矩陣分離度的新上界

羅紅娟，李耀堂

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昆明 650091)

矩陣分離度的新上界

羅紅娟，李耀堂*

(云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昆明 650091)

研究了矩陣分離度的上界估計問題，得到了兩個新的上界，改進(jìn)了近期文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果，并用算例對所得理論結(jié)果進(jìn)行了說明。

矩陣;特征值;分離度;上界

矩陣的數(shù)值特征是矩陣的重要性質(zhì)，有著廣泛的應(yīng)用背景，一直以來是人們研究的熱點問題。1956年Mirsky在［1］中給出了矩陣特征值之間最大距離的定義，稱其為矩陣A的分離度(spread)，并給出了矩陣的分離度的兩個上界。由于矩陣的分離度在組合優(yōu)化中的重要應(yīng)用，隨后被人們關(guān)注和研究，相繼取得了一些有意義的結(jié)果。

記Cn×n為所有n×n階復(fù)矩陣所構(gòu)成的集合，In為單位矩陣。設(shè)A=(aij)∈Cn×n，分別記ρ(A)，r(A)，‖A‖F(xiàn)，trA，σ(A)為矩陣A的譜半徑、秩、F－范數(shù)、跡和譜。將矩陣A進(jìn)行分塊為如下形式

為了方便將Ak×k，Bk×(n－k)，C(n－k)×k和D(n－k)×(n－k)分別簡寫為Ak，Bk，Ck和Dk。

2012年Wu，Zhang和Liao在［2］中給出了矩陣分離度的三個上界:

2013年R.Sharma，R.Kumar在［3］中對(1)，(2)兩式進(jìn)行了改進(jìn)，給出了矩陣分離度的兩個新上界:

以及

同年，Zhang，Yang在［4］中給出了矩陣分離度的三個上界，其中(7)式和(8)式分別是(4)式和(5)式的改進(jìn)。

其中l(wèi)=min{r(A)+1，n}，

這里我們記A(n)=A，Bn=0，Cn=0。

本文繼續(xù)矩陣分離度上界的研究，給出其兩個新的上界估計式，它們分別是(4)式、(7)式和(9)式的改進(jìn)。

1 預(yù)備知識

本節(jié)我們給出幾個重要引理，以備后用。

引理1.1［5］設(shè)A∈Cn×n，若λ1，…，λn是A的n個特征值，則

引理1.2 設(shè)A∈Cn×n，且有如(1)的分塊形式，若λ1，…，λn是A的n個特征值，則

證明:當(dāng)‖Bk‖F(xiàn)‖Ck‖F(xiàn)≠0，令

故A和A(k)相似，因此λ1，λ2，…，λn也是A(k)的特征值。

當(dāng)‖Bk‖F(xiàn)‖Ck‖F(xiàn)=0時，不失一般性假設(shè)‖Ck‖F(xiàn)=0。對于矩陣Ak，Dk，由Schur酉三角化定理知，存在酉矩陣U1∈Ck×k和U2∈C(n－k)×(n－k)，使得

所以矩陣A和A(k)有相同的特征值。

由上面討論知λ1，λ2，…，λn也是矩陣A(k)的特征值，將引理1.1應(yīng)用到A(k)得

再由k(1≤k≤n－1)的任意性即得(10)式成立。

引理1.3［6］設(shè)A∈Cn×n有如下分塊形式:

那么

2 矩陣分離度的新上界

下面，我們給出矩陣分離度的兩個新上界。

定理2.1 設(shè)矩陣A∈Cn×n，且有如(1)的分塊形式，則

其中，l=min{r(A)+1，n}。

證明:首先證明不等式

設(shè)λ1，λ2，…，λn是矩陣A的所有特征值。下面分兩種情況進(jìn)行證明:

(Ⅰ)當(dāng)r(A)+1=n+1時

于是由拉格朗日恒等式得

因此

(Ⅱ)當(dāng)r(A)+1≤n時，設(shè)λ1，λ2，…，λm是矩陣A的所有非零特征值。若m≥2，根據(jù)拉格朗日恒等式以及(Ⅰ)的證明過程有

又因為m≤r(A)，故

所以

由上式得

因此

即(12)式成立。由(12)式和引理1.2即得

故有

注2.1:因為

所以

由此知

再由引理1.2和(12)式得

此不等式表明定理2.1的(11)式所給上界優(yōu)于(9)式所給上界。

此不等式表明定理2.1的(11)式所給上界優(yōu)于(7)式所給上界。

下面給出矩陣分離度的另一個上界，它是對(4)式的改進(jìn)。

定理2.2 設(shè)A∈Cn×n有如下分塊形式:

則

其中

證明:因為

于是由引理1.3得

3 數(shù)值算例

本節(jié)給出兩個數(shù)值例子說明本文結(jié)論的有效性。

例3.1 設(shè)

表1 定理2.1與文［4］結(jié)果比較表

從表1知，當(dāng)矩陣的跡為零時(矩陣A)，(7)，(9)及定理2.1的(11)為同一個估計式，所以它們的估計結(jié)果一樣。當(dāng)矩陣的跡不為零但r(A)=n－1時(矩陣B)，(7)式和定理2.1的(11)的估計式是一樣的，此時由定理2.1的(11)和(7)式得出的估計結(jié)果要比由(9)式得出的估計結(jié)果好。但當(dāng)前面兩種情況都不滿足時(矩陣C)，定理2.1的(11)比由(7)，(9)所給的結(jié)果都好。

例3.2 設(shè)

對于矩陣A，應(yīng)用文［2］的估計式(4)所得的估計結(jié)果為s(A)≤16.3118，而應(yīng)用定理2.2的(13)式所得的估計結(jié)果為s(A)≤10.0516。由此知在某些情況下定理2.2的(13)式的估計結(jié)果要優(yōu)于文［2］的估計式(3)的估計結(jié)果。

［1］Mirsky L.The spread of amatrix［J］.Mathematika，1956，3 (2):127－130.

［2］Wu J L，Zhang P P and Liao W S.Upper bounds for the spread of a matrix［J］.Linear Algebra Appl，2012，437 (11):2813－2822.

［3］Sharma R and Kumar R.Remark on upper bounds for the spread of amatrix［J］.Linear Algebra Appl，2013，438(11) :4359－4362.

［4］Zhang PP and Wu Y.Improvements in the upper bounds for the spread of amatrix［J］.Mathematical Inequalities＆Applications，2015，18(1):337－345.

［5］Huang T Z and Wang L.Improving bounds for eigenvalues of complex matrices using traces［J］.Linear Algebra Appl，2007，426:841－854.

［6］廖輝.矩陣特征值的一個改進(jìn)結(jié)果［J］.西南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，35(6):46－49.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

New Upper Bounds of the Spread of A M atrix

LUO Hong－juan，LIYao－tang*

(School of Mathematics and Statistics，Yun'nan University，Kunming 650000，China)

Estimations of upper bound of the spread of amatrix is researched，tow new upper bounds of the spread of amatrix，which improve the corresponding results in recent literatures，are obtained，and the theoretical results are illustrated with examples.

matrix;eigenvalue;spread of amatrix;upper bound

O151.21

A

1004－602X(2015)03－0001－05

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.03.001

2015 -04 -16

國家自然科學(xué)基金資助項目(11361074)

羅紅娟(1989—)，女，陜西咸陽人，云南大學(xué)在讀碩士研究生。 *為通訊作者