四維不定空間中的一類曲面

關紅鈞,聶 穎

(沈陽大學 師范學院,遼寧 沈陽 110044)

四維不定空間中的一類曲面

關紅鈞,聶 穎

(沈陽大學 師范學院,遼寧 沈陽 110044)

研究了四維偽雙曲空間中的一類Marginally Trapped洛倫茲曲面,對具有平行平均曲率向量的這類曲面進行了分類,一共得到了6類曲面,為黑洞理論的研究提供了一定的理論支持.

洛倫茲曲面; Marginally Trapped 曲面; 平均曲率

具有平行平均曲率向量的子流形在微分幾何、調(diào)和映射以及物理學中具有重要的作用.早在20世紀70年代,Chen分類了歐氏空間中具有平行平均曲率向量的曲面[1].在文獻[2-3]中,偽歐氏空間中具有平行平均曲率向量的類空曲面被完全分類.由于洛倫茲曲面的度量是不定的,對其進行研究更復雜一些.偽歐氏空間中具有平行平均曲率向量的洛倫茲曲面已經(jīng)被完全分類了,見文獻[4-5].

1 預備知識

1.1 基本公式

(1)

(2)

式中,h,A和D分別為第二基本形式、形狀算子以及法聯(lián)絡.第二基本形式h和形狀算子A具有如下關系:

(3)

平均曲率為

Gauss方程和Codazzi方程分別為

(4)

記RD為法曲率張量:

則Ricci方程為

1.2 光 錐

1.3 活動標架

(5)

(6)

(7)

令ω(e1)=ω1,ω(e2)=ω2.類似地,存在一形式φ,使得:

(8)

1.4 引 理

g=-m2(x,y)(dx?dy+dy?dx).

其中,m(x,y)為正函數(shù),且曲面的Levi-Civita聯(lián)絡為:

(9)

曲面的高斯曲率為

(1) φ=0,這意味著RD=0;

(2) 〈H,H〉是常數(shù).

2 主要定理及其證明

(2) 曲率為-1的洛倫茲曲面,定義為

其中,p(y)是位于光錐LC中的曲線,q(y)是滿足

的零曲線.

(3) 曲率為-1的洛倫茲曲面且位于

中,定義為

其中:

(6) 平坦的洛倫茲曲面,定義為

由于M具有平行平均曲率向量H,由引理2知

(10)

(11)

其中,α,β,γ,δ是實值函數(shù),則:

(12)

由方程(11)和方程(12) ,得到

(13)

情況Ⅰ:K≠-1.

此時,α,β,δ,γ≠0.由式(7)和式(11)知Codazzi方程退化為

(14)

由式(14) 和αδ=βγ知

則存在一個非零實數(shù)c,滿足:

(15)

由式(7)和式(14)知

則存在一個坐標系{x,y},使得

且

(16)

(17)

此外,由式(11)、式(12)、式(15)和式(16),得:

(18)

(19)

(20)

此方程組的可積性條件滿足Poisson方程:

(21)

另外,若令

則:

且

(22)

所以

從而

如果M是非平坦的,那么可以得到定理中的(5).

(23)

(24)

解微分方程(24)得

L=c1sin(2u)+c2cos(2u)+c3υ+c4υ2+c5,

情況Ⅱ:K=-1.

由式(13)知αδ=βγ=0,且M是曲率為-1的洛倫茲曲面.由引理1,在曲面M上選取坐標系{x,y},則M的度量張量為

(25)

曲面M的Levi-Civita聯(lián)絡為

(26)

且式(18)為

(27)

由式(26)和式(27)知

且滿足:

(28)

(29)

(30)

因此,存在函數(shù)p(x)和q(y),使得α=p(x)×(x-y)2,γ=q(y)(x-y)2,則式(28)和式(30)為

(31)

解方程組(31)得

其中

由式(29)知c2-c3-2e3=0.重新選擇適當?shù)某跏紬l件,可以得到定理中的(1).

2)δ=γ=0.在這種情況下,式(30) 成為

解方程,得到

(32)

知:

即得到定理中的(2).

3)α=β=0.交換x和y,也能得到定理中的(2).

另外,式(28)～式(30) 的可積性條件為:

(33)

所以,存在函數(shù)c1(x)和c2(y),使得

(34)

則式(28)和式(30)變成

(35)

解方程組(35)得

(36)

式中,f(x,y)是位于光錐LC(c0)中的函數(shù),且滿足

(37)

則式(37)表明

(38)

因此,式(36)和式(38)表明

(39)

這就是定理中的(3).

3 結 語

[1] Chen B Y.Surfaces with Parallel Mean Curvature Vector[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1972,78(5):709-710.

[2]ChenBY.ClassificationofSpatialSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinPseudo-EuclideanSpacesofArbitraryDimension[J].JournalofMathematicalPhysics,2009,50(4):1-14.

[3]ChenBY.CompleteClassificationofSpatialSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinArbitraryNon-flatPseudo-RiemannianSpaceForms[J].CentralEuropeanJournalofChemistry,2009,7(3):400-428.

[4]ChenBY.CompleteClassificationofLorentzSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinArbitraryPseudo-EuclideanSpace[J].KyushuJournalofMathematics,2010,64(2):261-279.

[5]FuY,HouZH.ClassificationofLorentzianSurfaceswithParallelMeanCurvatureVectorinPseudo-EuclideanSpaces[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2010,371(1):25-40.

[6] 張秀玲,臧佳音,樊紅敏,等.改進的萬有引力搜索算法[J].沈陽大學學報:自然科學版,2014,26(6):468-472.

(ZhangXiuling,ZangJiayin,FanHongmin,etal.ImprovedGravitationalSearchAlgorithm[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience,2014,26(6):468-472.)

[7]ChenBY.DependenceoftheGauss-CodazziEquationsandtheRicciEquationofLorentzSurface[J].PublicationesMathematicaeDebrecen,2009,74(3/4):341-349.

【責任編輯: 李 艷】

A Kind of Surface in 4-Dimensional Indefinite Space Form

GuanHongjun,NieYing

(Normal School,Shenyang University,Shenyang 110044,China)

A kind of Marginally Trapped Lorentz surfaces in 4-dimensional pse-hyperbolic space is studied.The surface with parallel mean curvature vector is classified,six kinds of surfaces are got,which could provide a theoretical support for the study of black hole theory.

Lorentz surface; Marginally Trapped surface; mean curvature

2015-01-28

遼寧省教育廳一般項目(L201482).

關紅鈞(1968-),女,遼寧沈陽人,沈陽大學副教授.

2095-5456(2015)04-0340-05

O 186

A