(cè)量不確定度評(píng)估方法

邱國(guó)平

(廣東省印刷技術(shù)研究所，廣州 510650)

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基于Maple環(huán)境的測(cè)量不確定度評(píng)估方法

邱國(guó)平

(廣東省印刷技術(shù)研究所，廣州 510650)

評(píng)定測(cè)量不確定度，通常的計(jì)算方法是GUM，MCM作為GUM的補(bǔ)充。本文通過(guò)Maple軟件用解析方法與改進(jìn)的MCM成功解決大部分測(cè)量不確定度的精確評(píng)估，同時(shí)通過(guò)解析方法可以判斷其他方法的精確度。最后，揭示使用Maple軟件的解析方法的某些局限。

測(cè)量不確定度；Maple；GUM；MCM；概率密度函數(shù)

0 引言

測(cè)量不確定度的定義：簡(jiǎn)稱(chēng)不確定度，根據(jù)所用到的信息，表征賦予被測(cè)量值分散性的非負(fù)參數(shù)[1]。測(cè)量不確定度評(píng)定與表示已成為國(guó)際科技交流與貿(mào)易中一項(xiàng)重要的指標(biāo)?！缎?zhǔn)和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室能力的通用要求》(ISO/IEC 17025)中明確要求：實(shí)驗(yàn)室的每個(gè)證書(shū)或報(bào)告，必須包含有關(guān)校準(zhǔn)與測(cè)試結(jié)果不確定度評(píng)定的說(shuō)明?！稖y(cè)量不確定度評(píng)定與表示》從原來(lái)的JJF 1059—1999到現(xiàn)在的JJF 1059.1/2—2012，從單一的GUM到MCM的誕生。測(cè)量不確定度評(píng)定得到進(jìn)一步的深化，方法得以擴(kuò)展。

可以有效采用GUM評(píng)定測(cè)量不確定度的要求[2]：1)數(shù)學(xué)模型的非線(xiàn)性不是很明顯；2)中心極限定理適用，這意味著輸出量的PDF是由高斯分布或t分布表示；3)韋爾奇-薩特斯韋特公式足夠用來(lái)計(jì)算有效自由度。應(yīng)用韋爾奇-薩特斯韋特公式要求假定輸入量相互獨(dú)立。在許多情況下，上面的條件是接近符合的，所以在實(shí)際應(yīng)用中是完全可以接受的。這也是GUM應(yīng)用最廣泛的原因。但在某些情況下，卻未必如此。MCM是一種數(shù)值計(jì)算方法，MCM的引入大大拓寬可以評(píng)定測(cè)量不確定度的范圍。MCM的局限：1)如果輸入量分布廣，輸出量的分布集中，仿真的結(jié)果不穩(wěn)定，不能很好收斂。下文的例子可以說(shuō)明這一點(diǎn)；2)MCM計(jì)算的精度有限。對(duì)于可以收斂的測(cè)量不確定評(píng)定，如果希望得到更精確的數(shù)值，需要提高仿真的數(shù)據(jù)量。這對(duì)計(jì)算機(jī)或軟件的要求將大大提升。本文利用Maple的統(tǒng)計(jì)工具包，使用解析方法一定程度上解決以上兩個(gè)問(wèn)題。同時(shí)通過(guò)解析方法可以判斷其他方法的精確度。最后指出解析方法的一些不足之處。解析方法與MCM都可以作為GUM的有力補(bǔ)充。

1 測(cè)量不確定度評(píng)定

對(duì)于單個(gè)隨機(jī)變量而且不需要函數(shù)轉(zhuǎn)換的，我們可以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)判斷隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)或者用貝塞爾公式對(duì)其測(cè)量不確定度評(píng)定。但是實(shí)際中輸入量與輸出量有較為復(fù)雜的模型。N個(gè)輸入量，記為X=(X1,…,XN)T和輸出量Y之間的關(guān)系可用如下模型表示：Y=f(X)=f(X1,…,XN)。測(cè)量不確定度由X中的N個(gè)輸入量的分布以及模型決定。GUM一般使用一階泰勒級(jí)數(shù)近似的不確定度傳播律評(píng)定測(cè)量不確定度。如果模型是線(xiàn)性的，輸入量為高斯分布，而且明確輸入量之間的相關(guān)性。這種情況下，GUM是無(wú)與倫比的。對(duì)于非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)模型，GUM使用高階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法擴(kuò)展了GUM的可評(píng)定測(cè)量不確定度的范圍，但是泰勒級(jí)數(shù)近似計(jì)算操作性不強(qiáng)[2]。使用解析方法是最準(zhǔn)確的方法，解析方法被認(rèn)為是困難的方法。在Maple軟件環(huán)境下，很多現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題可以得到結(jié)果。過(guò)于復(fù)雜的模型，通過(guò)精確計(jì)算某些特征量可以判斷其他方法的精確度。MCM[2]考慮了輸入量的概率密度函數(shù)(PDF)，就是輸入量的分布。MCM提供豐富的信息，通過(guò)測(cè)量模型Y=f(X)=f(X1,…,XN)傳播輸入量X的PDF(而不是這些量的估計(jì)值的測(cè)量不確定度)以獲得輸出量Y的PDF。從輸出量Y的PDF，可以直接獲取包含區(qū)間以及其他的統(tǒng)計(jì)信息。

2 Maple的統(tǒng)計(jì)工具包簡(jiǎn)介

Maple軟件是“楓葉之國(guó)”加拿大的滑鐵盧大學(xué)開(kāi)發(fā)的數(shù)學(xué)符號(hào)計(jì)算軟件。在Maple、Mathematica、Matlab以及Mathcad四大數(shù)學(xué)軟件中以符號(hào)計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)。Maple提供眾多的函數(shù)、命令。統(tǒng)計(jì)工具包使用最先進(jìn)的符號(hào)計(jì)算法，為概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)等統(tǒng)計(jì)方面提供140多個(gè)函數(shù)，為Maple在處理統(tǒng)計(jì)方面的問(wèn)題提供強(qiáng)大的支持。使用Maple的統(tǒng)計(jì)工具包處理測(cè)量不確定度問(wèn)題，我們可以看出Maple軟件的強(qiáng)大功能。

3 Maple在測(cè)量不確定度評(píng)定中的應(yīng)用

3.1 不同均勻合成[3]

由上面的結(jié)果我們知道Maple提供更加準(zhǔn)確的結(jié)果，得到的包含區(qū)間是[-17.02,17.02]。準(zhǔn)確的數(shù)值Maple也可以計(jì)算出來(lái)。上面我們發(fā)現(xiàn)包含區(qū)間端值互為相反數(shù)，是否隱含Y的PDF為對(duì)稱(chēng)函數(shù)？同樣可以使用強(qiáng)大的Maple軟件得到Y(jié)的準(zhǔn)確PDF(gY(x))如下：

從上面的函數(shù)我們可以看出Y的PDF的對(duì)稱(chēng)性。

3.2 簡(jiǎn)單的指數(shù)模型

Y=7X,X∝N(0,1)。這種模型是不適合使用GUM的，Y的期望值也出現(xiàn)錯(cuò)誤。使用MCM計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)Y的標(biāo)準(zhǔn)差出現(xiàn)波動(dòng)，Y的期望值還是能夠比較好收斂的。如下現(xiàn)實(shí)中的兩次的MCM模擬值(95%置信概率的包含區(qū)間用2.5%、97.5%代表的分位數(shù)表示)：1)均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及包含區(qū)間分別為：6.62、41.02、[0.02，45.27]；2)6.61、36.79，[0.02，45.36]。下面用Maple將Y的均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及包含區(qū)間精確計(jì)算出來(lái)(Maple程序略)。

由此，我們得到Y(jié)的精確的均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及包含區(qū)間為6.64、43.60與[0.0245.33]。從上例我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)于極端集中分布的Y，雖然MCM不能很好模擬標(biāo)準(zhǔn)偏差，但是對(duì)于均值以及包含區(qū)間的模擬卻能達(dá)到比較好的結(jié)果。但是，對(duì)于形如Y=Xn(n>0),X∝N(0,1)或Y=aX(a>0),X∝N(0,1)的模型，如果n或a的數(shù)值比較大時(shí)，MCM模擬的均值以及標(biāo)準(zhǔn)偏差都會(huì)偏離。這可能是此廣義積分不存在的緣故。

3.3 均勻分布與反正弦分布的合成[4-7]

Y=X1+X2;X1∝U[-a,a],X2∝As[-e,e],a>0,e>0。X1,X2獨(dú)立。文獻(xiàn)[5]通過(guò)復(fù)雜的運(yùn)算將Y的概率密度函數(shù)、圖形以及包含因子計(jì)算出來(lái)。這里用Maple可以實(shí)現(xiàn)上面的所有功能。我們發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[5]的包含因子可以修正(Maple程序略)。

包含因子為1.87(95%的置信概率)，與文獻(xiàn)[5]的結(jié)果吻合。文獻(xiàn)[5]使用大量的時(shí)間在此，因?yàn)榘蜃拥挠?jì)算本質(zhì)上是一個(gè)解方程問(wèn)題。通過(guò)改變a與e的值，同時(shí)改變置信概率我們得到一系列的數(shù)值以制成通用的表格。對(duì)于與文獻(xiàn)[4]，我們同樣可以采用此方法計(jì)算得出。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)工具包的PDF函數(shù)，我們可以計(jì)算得出Y的概率密度函數(shù)，從而作出他們的圖像。如圖1所示。

3.4 質(zhì)量校準(zhǔn)[2，7]

質(zhì)量校準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型：

100000

mR,C∝N(100000,0.050);δmR,C∝N(1.234,0.020);ρa(bǔ)∝U[1.10,1.30];ρW∝U[7000,9000];ρR∝U[7950,8050].各自變量相互獨(dú)立。

此模型過(guò)于復(fù)雜，Maple軟件也不能使用符號(hào)計(jì)算得到測(cè)量不確定度。但是Maple計(jì)算Y的均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差是可行的。通過(guò)精確計(jì)算Y的均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)給MCM計(jì)算的數(shù)值提供一定的參考。Maple可以使用Sample命令實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬。同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)Maple數(shù)值模擬與一般軟件的不同之處在于其可以直接通過(guò)模型仿真數(shù)據(jù)，這樣可以減少儲(chǔ)存空間。對(duì)于比較多的自變量更能體現(xiàn)其優(yōu)點(diǎn)(Maple程序略)。

由以上的結(jié)果我們可以發(fā)現(xiàn)精確的均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.23400與0.075480；仿真計(jì)算得到的均值與標(biāo)準(zhǔn)偏差為1.23399與0.075486。這樣我們可以比較肯定地說(shuō)明仿真的結(jié)果可以接受。最后我們得到Y(jié)的95%置信概率的包含區(qū)間為[1.0843，1.3836]，區(qū)間較[1.0834，1.3825][8]略寬。同樣可以使用Maple的Histogram命令作出Y的概率密度圖像(圖2)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)Maple軟件用解析方法與改進(jìn)的MCM

圖1 均勻分布與反正弦分布的合成分布密度

圖2 Y的分布密度

成功解決大部分測(cè)量不確定度的精確評(píng)估，同時(shí)通過(guò)解析方法可以判斷其他方法的精確度。對(duì)于異常復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，Maple也可以應(yīng)用蒙特卡洛法評(píng)估測(cè)量不確定度。而且Maple的命令更為簡(jiǎn)潔、精確。Maple能夠定制不同的分布、處理離散的分布。對(duì)于某些特定的分布合成，通過(guò)Maple可以制成有關(guān)包含因子的表格。這樣對(duì)GUM的運(yùn)用有很大的實(shí)用意義。使用解析方法，包含區(qū)間的獲取可以看作一個(gè)復(fù)雜方程的求解問(wèn)題，Maple能夠很好勝任。Maple的解析方法的最大缺陷是不能處理有關(guān)相關(guān)變量的測(cè)量不確定度問(wèn)題。當(dāng)然，這問(wèn)題可以使用蒙特卡洛法模擬仿真。使用Maple提供的解析方法以及改進(jìn)的MCM為評(píng)定測(cè)量不確定度評(píng)估提供可行的路徑，可作為GUM的有力補(bǔ)充。

[1] JJF 1059.1—2012測(cè)量不確定度評(píng)定與表示[S].北京：中國(guó)質(zhì)檢出版社

[2] 周庚桃.用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度[M].北京：中國(guó)質(zhì)檢出版社，2013

[3] 劉智敏.用MC仿真計(jì)算不確定度[J].中國(guó)計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，16(1)：1-7

[4] 劉智敏.不確定度與分布合成[J].物理實(shí)驗(yàn)，1998，19(5)：17-19

[5] 林世曾.均勻分布與反正弦分布的誤差合成[J].計(jì)量技術(shù)，1996(5)：36-39

[6] 劉智敏.實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可中的不確定度和統(tǒng)計(jì)分析[M].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2007

[7] 甘曉川，周鑫，赫明釗，葉孝佑.一種不確定度的卷積評(píng)定方法[J].計(jì)量技術(shù)，2012(4)：3-6

[8] JJF 1059.2—2012用蒙特卡洛法評(píng)定測(cè)量不確定度[S].北京：中國(guó)質(zhì)檢出版社

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.3.21