間隙環(huán)流對核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響

曲大莊， 金 樂， 周 全， 李夢啟， 賈 鑫

（1.國家核電技術(shù)公司，北京100029；2.哈爾濱動(dòng)力裝備有限公司，哈爾濱150066）

近年來，大型核電主泵電機(jī)多采用水為內(nèi)部冷卻介質(zhì)，如屏蔽電機(jī)和濕繞組電機(jī).與傳統(tǒng)置于空氣中的主泵電機(jī)不同，由于電機(jī)定轉(zhuǎn)子之間充滿了冷卻水，當(dāng)電機(jī)高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子表面將帶動(dòng)冷卻水隨轉(zhuǎn)子一起轉(zhuǎn)動(dòng)形成周向間隙環(huán)流，會對轉(zhuǎn)子的振動(dòng)產(chǎn)生一定的附加影響.鑒于核安全的重要性，深入研究這種間隙環(huán)流對核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)產(chǎn)生的附加影響，對核電站安全可靠運(yùn)行有十分重要的意義.

通常研究間隙環(huán)流對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響主要包含兩方面的工作：一是間隙環(huán)流的動(dòng)力學(xué)特性；二是這種動(dòng)力學(xué)特性對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響.國外學(xué)者［1－4］在該領(lǐng)域無論從理論建模還是試驗(yàn)驗(yàn)證均取得了一些有價(jià)值的研究成果并應(yīng)用于工程實(shí)踐，國內(nèi)學(xué)者［5－8］近年來在該領(lǐng)域也進(jìn)行了非常有益的研究和探索，豐富并推動(dòng)了該領(lǐng)域的發(fā)展.

對于間隙環(huán)流的動(dòng)力學(xué)特性，已取得的研究成果主要是通過能量守恒及攝動(dòng)方法，把間隙環(huán)流對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響以附加質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的形式轉(zhuǎn)化為作用在轉(zhuǎn)子上與轉(zhuǎn)速和結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)的流體激勵(lì)載荷.對于這種動(dòng)力學(xué)特性對轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響，雖然已有許多研究成果，但針對轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性的邊界條件及渦動(dòng)頻率的改變、轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅變化以及相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速等的研究還不夠完善，需要進(jìn)一步深入探討.

筆者根據(jù)文獻(xiàn)［1］中對間隙環(huán)流動(dòng)力學(xué)特性的研究成果，結(jié)合水冷卻核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以兩端簡支的單圓盤轉(zhuǎn)子為振動(dòng)分析模型，研究了間隙環(huán)流對核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響.利用Hurwitz判據(jù)和振動(dòng)系統(tǒng)復(fù)特征值方法給出了轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性的邊界條件以及渦動(dòng)頻率的改變；通過解析求解轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，得到了轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)振幅的變化依據(jù)以及相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速.借助復(fù)模態(tài)理論［9］和有限元分析方法，對一臺實(shí)際核電屏蔽電機(jī)主泵的轉(zhuǎn)子振動(dòng)問題進(jìn)行了數(shù)值模擬，為進(jìn)一步深入研究間隙環(huán)流對核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)影響的機(jī)理提供了理論依據(jù).

1 間隙環(huán)流動(dòng)力學(xué)特性及轉(zhuǎn)子振動(dòng)方程

Antunes等［1］對圖1所示浸沒在流體中的轉(zhuǎn)子進(jìn)行了比較深入的研究.根據(jù)流體在定轉(zhuǎn)子間隙中周向環(huán)流的連續(xù)性和力矩平衡，給出了單位長度上間隙環(huán)流沿轉(zhuǎn)子周向的壓力分布.

圖1 定轉(zhuǎn)子間隙環(huán)流Fig.1 Annular flow around stator

式中：ρ為流體質(zhì)量密度；R 為轉(zhuǎn)子半徑；h 為定轉(zhuǎn)子間 隙；u 為 環(huán) 流 平 均 速 度；Ω 為 轉(zhuǎn) 速；fs、fr分 別 為定、轉(zhuǎn)子表面與流體的摩擦因數(shù).

對于大多數(shù)無初始安裝偏心（ε0＝0）的情況，利用攝動(dòng)法得到壓力分布的零階解

式中：ε為轉(zhuǎn)子偏心率；δ＝h／R，為定轉(zhuǎn)子間隙比.

通過式（2）可以看到，間隙環(huán)流的壓力分布形式在很大程度上取決于間隙比δ的數(shù)值.圖2給出了間隙環(huán)流的壓力分布.由圖2可知，對于較小的間隙比，式（2）表現(xiàn)出類似流體滑動(dòng)軸承［10］的雷諾效應(yīng)；但隨著間隙比的增大，式（2）則逐漸表現(xiàn)出伯努利效應(yīng)，它使轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移導(dǎo)致間隙減小側(cè)的流速增大而壓力降低，使轉(zhuǎn)子振動(dòng)位移進(jìn)一步增大，結(jié)果出現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動(dòng)失穩(wěn)的現(xiàn)象.

圖2 間隙環(huán)流壓力分布Fig.2 Pressure distribution of annular flow

當(dāng)轉(zhuǎn)子在軸心位置發(fā)生小擾動(dòng)時(shí)，對式（2）壓力分布在坐標(biāo)x、y 方向的2 個(gè)分量沿轉(zhuǎn)子周向進(jìn)行積分，可得到作用在轉(zhuǎn)子上由間隙環(huán)流產(chǎn)生的流體載荷［1］

式中：ms為流體附加質(zhì)量；L 為轉(zhuǎn)子長度；ma為間隙環(huán)流的總質(zhì)量.

為從機(jī)理上進(jìn)行研究，可略去結(jié)構(gòu)阻尼，將核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)問題簡化成兩端簡支的單圓盤轉(zhuǎn)子，在質(zhì)量不平衡載荷以及式（3）流體載荷的聯(lián)合作用下，由振動(dòng)理論［11］直接得到轉(zhuǎn)子振動(dòng)的微分方程

式中：m 為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；k 為彈簧剛度；｛fxfy｝T為不平衡質(zhì)量載荷.

由式（4）可見，間隙環(huán)流的動(dòng)力學(xué)特性是以附加質(zhì)量ms、附加阻尼cij和附加剛度kij（i，j＝x，y）的形式對核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)產(chǎn)生附加影響的.按照線性振動(dòng)理論，它包含兩個(gè)方面：一是與齊次解有關(guān)的轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性邊界條件以及渦動(dòng)頻率；二是與特解有關(guān)的質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振動(dòng)幅值及臨界轉(zhuǎn)速.

2 穩(wěn)定性邊界條件及渦動(dòng)頻率

可得到復(fù)特征值s要滿足的代數(shù)方程為

令質(zhì)量比μ＝ma／m，再代入式（3）中各矩陣，有

根據(jù)Hurwitz判據(jù)，使式（6）所描述的振動(dòng)系統(tǒng)周期解處于穩(wěn)定狀態(tài)的充要條件是它的系數(shù)滿足

由于在式（8）中始終有a1＞0，a3＞0，a4＞0，并且對于實(shí)際核電主泵電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，只有當(dāng)間隙比δ非常大且滿足δ3－μδ2－2μf2＞0的條件時(shí)，才會出現(xiàn)a2≤0的情況.因此在通常情況下，若再定義Ωc為失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，可根據(jù)的要求得到判定轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性的邊界條件為

對于摩擦因數(shù)f＝0 的特殊情況，系數(shù)a1＝a3＝0，不能直接利用Hurwitz判據(jù)，但可通過直接求解式（6）的復(fù)特征值

從式（9）可以看到，當(dāng)摩擦因數(shù)f≠0 時(shí)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)的穩(wěn)定性邊界與任何結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)，只要轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速大于轉(zhuǎn)子固有頻率的2 倍時(shí)即出現(xiàn)失穩(wěn).對于摩擦因數(shù)f＝0 的特殊情況，根據(jù)式（11），轉(zhuǎn)子振動(dòng)的穩(wěn)定性邊界大于2倍轉(zhuǎn)子固有頻率，并與質(zhì)量比μ 和間隙比δ 有關(guān).

若令復(fù)特征值s＝σ±jω，其中σ和ω 分別為復(fù)特征值s的實(shí)部和虛部，并定義轉(zhuǎn)速比α＝Ω／ωn、阻尼比γ＝σ／ωn和頻率比αn＝ω／ωn，還可通過直接求解式（6）的復(fù)特征值，并根據(jù)其實(shí)部判定轉(zhuǎn)子振動(dòng)的穩(wěn)定性以及由虛部確定其渦動(dòng)頻率.假定工程上摩擦因數(shù)f＝0.02，圖3給出了對于不同間隙比δ 時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性邊界的變化，其中實(shí)線為第一階振動(dòng)，虛線為第二階振動(dòng).由圖3可以看到，不論間隙比δ如何變化，式（9）始終成立.圖4給出了渦動(dòng)頻率的計(jì)算結(jié)果，其中實(shí)線為第一階振動(dòng)，虛線為第二階振動(dòng).由圖4可以看出，在較大的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子振動(dòng)的渦動(dòng)頻率遠(yuǎn)小于其固有頻率，其原因在于間隙環(huán)流中的附加質(zhì)量ms.由圖4還可以看出，隨著間隙比的不同，轉(zhuǎn)子振動(dòng)存在第一階渦動(dòng)頻率為零的轉(zhuǎn)速，這是一種非周期不穩(wěn)定狀態(tài)，也應(yīng)引起重視.

圖3 不同間隙比下的阻尼比Fig.3 Ratio of damping for different clearance ratios

圖4 不同間隙比下的頻率比Fig.4 Frequency ratio for different clearance ratios

3 質(zhì)量不平衡響應(yīng)的振幅及臨界轉(zhuǎn)速

任何轉(zhuǎn)子都存在不同程度的質(zhì)量不平衡，若將質(zhì)量不平衡的離心力在2 個(gè)坐標(biāo)x、y 方向上的載荷表示為fx＝f0cosΩt及fy＝f0sinΩt，則可將有間隙環(huán)流轉(zhuǎn)子振動(dòng)的質(zhì)量不平衡響應(yīng)表示為

展開上式并代入式（4），再令

可以得到計(jì)算振動(dòng)的質(zhì)量不平衡響應(yīng)振幅的代數(shù)方程為

式中：xc＝Xcosφx；xs＝－Xsinφx；ys＝Y(jié)cosφy；yc＝Y(jié)sinφy；tanφx＝－xs／xc；tanφy＝y(tǒng)c／ys.

通過代數(shù)求解式（14），并根據(jù)式（12）中振幅和相位角的定義有X＝Y(jié)＝Am及φx＝φy＝φm，若再令與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)的等效阻尼比

可得到振幅和初始相位

顯然，間隙環(huán)流以等效阻尼比ξeq的方式對轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡響應(yīng)振幅Am產(chǎn)生影響，它不但與間隙環(huán)流的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且還隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化.

可根據(jù)振幅Am的極值條件確定臨界轉(zhuǎn)速比αc，即令?Am／?α＝0，有

假定工程范圍的摩擦因數(shù)f＝0.02，圖5給出了等效阻尼比ξeq隨不同間隙比δ的變化.從圖5可以看出，等效阻尼比與間隙比成反比、與轉(zhuǎn)速比成正比.圖6給出了振幅比）隨不同間隙比δ的變化，同樣可由振幅比的變化看到間隙比的阻尼效應(yīng).此外，圖中虛線表示無間隙環(huán)流時(shí)的振幅比，當(dāng)αc＝1時(shí)出現(xiàn)共振；圖中實(shí)線則不同，有間隙環(huán)流時(shí)，振幅出現(xiàn)極值的轉(zhuǎn)速比αc＜1，表現(xiàn)出臨界轉(zhuǎn)速下降，且降低程度與間隙比成反比.

圖5 不同間隙比下的等效阻尼比Fig.5 Ratio of equivalent damping for different clearance ratios

圖6 不同間隙比下的振幅比Fig.6 Amplitude ratio for different clearance ratios

值得指出的是，雖然間隙環(huán)流會降低振幅出現(xiàn)極值時(shí)的臨界轉(zhuǎn)速，但其阻尼效應(yīng)同樣也會使轉(zhuǎn)子振幅的極值下降，通常不至于產(chǎn)生比較嚴(yán)重的后果.

4 屏蔽電機(jī)主泵轉(zhuǎn)子振動(dòng)的有限元分析

前面討論了間隙環(huán)流對簡單轉(zhuǎn)子振動(dòng)的影響，解析地給出了一些影響特征和規(guī)律.但對于實(shí)際的核電屏蔽電機(jī)主泵，由于轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及間隙環(huán)流作用的有限區(qū)域，還需要采用有限元方法進(jìn)行進(jìn)一步的分析計(jì)算.

對于圖7所示的屏蔽電機(jī)主泵轉(zhuǎn)子，若令轉(zhuǎn)子振動(dòng)的坐標(biāo)方向?yàn)閦＝｛x，y｝T，采用有限元方法建立的轉(zhuǎn)子振動(dòng)微分方程可表示為

式中：M 為質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣；K 為剛度矩陣；f 為作用在轉(zhuǎn)子上的質(zhì)量不平衡激勵(lì)載荷.

M、C、K 矩陣主要由三方面構(gòu)成：一是轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可利用空間梁單元［12］以等效的彎曲剛度和截面質(zhì)量離散化近似；二是間隙環(huán)流的動(dòng)力學(xué)特性，可利用式（3）的系數(shù)直接施加到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)；三是軸承的支撐參數(shù)，為突出間隙環(huán)流的影響，只選取軸承彈簧系數(shù).

圖7 屏蔽電機(jī)主泵轉(zhuǎn)子及有限元模型Fig.7 Finite element model for the rotor of canned motor pump

由于式（18）為非對稱矩陣系統(tǒng)，不能在傳統(tǒng)的實(shí)空間求解，需要根據(jù)復(fù)模態(tài)理論將其轉(zhuǎn)換到狀態(tài)空間

再令z（t）＝Aest并代入上式的齊次方程中，得到復(fù)特征值s＝σ±jω，最終以此判定轉(zhuǎn)子振動(dòng)的穩(wěn)定性及渦動(dòng)頻率.若令zc＝｛xcyc｝T，zs＝｛xsys）T，可將轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)相應(yīng)表示為z＝zccosΩt＋zssinΩt，將其代入式（18）得到

具體計(jì)算時(shí)利用Matlab軟件編制了相應(yīng)的計(jì)算分析程序.圖7所示轉(zhuǎn)子振動(dòng)有限元模型共分成37個(gè)節(jié)點(diǎn)，間隙環(huán)流作用在等效直徑為D＝0.615 m 的轉(zhuǎn)子本體12～20節(jié)點(diǎn)，軸承支撐在跨距為L＝3.420m 的6 和25 節(jié) 點(diǎn)，彈 簧 系 數(shù) 為kxx＝kyy＝1.29×109N／m，質(zhì)量不平衡載荷集中作用在上下飛輪的3和35節(jié)點(diǎn)，并且f3＝f35＝0.223N，轉(zhuǎn)子材料彈性模量為E＝2.06×1011N／m2，定轉(zhuǎn)子與流體摩擦因數(shù)取f＝0.02，定轉(zhuǎn)子間隙比為δ＝0.02，略去了轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)阻尼和電磁彈性系數(shù).

不考慮間隙環(huán)流，只有軸承支撐彈簧系數(shù)時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)固有頻率的基頻為ω0＝38.98Hz，其他各階固有頻率分別為ωn1＝1.00ω0，ωn2＝1.09ω0，ωn3＝1.48ω0，ωn4＝3.56ω0，相應(yīng)的振動(dòng)模態(tài)示于圖8.

考慮間隙環(huán)流時(shí)，模態(tài)坐標(biāo)下轉(zhuǎn)子振動(dòng)的阻尼σ和頻率ω 以成對的方式隨轉(zhuǎn)速Ω 發(fā)生變化，分別對應(yīng)于ωn1～ωn3的前六階計(jì)算結(jié)果示于圖9 和圖10.從圖9和圖10中可以明顯看到間隙環(huán)流對第一階固有頻率ωn1和第三階固有頻率ωn3的影響較大，而對第二階固有頻率ωn2的影響較小.這是由于只有在轉(zhuǎn)子本體處才存在間隙環(huán)流，根據(jù)圖8中的轉(zhuǎn)子振動(dòng)模態(tài)，可以得出間隙環(huán)流只對轉(zhuǎn)子本體振動(dòng)較大的模態(tài)產(chǎn)生明顯影響，它表現(xiàn)在轉(zhuǎn)子振動(dòng)存在2種失穩(wěn)現(xiàn)象：一是Ω＞2ωn1或者Ω＞2ωn2時(shí)，σ＞0出現(xiàn)周期性失穩(wěn)；二是在Ω＝1.10ωn1附近存在ω＝0的非周期性失穩(wěn).比較它們與圖3 和圖4 中δ＝0.02的結(jié)果，可以看出單圓盤轉(zhuǎn)子的分析結(jié)論與有限元前兩階（對應(yīng)ωn1）模態(tài)計(jì)算結(jié)果的特征與規(guī)律是一致的.

對于轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，圖11給出了軸承支撐處和轉(zhuǎn)子本體中部的振幅計(jì)算結(jié)果.無間隙環(huán)流時(shí)有3 個(gè)振幅極值點(diǎn)，分別發(fā)生在Ω＝ωn1、Ω＝ωn2和Ω＝ωn3處.有間隙環(huán)流時(shí)明顯的振幅極值點(diǎn)只有2個(gè)，分別為對應(yīng)ωn2的Ω＝1.05ω0和對應(yīng)ωn3的Ω＝1.13ω0.與ωn1相對應(yīng)的極值點(diǎn)估計(jì)發(fā)生在Ω＝0.75ω0附近，但如圖9所示，由于此時(shí)有較大的阻尼作用，故其振幅不易辨識.

圖8 無間隙環(huán)流時(shí)轉(zhuǎn)子振動(dòng)固有頻率及模態(tài)Fig.8 Natural frequency and mode of rotor vibration without annual flow

圖9 模態(tài)坐標(biāo)阻尼比Fig.9 Modal damping ratio

由此可以推斷，間隙環(huán)流等效阻尼使振幅極值和臨界轉(zhuǎn)速下降的特性與轉(zhuǎn)子振動(dòng)的模態(tài)密切相關(guān)，還需要進(jìn)行深入研究.

圖10 模態(tài)坐標(biāo)頻率比Fig.10 Modal frequency ratio

圖11 質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅Fig.11 Steady state response amplitude of unbalanced rotor vibration

5 結(jié) 論

對于可簡化為單圓盤的轉(zhuǎn)子振動(dòng)，間隙環(huán)流的影響表現(xiàn)在：

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速大于固有頻率的2倍時(shí)，間隙環(huán)流會使轉(zhuǎn)子振動(dòng)出現(xiàn)周期性失穩(wěn)；在工作轉(zhuǎn)速范圍的某個(gè)特定轉(zhuǎn)速，隨著間隙比的不同，間隙環(huán)流可能使轉(zhuǎn)子振動(dòng)出現(xiàn)非周期性失穩(wěn).

（2）間隙環(huán)流會降低轉(zhuǎn)子振動(dòng)的渦動(dòng)頻率，主要因素是附加質(zhì)量，降低程度與結(jié)構(gòu)參數(shù)間隙比成反比.

（3）間隙環(huán)流使轉(zhuǎn)子振動(dòng)質(zhì)量不平衡穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅下降，主要原因是等效阻尼的作用.與渦動(dòng)頻率相對應(yīng)的振幅出現(xiàn)極值的臨界轉(zhuǎn)速也同樣下降.

（4）間隙環(huán)流的主要危害是對轉(zhuǎn)子振動(dòng)穩(wěn)定性的影響.對于剛性轉(zhuǎn)子（工作轉(zhuǎn)速低于固有頻率）沒有任何問題，但對于柔性轉(zhuǎn)子（工作轉(zhuǎn)速高于固有頻率）則要特別小心.

上述結(jié)論同樣適用于實(shí)際的核電主泵電機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)，但間隙環(huán)流的影響程度與轉(zhuǎn)子振動(dòng)的各階模態(tài)密切相關(guān).對于第一階振動(dòng)模態(tài)，單圓盤轉(zhuǎn)子的分析結(jié)論與有限元計(jì)算結(jié)果是一致的，對于高階振動(dòng)模態(tài)，還需要進(jìn)一步研究.

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