隨機(jī)利率對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶的影響分析

王茶香

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001)

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隨機(jī)利率對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶的影響分析

王茶香

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西上饒334001)

養(yǎng)老金個(gè)人賬戶由于積累時(shí)間長(zhǎng)，受利率的影響非常大，而利率又是經(jīng)常變動(dòng)的，原有的關(guān)于養(yǎng)老個(gè)人賬戶利率影響的討論大都集中在固定利率上，與實(shí)際會(huì)有很大的偏差。本文把固定利率推廣到隨機(jī)利率，探討了隨機(jī)利率對(duì)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金積累額的影響，更有利于決策者對(duì)養(yǎng)老金政策進(jìn)行決策。

養(yǎng)老金；個(gè)人賬戶；隨機(jī)利率；維納過程

隨著我國(guó)20世紀(jì)人口老齡化現(xiàn)象越來越嚴(yán)重，原有的現(xiàn)收現(xiàn)付籌資模式的養(yǎng)老保險(xiǎn)體系變得越來越難以為繼，在此現(xiàn)狀下我國(guó)對(duì)原有的養(yǎng)老保險(xiǎn)制度進(jìn)行了試點(diǎn)改革，在試點(diǎn)改革成功的基礎(chǔ)上建立起了具有中國(guó)特色的養(yǎng)老保險(xiǎn)制度——社會(huì)統(tǒng)籌與個(gè)人賬戶相結(jié)合的部分積累制。職工退休后按月領(lǐng)取的養(yǎng)老金由兩部分構(gòu)成：一部分是個(gè)人賬戶養(yǎng)老金(從養(yǎng)老金個(gè)人賬戶中支取)和另一部分是基礎(chǔ)養(yǎng)老金(從社會(huì)統(tǒng)籌中支取)。制度規(guī)定基礎(chǔ)養(yǎng)老金的月標(biāo)準(zhǔn)是以當(dāng)?shù)厣夏甓仍趰徛毠ぴ缕骄べY和本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資的平均值為基數(shù)，只要繳納養(yǎng)老金滿1年就發(fā)給1%，這部分養(yǎng)老金體現(xiàn)了社會(huì)保險(xiǎn)傳統(tǒng)意義上的互濟(jì)性、分散風(fēng)險(xiǎn)性和社會(huì)保障性；個(gè)人賬戶養(yǎng)老金是個(gè)人在工作期間繳存的養(yǎng)老金積累額除以制度設(shè)計(jì)的計(jì)發(fā)月數(shù)所得，這部分養(yǎng)老金強(qiáng)調(diào)了職工的自我保障性和激勵(lì)性(多繳多得)。制度設(shè)計(jì)之初個(gè)人賬戶養(yǎng)老金大致占了退休后職工所領(lǐng)取養(yǎng)老金約三分之二的比重(從替代率來核算)，因此，個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的多少對(duì)職工退休后的生活有著舉足輕重的作用。職工參加工作后個(gè)人賬戶所繳存的養(yǎng)老金通常要經(jīng)歷30至40年時(shí)間的積累，這中間個(gè)人賬戶養(yǎng)老金不可避免會(huì)面臨通貨膨脹風(fēng)險(xiǎn)和利率風(fēng)險(xiǎn)。在制度設(shè)計(jì)時(shí)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的記賬利率是參考銀行同年一年期定期存款利率，銀行利率不是一成不變的，而利率的變動(dòng)對(duì)期末付一單位年金的影響如下表所示：

表1 利率、時(shí)間對(duì)期末付一單位年金的影響

從表1的測(cè)算可以看出：期末付1單位的年金，當(dāng)利率為2%、4%、6%、8%和10%時(shí)，經(jīng)過45年積累比無利率時(shí)分別增加了0.6倍、1.7倍、3.7倍、7.6倍、和15.0倍，同時(shí)當(dāng)利率為10%時(shí)，只要經(jīng)過15年該年金就能增加1.12倍，經(jīng)過35年和45年的積累就能比無利率時(shí)增加6.74倍和15.0倍。當(dāng)利率分別為2%，4%，6%、8%、10%時(shí)，經(jīng)過65年、33年，23年、17年和14年就能比無利率時(shí)年金增長(zhǎng)一倍，可見利率對(duì)年金的影響非常大。個(gè)人賬戶養(yǎng)老金是每個(gè)月從工資中扣除一定比例的數(shù)額累積而成，所以個(gè)仍賬戶養(yǎng)老金的積累實(shí)質(zhì)就是年金的積累。因此利率對(duì)個(gè)人賬戶的影響非常大。業(yè)界對(duì)個(gè)人賬戶累計(jì)值的討論多是基于固定利率，且多集中在討論個(gè)人賬戶的替代率問題，而利用隨機(jī)利率對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶進(jìn)行分析的比較少，如：常彩利用MA(q)模型對(duì)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金替代率進(jìn)行了探討，但從中央銀行公布的數(shù)據(jù)來看，從1990到2014年的25年間利率一共變動(dòng)了31次，變動(dòng)幅度從最高的10.08%到最低的1.98%，變動(dòng)幅度非常大，變動(dòng)頻率也很快，基本上每年平均要變動(dòng)一次以上。因此建立隨機(jī)利率模型對(duì)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金累積額進(jìn)行討論，具有較高的理論價(jià)值和實(shí)踐價(jià)值。

1 模型的建立

設(shè)R(t)=δt+λW(t)，其中W(t)為所取定的隨機(jī)過程，λ為參數(shù)，當(dāng)λ=0時(shí)，利率為固定利率。隨機(jī)過程W(t)可為維納過程，高斯過程與Poisson過程等，當(dāng)λ不等于零時(shí)，稱其為隨機(jī)過程函數(shù)，在利息力累積函數(shù)中引入了隨機(jī)過程，此時(shí)個(gè)人賬戶的累積值就稱為隨機(jī)利率下的精算模型。

現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論認(rèn)為利率變化具有隨機(jī)性特征，現(xiàn)實(shí)情況也如此，這里所說的利率隨機(jī)性特征(馬爾科夫性)是指無記憶性，即過去利率不會(huì)對(duì)未來利率產(chǎn)生任何影響，而一般的金融數(shù)學(xué)文獻(xiàn)大多以布朗運(yùn)動(dòng)來對(duì)隨機(jī)利率進(jìn)行刻畫，所以本文也就在布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上建立個(gè)人賬戶的累積值的精算模型。

設(shè)利息力函數(shù)隨機(jī)變量為R(t)=δt+λW(t) 0t，其中W(t)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程，δ，λ≥0均為常數(shù)，其中δ是常數(shù)利息力，λ為參數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)維納過程W(t)具有以下性質(zhì)：[3]

(1)有限維維納過程分布為正態(tài)分布

(2)維納過程具有馬爾科夫特征；

(3)均值函數(shù)m(t)=E(W(t))=0，自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)=min(t1,t2)

由上面的討論可知Zi=eR(n-i+1)-R(n-i)則

Ln(Zi)=R(n-i+1)-R(n-i)=δ+λ[W(n-i+1)-W(n-i)] 可得出

從上式可知隨機(jī)變量Ln(Zi)服從參數(shù)為δ和λ2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布即Ln(Zi)～N(δ，λ2)，

則有：

所以個(gè)人賬戶養(yǎng)老金累積值為

以上將布朗運(yùn)動(dòng)引入利息力累積函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)建了隨機(jī)利率以布朗運(yùn)動(dòng)建模的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金累積值精算模型。利用上述表達(dá)式可以計(jì)算個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的累積值，與以往固定利率下的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金累積值相比，隨機(jī)利率模型具有抗利率變化的特性，具有實(shí)用性。以上的隨機(jī)過程W(t)還可以用高斯過程或是其他隨機(jī)過程來替代，可以得到其他的隨機(jī)利率模型的個(gè)人賬戶養(yǎng)老金累積函數(shù)。

2 算例

設(shè)某參保人開始繳納養(yǎng)老金時(shí)以工資的100%為繳納基數(shù)，繳費(fèi)比例為現(xiàn)行社會(huì)上統(tǒng)一的所領(lǐng)取工資的11%即c=0.11，每年工資增長(zhǎng)比例為10%即g=0.10，參加工作時(shí)年薪為w，隨機(jī)過程中參數(shù)取δ=0.05或0.02,λ=0或0.1或0.2，利用上述改進(jìn)的公式計(jì)算出各年個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的累積值如表2所示。

表2 不同參數(shù)下養(yǎng)老金個(gè)人賬戶的累積值

從以上的測(cè)算可以看出，相同條件下隨機(jī)利率模型比固定利率模型計(jì)算出來的養(yǎng)老金個(gè)人賬戶積累值要大，在隨機(jī)利率函數(shù)所占比重相同的條件下，固定利率越大隨機(jī)利率與固定利率積累值之差越來越大；隨機(jī)利率相同的條件下，隨著固定利率的增大兩者的差距也在增大，比如同樣積累35年，當(dāng)固定利率為5%，λ=0.1和λ=0.2時(shí)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶兩種利率模型核算出的累積值差距為3.66w和17.19w；擴(kuò)大了將近5倍，當(dāng)λ=0.1時(shí)，固定利率為2%和5%時(shí)，兩者的差距由原來的2.08w擴(kuò)大到3.66w,數(shù)值增大了將近2倍。

3 結(jié)論

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，利率處于不斷變化中，利用隨機(jī)利率模型對(duì)養(yǎng)老金個(gè)人賬戶進(jìn)行測(cè)算更符合實(shí)際，也更貼近現(xiàn)實(shí)。利用隨機(jī)利率模型計(jì)算的個(gè)人賬戶累積值比固定利率模型計(jì)算出來的養(yǎng)老金個(gè)人賬戶累積值要大,差距隨著固定利率的增大一直在增大,這種差距也隨著積累時(shí)間的延長(zhǎng)而增大。當(dāng)積累時(shí)間達(dá)到30年時(shí)，固定理論和隨機(jī)利率下，養(yǎng)老金個(gè)人賬戶的積累值可以差距將近9年的工資額?，F(xiàn)實(shí)生活中銀行一年期利率是經(jīng)常變動(dòng)的，而個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的記賬利率就是參考同期一年期定期利率，一般職工在職期間至少工作30年退休，也即個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的累積也至少有30年，因此利用隨機(jī)利率核算個(gè)人賬戶養(yǎng)老金的積累值比用固定利率核算更有利于決策者進(jìn)行決策。

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Analysis of the Impact of Stochastic Interest Rates on Individual Pension Accounts

WANG Cha-xiang

( School of Mathematics & Computer Science， Shangrao Normal University, Shangrao Jiangxi 334001,China)

Since the money in individual pension accounts will accumulation for a long time, so the balance of the pension account is significantly affected by interest rates. However, the rates change frequently. While most previous researches emphasize on the influence of fixed interest rates on individual pension accounts, this paper analyzes the impact of stochastic interests rates on individual pension account balance, which is conducive for decisions-makers to make pension policies.

pension;individual accounts;stochastic interest rates;wiener process

2015-11-26

王茶香(1970-)女，江西上饒人， 副教授，碩士，主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、保險(xiǎn)與精算。E-mail:wcx197198@163.com

F842.67

A

1004-2237(2015)06-0006-04

10.3969/j.issn.1004-2237.2015.06.002