四層介質(zhì)平板波導(dǎo)中TM波的矩陣形式及其模式本征方程

桑志文

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院,江西上饒334001)

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四層介質(zhì)平板波導(dǎo)中TM波的矩陣形式及其模式本征方程

桑志文

(上饒師范學(xué)院 物理與電子信息學(xué)院,江西上饒334001)

首先從平板波導(dǎo)的基礎(chǔ)理論出發(fā)，得到三層平板波導(dǎo)層內(nèi)TM波的轉(zhuǎn)移矩陣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展,推導(dǎo)出四層平板波導(dǎo)中的TM波的矩陣形式及其模式本征方程。

平板波導(dǎo)；TM波；矩陣形式；本征方程

利用多層平板介質(zhì)傳播光信息，其最大優(yōu)勢(shì)是容量大，并且平板波導(dǎo)在薄膜光學(xué)、電光調(diào)制等方面具有廣泛的應(yīng)用。利用轉(zhuǎn)移矩陣的形式表示光波在多層平板介質(zhì)中傳播，其意義簡(jiǎn)單明了。M.玻恩和E.沃耳夫利用特征矩陣求解了多層薄膜的透射和反射問(wèn)題[1]；A.Yariv等利用矩陣討論了透鏡或似透鏡介質(zhì)的傳輸問(wèn)題[2]；曹莊琪利用波動(dòng)方程的特解，構(gòu)造出轉(zhuǎn)移矩陣[3]。本文從平板波導(dǎo)的基礎(chǔ)理論出發(fā)，推導(dǎo)出四層介質(zhì)平板波導(dǎo)中TM波的矩陣形式及其模式本征方程。

1 介質(zhì)平板波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)

介質(zhì)平板波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中折射率為n1的為波導(dǎo)層，折射率為n0的為襯底，折射率為n2的為覆蓋層，他們構(gòu)成了簡(jiǎn)單的三層介質(zhì)平板波導(dǎo)。薄膜的厚度可與光波長(zhǎng)比較，為μm量級(jí)。其中，折射率有n1>n0>n2。如果n2=n0，則該平板波導(dǎo)是對(duì)稱(chēng)的，如果n2≠n0，則該平板波導(dǎo)是非對(duì)稱(chēng)的[3]。

2 非對(duì)稱(chēng)三層介質(zhì)平板波導(dǎo)中TM導(dǎo)模的場(chǎng)分布

如圖1所示，設(shè)光沿著Z方向傳播，傳播常數(shù)為β，對(duì)于TM偏振的(即磁場(chǎng)垂直于波陣面法線(xiàn)和分界面法線(xiàn)構(gòu)成的入射面)的導(dǎo)模，磁場(chǎng)H=Hy，滿(mǎn)足波動(dòng)方程[3,6-7]：

(1)

式中，k0=ω(ε0μ0)1/2=2π/λ是真空中的傳播常數(shù)(或稱(chēng)波數(shù))，λ為光在真空中的波長(zhǎng)。ε0和μ0分別為真空中介電常數(shù)和真空磁導(dǎo)率。nj為介質(zhì)的折射率。在波導(dǎo)層(n1)內(nèi)場(chǎng)形成正弦曲線(xiàn)函數(shù)和余弦曲線(xiàn)函數(shù)的疊加，在覆蓋層(n2)和襯底(n0)中，場(chǎng)是指數(shù)衰減的。其磁場(chǎng)的分布表示為[4]：

(2)

將上式用矩陣形式表示，則有：

(3)

(4)

(5)

其中MTM為三層介質(zhì)平板波導(dǎo)中TM波的轉(zhuǎn)移矩陣，它僅與區(qū)間的折射率分布有關(guān)，與區(qū)間(0，h)外的折射率分布無(wú)關(guān)。

3 非對(duì)稱(chēng)四層平板波導(dǎo)中TM波的矩陣形式及其模式本征方程

圖2為非對(duì)稱(chēng)四層平板波導(dǎo)的折射率分布圖，其中折射率為n1，厚度為h1的區(qū)域是約束電磁場(chǎng)能量的導(dǎo)波層，覆蓋層和襯底的折射率分別為n0和n3，厚度為h2，折射率為n2的區(qū)域在一定條件下也能約束電磁場(chǎng)能量(n1>n2>n3>n0)。

如圖2所示，設(shè)光沿Z方向傳播，傳播常數(shù)為β，對(duì)于TM波的場(chǎng)分布為：

(6)

在襯底與覆蓋層中磁場(chǎng)呈指數(shù)衰減。由轉(zhuǎn)移矩陣?yán)碚揫3]，可推得，此時(shí)平板波導(dǎo)的磁場(chǎng)分布方程為：

(7)

(8)

(9)

(10)

利用磁場(chǎng)在x=0,x=h1和x=h1+h2界面上連續(xù)，可得其模式本方程為：

(11)

4 結(jié)束語(yǔ)

從簡(jiǎn)單的非對(duì)稱(chēng)三層板波導(dǎo)出發(fā)，利用其波動(dòng)方程以及其邊界條件，導(dǎo)出非對(duì)稱(chēng)三層平板波導(dǎo)的轉(zhuǎn)移矩陣形式，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步推導(dǎo)出非對(duì)稱(chēng)四層平板波導(dǎo)的轉(zhuǎn)移矩陣和模式本征方程。由此我們可以更加清晰地了解非對(duì)稱(chēng)四層平板波導(dǎo)中磁場(chǎng)的分布規(guī)律，在波導(dǎo)層內(nèi)磁場(chǎng)以正弦或余弦規(guī)律分布，為了解多層非對(duì)稱(chēng)的平板波導(dǎo)中磁場(chǎng)分布提供了理論依據(jù)。

[1] 波恩M,沃爾夫E.光學(xué)原理[M].北京：科學(xué)出版社,1978.

[2]A.Yariv.QuantumElectronics. 2nded[M].NewYork:Wiley&Sons,1964.

[3] 曹莊琪著.導(dǎo)波光學(xué)中的轉(zhuǎn)移矩陣方法[M].上海：上海交通大學(xué)出版社,2000.

[4] 桑志文,羅開(kāi)基，況慶強(qiáng).三層平板波導(dǎo)中TM波的轉(zhuǎn)移矩陣和模式本征方程 [J].上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),2004,24(3):29-32.

[5] 曹莊琪編著.導(dǎo)波光學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社,2007.

[6] 方俊鑫，曹莊琪，楊傅云.光波導(dǎo)技術(shù)物理基礎(chǔ)[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，1987.

[7] 桑志文.三層介質(zhì)平板波導(dǎo)TE波的轉(zhuǎn)移矩陣和模式本征方程[J]. 上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009，29(6)：32—35.

The Transfer Matrix and the Mode Eigenvalue Equation of TM Wave in the Four-layers Plane Waveguide

SANG Zhi-wen

(School of Physics & Electronics, Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001，China)

From the first slab waveguide theory, acquiring the TM wave of the wave transfer matrix in the three layers waveguide field.Deduced from on the basis of the three layers planar transfer matrix.equation, it expands the TM wave transfer matrix form and mode eigenvalue equation in the four layers planar waveguide field.

slab waveguide; TM wave; matrix; eigenvalue equation

2015-11-13

江西省落地計(jì)劃項(xiàng)目(KJLD12046)

桑志文(1962-)，男，江西玉山人，副教授，碩士，主要從事導(dǎo)波光學(xué)與光纖通信方面的研究。E-mail:sangzhiwen@126.com

O441.1

A

1004-2237(2015)06-0041-03

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.008