基于隱式基因混合遺傳算法的多脈沖交會導(dǎo)引

歐陽高翔，王小麗，孫成明，楊 新

（1.中國科學(xué)院光電研究院，北京100094；2.北京控制工程研究所，北京100090）

基于隱式基因混合遺傳算法的多脈沖交會導(dǎo)引

歐陽高翔1，王小麗2，孫成明1，楊 新1

（1.中國科學(xué)院光電研究院，北京100094；2.北京控制工程研究所，北京100090）

針對航天器交會遠(yuǎn)程導(dǎo)引段時(shí)間非固定多脈沖軌道轉(zhuǎn)移問題，研究多約束條件下且脈沖數(shù)未知的共面橢圓交會燃料最省導(dǎo)引律設(shè)計(jì)。因不同脈沖數(shù)將造成多脈沖優(yōu)化問題求解變量和約束條件個(gè)數(shù)隨之變化，為此在遺傳算法中引入隱式基因使得種群中樣本個(gè)體的基因具有長度可變特性，在單層迭代框架下可同時(shí)解出最優(yōu)脈沖數(shù)和脈沖矢量。為進(jìn)一步改善性能指標(biāo)還將端點(diǎn)滑行時(shí)間作為優(yōu)化變量，使得在最佳轉(zhuǎn)移時(shí)刻進(jìn)行離軌脈沖作用。尋優(yōu)過程首先由遺傳算法給出設(shè)計(jì)變量估計(jì)值，再由序列二次規(guī)劃（sequential quadratic programming，SQP）求解全局最優(yōu)解。最后基于主矢量和最優(yōu)控制判據(jù)，表明所設(shè)計(jì)的含隱式基因混合遺傳算法是求解復(fù)雜問題的有效全局優(yōu)化方法，可解決一類優(yōu)化變量個(gè)數(shù)可變的最優(yōu)多脈沖遠(yuǎn)程導(dǎo)引律設(shè)計(jì)問題。

多脈沖；共面橢圓交會；隱式基因；混合遺傳算法；序列二次規(guī)劃；主矢量

0 引 言

地球同步軌道衛(wèi)星在通信、預(yù)警及電子偵察等領(lǐng)域起著舉足輕重的作用，是空間信息鏈路中高價(jià)值的關(guān)鍵信息節(jié)點(diǎn)。因此對其進(jìn)行監(jiān)測、維修、升級與補(bǔ)網(wǎng)等空間任務(wù)具有重要意義。實(shí)施該空間任務(wù)的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)便是交會對接，其中的一類共面橢圓交會過程可描述為機(jī)動(dòng)航天器從橢圓轉(zhuǎn)移軌道出發(fā)，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)與共面圓軌道上的目標(biāo)飛行器進(jìn)行交會。常規(guī)交會過程可劃分為3個(gè)階段：調(diào)相段、遠(yuǎn)程導(dǎo)引段與近程逼近段，本文僅研究遠(yuǎn)程導(dǎo)引轉(zhuǎn)移段。遠(yuǎn)程導(dǎo)引是指從轉(zhuǎn)移軌道出發(fā)，基于事先求解的最優(yōu)路徑規(guī)劃策略，在軌注入到追蹤器后經(jīng)過若干次軌道機(jī)動(dòng)，逼近到目標(biāo)器期望的相對距離和速度范圍內(nèi)［1］。另外，因某些空間緊急救援任務(wù)需要在指定時(shí)間內(nèi)與目標(biāo)飛行器交會，而自身攜帶的燃料有限，因此上述航天任務(wù)對于燃料和轉(zhuǎn)移時(shí)間都有一定要求。

本文研究的共面橢圓軌道交會是以能量為性能指標(biāo)，且推力、轉(zhuǎn)移時(shí)間、末端時(shí)刻、位置和速度均受約束的軌道機(jī)動(dòng)優(yōu)化問題。該優(yōu)化問題在數(shù)學(xué)上可表示為兩點(diǎn)邊值問題，可基于不同數(shù)值方法進(jìn)行求解。其中，間接法需要對共軛變量的初值進(jìn)行猜測，因缺乏具體的物理含義而很難確定其合理的范圍，因此對于邊界初值選取較為敏感，會造成算法難以收斂［2］。此外，采用配點(diǎn)的直接法對于配點(diǎn)間隔有特殊要求，經(jīng)柵格化后的數(shù)值積分需要步長與配點(diǎn)間隔長度相匹配，否者會造成數(shù)值計(jì)算上的困難［3］。對于上述軌道優(yōu)化問題中將不同長度的轉(zhuǎn)移時(shí)間作為顯示優(yōu)化變量，若采用直接配點(diǎn)法極易造成數(shù)值上的不可行。作為啟發(fā)式算法——遺傳算法（genetic algorithm，GA）僅計(jì)算由目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的適應(yīng)度值，無需導(dǎo)數(shù)和描述函數(shù)的自身特性等其他輔助信息，就可確定進(jìn)一步的搜索方向和范圍。此外，遺傳算法對轉(zhuǎn)移過程的時(shí)間域劃分方式并不關(guān)心，目前已被廣泛應(yīng)用于解決軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化問題［4］。

考慮到多脈沖軌道機(jī)動(dòng)在滿足光照、測控和導(dǎo)航等條件方面具有較大的靈活性，因此工程中多采用多脈沖軌道轉(zhuǎn)移方式。然而，因涉及參數(shù)較多、機(jī)動(dòng)過程更復(fù)雜，以及附加其他約束時(shí)都使得上述的軌道優(yōu)化求解越發(fā)困難。目前，關(guān)于多脈沖的軌道轉(zhuǎn)移問題已經(jīng)獲得了大量的研究，對某些特定問題獲得了可行方案。文獻(xiàn)［2］通過計(jì)算主矢量值獲得中間脈沖添加位置信息進(jìn)行多脈沖設(shè)計(jì)，但無法考慮其他約束條件，如交會末端時(shí)刻不固定情況等。此外，大量的文獻(xiàn)［4-8］僅關(guān)注軌道轉(zhuǎn)移，而對于轉(zhuǎn)移末端時(shí)刻和轉(zhuǎn)移時(shí)間均受限這類交會問題未給予足夠的重視。

在多脈沖交會設(shè)計(jì)中對于脈沖個(gè)數(shù)往往事先難以確定，需要綜合實(shí)際約束條件后多次迭代優(yōu)化獲得。多脈沖交會問題從數(shù)學(xué)上可看作是多個(gè)兩點(diǎn)邊值問題的拼接，而每個(gè)兩點(diǎn)邊值問題都對應(yīng)一組優(yōu)化變量，且后一組變量的初始值依賴于前一組計(jì)算得到的末端值［8］?？梢婋S著中間脈沖個(gè)數(shù)的增加，最終的優(yōu)化變量個(gè)數(shù)也隨之成倍增加，在脈沖數(shù)未知情況下其優(yōu)化問題的困難集中體現(xiàn)為優(yōu)化變量數(shù)可變造成數(shù)值求解的困難。文獻(xiàn)［7］采用混合遺傳算法進(jìn)行多脈沖軌道轉(zhuǎn)移設(shè)計(jì)，由于樣本基因長度固定僅能處理脈沖個(gè)數(shù)確定的軌道轉(zhuǎn)移。盡管文獻(xiàn)［9］采用多層迭代結(jié)構(gòu)進(jìn)行多脈沖尋優(yōu)求解，但算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜，外層優(yōu)化變量若選取不當(dāng)極易造成內(nèi)層優(yōu)化過程難以收斂。文獻(xiàn)［10］通過引入點(diǎn)火開關(guān)函數(shù)的時(shí)序結(jié)構(gòu)，迭代求解多點(diǎn)邊界值問題獲得最優(yōu)多脈沖解，但需要人為干預(yù)。

本文借鑒文獻(xiàn)［11］中的深空星際轉(zhuǎn)移遺傳優(yōu)化算法，通過在常規(guī)遺傳算法的基礎(chǔ)上對樣本個(gè)體添加隱式基因，使其具有某種長度可變特性，克服了傳統(tǒng)遺傳算法基因長度固定的局限，因而可處理這類優(yōu)化變量個(gè)數(shù)可變的尋優(yōu)問題，具體算法實(shí)現(xiàn)將在第2節(jié)中詳細(xì)介紹。隱式基因的引入在計(jì)算上確保了種群各階段進(jìn)化操作的可行，同時(shí)緩解了傳統(tǒng)遺傳算法樣本基因長度固定帶來的優(yōu)化困難。這種基于隱式基因的遺傳優(yōu)化求解在算法結(jié)構(gòu)上僅為單層迭代，算法的收斂性完全與常規(guī)遺傳算法一致。然而，文獻(xiàn)［11］中隱式基因算法因其自身的概率特性，最終的優(yōu)化結(jié)果存在很大的不確定性，對于轉(zhuǎn)移時(shí)間、末端位置等諸多約束條件也并未加以考慮。

此外，共面橢圓交會導(dǎo)引不同于一般圓軌道轉(zhuǎn)移，因?yàn)樾枰湍繕?biāo)星交會，它對追蹤器的末端交會時(shí)刻、位置和速度均有要求。加之轉(zhuǎn)移軌道為橢圓軌道，因此存在一個(gè)以燃料為基準(zhǔn)的最佳離軌轉(zhuǎn)移時(shí)刻，這里僅考慮兩航天器不同初始相位差對最終尋優(yōu)結(jié)果的影響。為此，在建立沖量機(jī)動(dòng)模型［12］時(shí)考慮了有端點(diǎn)滑行等待階段的軌道機(jī)動(dòng)，即將初始滑行時(shí)間作為優(yōu)化變量，尋求一系列離散時(shí)刻中最佳時(shí)間點(diǎn)作為離軌時(shí)刻。最后為保證算法始終運(yùn)算有解，機(jī)動(dòng)過程的最后兩個(gè)脈沖采用Lambert方法求解［13］。當(dāng)脈沖數(shù)為2時(shí)優(yōu)化求解則退化為兩脈沖Lambert軌道轉(zhuǎn)移?？紤]到遺傳算法作為一種概率搜索算法，其尋優(yōu)結(jié)果具有一定隨機(jī)性，且隨著優(yōu)化參數(shù)增多極易陷入局部最優(yōu)解［14］，另外也很難同時(shí)處理多約束。因此，本文設(shè)計(jì)了一種含隱式基因遺傳算法與序列二次規(guī)劃（sequential quadratic programming，SQP）串行的混合遺傳算法，以保證最后的優(yōu)化結(jié)果的確定性和全局最優(yōu)性。最后，基于主矢量計(jì)算及最優(yōu)控制判據(jù)，可知本文給出的混合遺傳算法獲得了全局最優(yōu)解。

1 問題描述

多脈沖遠(yuǎn)程導(dǎo)引變軌任務(wù)規(guī)劃問題在數(shù)學(xué)上是多個(gè)兩點(diǎn)邊值問題，其數(shù)學(xué)模型可表述為：在遠(yuǎn)程導(dǎo)引過程中及終端的各種等式、不等式約束下，規(guī)劃變軌物理量——初始端滑行時(shí)間、變軌次數(shù)、變軌時(shí)刻、沖量方向和沖量大小，使其給定的推進(jìn)劑消耗性能指標(biāo)最優(yōu)，這里脈沖數(shù)事先不確定。另外，因轉(zhuǎn)移軌道的偏心率造成不同初始相位差在相同轉(zhuǎn)移時(shí)間下，飛行路徑的長短也會存在差異，使得最終優(yōu)化指標(biāo)計(jì)算結(jié)果也隨之變化。上述初始相位差盡管可在交會調(diào)相段加以修正，但因存在誤差而造成遠(yuǎn)程導(dǎo)引前的相位差并非最佳。為進(jìn)一步改善優(yōu)化結(jié)果，以性能指標(biāo)為參考基準(zhǔn)搜索最佳轉(zhuǎn)移時(shí)刻。實(shí)事上雙星初始相對位置隱含了上述轉(zhuǎn)移時(shí)刻的條件約束，通過離軌脈沖作用前調(diào)整追蹤器的軌道位置來獲得最佳轉(zhuǎn)移時(shí)刻。為此，在優(yōu)化模型中加入初始端點(diǎn)滑行過程，并將滑行時(shí)間作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量之一。優(yōu)化計(jì)算模型可表示為式（1）、式（2）和式（5）。式（1）給出了優(yōu)化設(shè)計(jì)變量xn：

式中，Δt0為初始端滑行時(shí)間；Δti（i＝1，2，…，n－1）為相鄰兩脈沖轉(zhuǎn)移時(shí)間；Δvj（j＝1，2，…，n－2）為慣性系下前n－2個(gè)脈沖矢量。與以往優(yōu)化問題不同的是，脈沖數(shù)n也作為顯示設(shè)計(jì)變量之一，因此式（1）中的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)為可變，對應(yīng)的約束條件也是可變的。這里優(yōu)化約束條件為

式中，i＝1，2，…，n－2，n≥2；Δvi為脈沖增量；Φ（rn，vn，tn）表示終端約束條件；Π（ui）為推力約束條件；P（Δt0，…，Δti，…，Δtn－1）是轉(zhuǎn)移時(shí)間約束。函數(shù)f和g是追蹤星軌道狀態(tài)微分方程，如下：

式中，μ和req為引力常數(shù)和地球半徑；控制變量ui＝Δvi；動(dòng)力學(xué)方程（3）僅考慮了地球非球形攝動(dòng)力J2項(xiàng)。在每步優(yōu)化迭代過程中經(jīng)數(shù)值積分獲得追蹤器和目標(biāo)器慣性系下的位置和速度，如式（4）所示：

式中，ti＋1－ti＝Δti為相鄰兩脈沖間的轉(zhuǎn)移時(shí)間，其初始值由遺傳算法提供。轉(zhuǎn)移時(shí)間將整個(gè)遠(yuǎn)程轉(zhuǎn)移段分為了若干個(gè)間隔不等的區(qū)間，通過在其上積分獲得ti時(shí)刻的，可得到最終末端時(shí)刻tf追蹤星的位置和速度，并與目標(biāo)星位置和速度比較獲得優(yōu)化修正量，同時(shí)轉(zhuǎn)移時(shí)間亦作為顯示優(yōu)化變量。最后，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量數(shù)為4·（n－2）＋2，其中數(shù)字4對應(yīng)了脈沖矢量vi和轉(zhuǎn)移時(shí)間Δti二者的向量維數(shù)，n為脈沖數(shù)且為可變量，“＋”后的數(shù)字2對應(yīng)為初始端的滑行時(shí)間和最后兩脈沖的轉(zhuǎn)移時(shí)間。優(yōu)化性能指標(biāo)為所有脈沖數(shù)增量的總和為

式中，最后兩脈沖計(jì)算則由Lambert方法求解。

2 隱式遺傳算法設(shè)計(jì)

2.1 隱式基因設(shè)計(jì)

遺傳算法中每個(gè)樣本個(gè)體都是由不同基因序列構(gòu)成，這些基因由獨(dú)立的設(shè)計(jì)變量經(jīng)編碼生成。通?；蜷L度依賴于設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，為保證在種群優(yōu)化過程中的交叉等運(yùn)算可行，設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)必須固定。這種固定基因長度的遺傳算法僅能處理設(shè)計(jì)變量數(shù)固定的優(yōu)化問題。對于第1節(jié)中的多脈沖軌道交會問題則不再適用，需采用某種方法使得遺傳算法中的樣本基因具有某種長度可變特性。為此，通過在群體庫中的每個(gè)樣本添加數(shù)量不等的基因，使其所有樣本基因數(shù)為可能的最大數(shù)，與各自樣本中設(shè)計(jì)變量所對應(yīng)的基因數(shù)的差值便是新增基因個(gè)數(shù)。如圖1所示，其中深色部分表示有效基因，對應(yīng)于實(shí)際優(yōu)化變量；淺色部分表示隱式基因，這里的基因類型分組完全是基于個(gè)體基因參與適應(yīng)度計(jì)算與否。

圖1 含隱式基因的樣本個(gè)體

2.2 編碼設(shè)計(jì)

考慮到運(yùn)算效率和精度，此次采用浮點(diǎn)數(shù)編碼。把初始端滑行時(shí)間、脈沖的三軸分量和相鄰脈沖間的轉(zhuǎn)移時(shí)間作為編碼變量。為了能處理?xiàng)l件約束以及提高遺傳算法的搜索效率，對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了歸一化處理，即引入變量ρi和εi∈［0，1］（i＝1，2，…，n－1）按式（6）進(jìn)行編碼。

式中，變量ρi和εi在初始隨機(jī)生成；Δvmax為最大允許速度增量；Tmax為整個(gè)轉(zhuǎn)移時(shí)間上限。隱式基因編碼與常規(guī)編碼一致。

2.3 交叉變異運(yùn)算

表1和表2給出了種群中脈沖數(shù)為4和5的兩個(gè)任意樣本個(gè)體，在相同序號位置對應(yīng)的基因片段交叉運(yùn)算過程示意，其中vi∈R4（i＝1，2，3）為慣性系下3個(gè)軸方向上的第i個(gè)脈沖矢量和點(diǎn)火時(shí)刻經(jīng)實(shí)值編碼后的單個(gè)基因。

表1 原始樣本基因片

表1中4脈沖樣本個(gè)體對應(yīng)的脈沖矢量決策變量數(shù)為10，而5脈沖樣本個(gè)體對應(yīng)變量數(shù)則為14。首先定義x4∈R10和x5∈R14分別為4、5脈沖由式（1）所定義的決策向量，為了能對不同脈沖數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算，需對4脈沖樣本個(gè)體的基因排序號10以后引入隱式基因，即擴(kuò)維使x′4∈R14。如表1中的、、和即為4脈沖個(gè)體樣本中的隱式基因片，以淺色部分凸顯標(biāo)注。對于不同脈沖數(shù)n的樣本個(gè)體均可通過引入隱式基因，使其達(dá)到最大nmax脈沖數(shù)對應(yīng)維數(shù)4·（nmax－2）＋2。由于維數(shù)相同，使得不同脈沖數(shù)對應(yīng)的樣本個(gè)體可以如常規(guī)遺傳算法進(jìn)行種群交叉運(yùn)算。

表2 交叉運(yùn)算后樣本基因片

假定交叉運(yùn)算隨機(jī)發(fā)生在樣本個(gè)體序列v2所對應(yīng)的位置。如表2所示脈沖數(shù)為4和5的基因片段從v2起止于v3發(fā)生了基因互換，這其中包含了隱式基因。表2給出了表1中樣本個(gè)體x′4和x5經(jīng)交叉運(yùn)算后的新基因序列，這里交叉運(yùn)算采用實(shí)值離散重組［14］，保證了脈沖數(shù)為n的基因排序號4·（n－2）＋2后的基因片段始終為隱式基因。對于變異過程則完全與常規(guī)遺傳算法的交叉運(yùn)算一致，如式（7）所示：

可見，引入隱式基因是為了保證種群中具有不同個(gè)數(shù)設(shè)計(jì)變量的樣本在運(yùn)算上可行，同時(shí)又可對上述含不同基因數(shù)的個(gè)體進(jìn)行統(tǒng)一的數(shù)值尋優(yōu)，進(jìn)而一次獲得期望的最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移解。更為重要的是這種含隱式基因的遺傳算法在收斂性與傳統(tǒng)遺傳算法一致，有效地避免了多層迭代優(yōu)化內(nèi)外層相互影響而造成收斂性難以保證的問題。

2.4 適應(yīng)度計(jì)算

根據(jù)式（5）給出的性能指標(biāo)和式（2）中終端條件進(jìn)行適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)，其計(jì)算公式如下：

式中，變量α、β滿足α＋β＝1。

2.5 自適應(yīng)調(diào)整

為避免早熟和增加種群多樣性，借鑒文獻(xiàn)［16］提出的自適應(yīng)遺傳算法，使得pc和pm的選取能隨適應(yīng)度函數(shù)式（8）自適應(yīng)調(diào)整，其表達(dá)式為

式中，fmax為群體中最大適應(yīng)度值；favg為每代群體的平均適應(yīng)度值；f為個(gè)體當(dāng)前適應(yīng)度值。將式（9）中下標(biāo)“c”換為“m”即為pm的計(jì)算式。

2.6 混合優(yōu)化求解

由于式（2）中關(guān)于末端位置和速度等式約束在遺傳算法中很難加以考慮，而且通過算法獲得的時(shí)間域劃分并非最優(yōu)。加之遺傳算法自身的概率特性使得單純的遺傳算法結(jié)果存在很大不確定性［14］。為此，需采用非線性尋優(yōu)算法對其結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化?？紤]到SQP是求解復(fù)雜非結(jié)性規(guī)劃最有效的方法，而且當(dāng)約束條件為凸時(shí)則優(yōu)化結(jié)果逼近全局最優(yōu)解［17］。本次混合優(yōu)化計(jì)算采用SQP，其優(yōu)化求解問題表述為

式中，J是式（5）給出的性能指標(biāo)；xn為式（1）所定義的決策變量；yi是包含追蹤星位置和速度的狀態(tài)變量；f是軌道狀態(tài)微分方程，這里遠(yuǎn)程導(dǎo)引段結(jié)束后的近程逼近段采用R－bar接近方式［1］。為此，變量yend為追蹤器相對于目標(biāo)器的軌道系下的距離，這里要求在目標(biāo)星軌道系z軸方向上，即目標(biāo)星質(zhì)心與地心連線方向上要相距100 km。在末端速度上則要求與目標(biāo)星一致。另外，因整個(gè)轉(zhuǎn)移交會段被作用脈沖分成了若干子區(qū)間，脈沖作用時(shí)刻ti被作為顯示優(yōu)化變量?？紤]因果關(guān)系ti＜ti＋1，需要對上述作用時(shí)刻優(yōu)化變量t0，…，ti，…，tn附加如下約束：

由于轉(zhuǎn)移段中的每一個(gè)子區(qū)域上的積分初始值是前一子區(qū)域的積分值，因此計(jì)算式（10）中追蹤星末端值rc是一個(gè)串行積分形式

原始優(yōu)化問題式（10）包含有強(qiáng)非線性約束，而SQP優(yōu)化算法可通過將原始約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化非約束問題，對迭代點(diǎn)xk處目標(biāo)函數(shù)J的值域附近進(jìn)行泰勒二階項(xiàng)逼近，簡化后的優(yōu)化求解問題如式（14）所示，并滿足相應(yīng)KKT條件。

式中，dk為尋優(yōu)方向，即為活性約束集合的零空間；Hk為上述轉(zhuǎn)化后的非約束Lagrangian函數(shù)的Hessian矩陣，但計(jì)算時(shí)采用quasi-Newton方法對其逼近［17］，更新計(jì)算

式中，變量qk和sk的求解表達(dá)式可參看文獻(xiàn)［17］，而決策變量xk的更新計(jì)算公式為

式中，αk為更新步長，該優(yōu)化迭代過程需要對初始決策變量x0進(jìn)行合理賦值，否者將造成優(yōu)化過程不可行［17］，本文采用遺傳算法提供初值。最終，上述遺傳混合優(yōu)化算法流程如圖2所示。

圖2 含隱式基因的混合遺傳算法流程

3 仿真計(jì)算及分析

3.1 仿真初始條件

首先給出兩航天器初始軌道根數(shù)，如表3所示。

表3 雙星軌道根數(shù)

表3中第1與第2行分別為追蹤星和目標(biāo)星在UTC時(shí)間2013年2月11日20時(shí)18分19.3秒時(shí)的開普勒軌道6要素，其中追蹤星初始處在橢圓轉(zhuǎn)移軌道上，目標(biāo)星在地球同步軌道上。雙星初始相位差為61.99°，目標(biāo)星的軌道周期為86 176.04 s。

圖3給出了雙星在不同初始相位差，相同轉(zhuǎn)移時(shí)間條件下，兩脈沖速度增量變化，可知不同初始相位差對最終燃料消耗有較大影響。

圖3 不同初始相位角下的兩脈沖幅值變化

表4給出了遺傳算法參數(shù)的初始設(shè)置，并限定轉(zhuǎn)移總時(shí)間小于目標(biāo)軌道周期，另外在軌道機(jī)動(dòng)中采用沖量理論及其相關(guān)假設(shè)［12］。

表4 遺傳算法參數(shù)初始設(shè)置

這里假定了最大可能脈沖數(shù)為4，因在實(shí)際中過多的脈沖數(shù)反而會降低性能指標(biāo)。

3.2 仿真結(jié)果

按照表4的參數(shù)設(shè)置，采用圖2給出的算法流程，上述隱式基因混合遺傳算法進(jìn)行100次蒙特卡羅仿真，計(jì)算結(jié)果的均值如表5所示。

表5 3脈沖軌道轉(zhuǎn)移計(jì)算結(jié)果

表5中的點(diǎn)火時(shí)刻是表3所定義的UTC相對時(shí)間。按照性能指標(biāo)式（5）最終解算出3脈沖方式為最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移。速度增量總和為209.369 m／s，最后末端位置誤差為1.208 km，速度誤差為2.070 4 m／s，并滿足式（10）給出的全部約束條件。表5中第1個(gè)脈沖進(jìn)行推力加速接近遠(yuǎn)地點(diǎn)，在遠(yuǎn)地點(diǎn)附近進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移脈沖作用，最后一個(gè)脈沖則使追蹤器沿著目標(biāo)軌道飛行，并迫使?jié)M足末端位置和速度約束，即與目標(biāo)星在軌道系中z軸方向上相距101.208 km。

圖4給出群體適應(yīng)度值隨遺傳代數(shù)變化的過程，表明群體中適應(yīng)度值較小的個(gè)體依次被淘汰，較優(yōu)個(gè)體則被保留并逐漸趨于最優(yōu)值。

圖4 適應(yīng)度變化曲線

表6給出了不含隱式基因混合遺傳算法分別針對2、3、4脈沖進(jìn)行100次蒙特卡羅計(jì)算的均值結(jié)果，并與含隱式基因混合遺傳算法得到的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

表6 不同脈沖數(shù)下的計(jì)算結(jié)果

從表6的計(jì)算結(jié)果可以看出，不同脈沖數(shù)下使用不含隱式基因的混合遺傳算法獲得的解基本一致，而且計(jì)算結(jié)果的方差較小。在滿足轉(zhuǎn)移總時(shí)間約束條件下，以燃料消耗和最終距離誤差綜合考慮，3脈沖下軌道轉(zhuǎn)移是最優(yōu)的，這與含隱式基因混合遺傳算法的結(jié)果是一致的。

圖5 軌道轉(zhuǎn)移相平面示意圖

從圖5可清楚地看到，追蹤器在橢圓轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)進(jìn)行的第2次脈沖點(diǎn)火用于軌道轉(zhuǎn)移，之后的第3次脈沖用于調(diào)整末端位置和速度。上面軌道轉(zhuǎn)移過程與霍曼轉(zhuǎn)移非常相似，實(shí)際上針對表3給出的軌道參數(shù)，采用霍曼轉(zhuǎn)移計(jì)算結(jié)果是192.597 m／s，然而本文研究的軌道交會與之又有所不同。這里需兼顧目標(biāo)器末端位置、速度和轉(zhuǎn)移時(shí)間，因此隱含了對最終交會時(shí)刻的約束，霍曼轉(zhuǎn)移并不考慮末端時(shí)刻和轉(zhuǎn)移時(shí)間約束，但是二者計(jì)算結(jié)果的相對偏差僅為8.7%。在不考慮時(shí)間約束的情況下，霍曼轉(zhuǎn)移是共面軌道轉(zhuǎn)移的最優(yōu)解［19］，可見本文給出的計(jì)算結(jié)果非常接近最優(yōu)解，下面將進(jìn)一步采用主矢量判據(jù)進(jìn)行計(jì)算結(jié)果的最優(yōu)性分析。

3.3 最優(yōu)判據(jù)及主矢量計(jì)算

主矢量p定義為關(guān)于速度的協(xié)態(tài)變量，即p≡λv?？蓪⒃济}沖最優(yōu)控制的必要條件轉(zhuǎn)為對主矢量的4個(gè)條件約束［2］：①主矢量及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；②脈沖作用時(shí)刻，主矢量與脈沖反向幅值為1；③主矢量幅值不大于1是多脈沖最優(yōu)的必要條件；④脈沖作用時(shí)刻，端點(diǎn)除外的主矢量幅值導(dǎo)數(shù)為零。主矢量通過式（17）計(jì)算：

式中，Φ（t，t0）為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，其形式為

依據(jù)文獻(xiàn)［18］，4個(gè)子矩陣Φ11、Φ12、Φ21和Φ22可有如下表示：

采用式（19）給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可處理遠(yuǎn)距離橢圓軌道的狀態(tài)外推，而主矢量計(jì)算如下：

基于前面對主矢量的最優(yōu)條件和計(jì)算公式（20），可作為對本文算法結(jié)果的最優(yōu)性評估的判據(jù)，進(jìn)而驗(yàn)證本文算法的最優(yōu)性。

按照式（17）～式（20）進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移過程的主矢量計(jì)算，其結(jié)果如圖6所示。結(jié)合表5的仿真結(jié)果和3.3節(jié)中最優(yōu)控制判據(jù)，可知在脈沖點(diǎn)火時(shí)刻主矢量p接近1，而在其他時(shí)刻主矢量幅值均不大于1，且主矢量及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，因此表5給出的仿真結(jié)果滿足最優(yōu)控制必要條件。再結(jié)合前面與霍曼轉(zhuǎn)移結(jié)果的比較，可知本文給出的算法計(jì)算結(jié)果無限接近全局最優(yōu)解。

圖6 軌道轉(zhuǎn)移過程主矢量變化值

最后對3脈沖下初始端有、無滑行的100次蒙特卡羅仿真均值結(jié)果進(jìn)行比較，如表7所示。

表7 初始端有無滑行結(jié)果對比

可見加入初始端滑行后，對性能指標(biāo)有一定改善，另外不同初始相位差改善程度也有差別。

4 結(jié) 論

通過向種群中的樣本個(gè)體添加隱式基因，使得遺傳算法具有了某種基因長度可變的特性，本質(zhì)上是擴(kuò)大了數(shù)值尋優(yōu)的集合空間，豐富了個(gè)體的差異性。在算法結(jié)構(gòu)上僅為單層迭代，使得在收斂性上與傳統(tǒng)遺傳算法一致?；谠撾[式基因遺傳算法可同時(shí)解出脈沖個(gè)數(shù)和脈沖矢量等優(yōu)化變量，而且對整個(gè)轉(zhuǎn)移時(shí)間區(qū)間進(jìn)行了合理的劃分。最后，通過采用SQP對遺傳算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步尋優(yōu)，進(jìn)而保證了結(jié)果的確定性和最優(yōu)性。通過比較有等待和無等待階段性能指標(biāo)值，可知合理地在航天器交會策略中添加等待滑行段可以消耗更少的能量而實(shí)現(xiàn)軌道交會。本文盡管僅針對某一特定的初始相位差進(jìn)行軌道轉(zhuǎn)移，但因加入了初始端滑行來調(diào)整雙星相位差，故該方法可以推廣到任意初始相位差的共面橢圓軌道轉(zhuǎn)移。

最后基于數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：含隱式基因的混合遺傳算法能夠很好地處理各種約束條件下的優(yōu)化問題，特別是針對設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)可變的復(fù)雜尋優(yōu)計(jì)算，而以往常規(guī)遺傳算法對此問題則很難獲得求解。基于主矢量和霍曼轉(zhuǎn)移計(jì)算值可知所獲得的結(jié)果是無限逼近于全局最優(yōu)解。

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Hidden hybrid genes genetic algorithm for multi-impulse rendezvous maneuvering

OUYANG Gao-xiang1，WANG Xiao-li2，SUN Cheng-ming1，YANG Xin1
（1.Academy of Opto-Electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China；2.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100090，China）

The spacecraft rendezvous problem of transferring between two coplanar elliptical orbits with free time is studied，which looks for multi-impulsive transfer at the expense of fuel optimization under lots of constraints.Different number of pulses will change the number of variables to solve optimization problems.Through the introduction of hidden genes in the genetic algorithm，the individuals in the gene groups have a variable-length feature.The optimal solution to the number of pulses and impulse vectors is obtained at the same time.In order to further improve the optimal solution，an initial coast is introduced to be as an optimal variable，which results in the just pulse moment of de-orbit for chaser.Firstly，a genetic algorithm is applied to find initial guess values，and then the sequential quadratic programming（SQP）algorithm is used to iteratively improve the above non-optimal solution and converge to a global optimal transferring.Finally，on the base of the primer vector theory and control optimal criterion，it indicates that the hidden genes hybrid genetic algorithm can serve as an effective optimization method to solve effectively a class of complex problems，in addition the multi-pulse rendezvous guidance law design which includes variable number of variables optimized also can successfully be done.

multi-pulse；coplanar elliptical orbits；hidden genes；hybrid genetic algorithm；sequential quadratic programming（SQP）；primer vector

V 412.4

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.22

歐陽高翔（197-7- ），男，高級工程師，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)。

E-mail：oygx210＠163.com

王小麗（198-3- ），女，工程師，碩士，主要研究方向?yàn)楹教炱黥敯艨刂啤?/p>

E-mail：shalyli＠126.com

孫成明（198-4- ），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)榭臻g目標(biāo)光學(xué)探測與識別。

E-mail：sunchengming2008＠163.com

楊 新（1967- ），男，研究員，博士，主要研究方向?yàn)轱w行器設(shè)計(jì)。

E-mail：yangxin＠aoe.ac.cn

1001-506X（2015）12-2810-07

2014- 12- 04；

2015- 05- 10；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 08- 31。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150831.1945.018.html

國家自然科學(xué)基金（61308101）資助課題